Bài 5d: Bài tập ôn luyện

Bài 8 (SGK trang 46)

Cho hàm số:

\(f(x)= x^3 – 3mx^2 + 3(2m-1)x + 1\) ( \(m\) là  tham số)

a) Xác định \(m\) để hàm số đồng biến trên một tập xác định

b) Với giá trị nào của tham số \(m\), hàm số có một cực đại và một cực tiểu

c) Xác định \(m\) để \(f’’(x)>6x\)

 

Hướng dẫn giải

a) y = f(x) = x³ – 3mx² + 3(2m-1)x + 1

Tập xác định: D = R

y’= 3x² -6mx + 3(2m-1) = 3(x² – 2mx + 2m – 1)

Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R

⇔ x² – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = m² – 2m + 1 = (m-1)² ≤ 0 ⇔ m =1

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (m-1)² > 0 ⇔ m≠1

c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x

⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0

Bài 5 (SGK trang 45)

Cho hàm số \(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) có đồ thị là \((C_m)\), \(m \)là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m=1\)

b) Xác định m để hàm số:

- Đồng biến trên khoảng (-1, +∞)

- Có cực trị trên khoảng (-1, +∞)

c) Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\)

 

Hướng dẫn giải

y = 2x² + 2mx + m -1 (C_m). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) m = 1 ⇒ y = 2x² + 2x

Tập xác định D = R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=+\infty\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Tổng quát y = 2x² + 2mx + m -1 có tập xác định D = R

.

Suy ra y’ > 0 với \(x>-\dfrac{m}{2}\)  và \(y'< 0\)  với \(x< -\dfrac{m}{2}\) tức là hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{-m}{2}\right)\) và đồng biến trên \(\left(-\dfrac{m}{2};+\infty\right)\)

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1, +∞) thì phải có điều kiện
Hay  \(-\dfrac{m}{2}< -1\)\(\Leftrightarrow m>2\)

ii) Hàm số đạt cực trị tại  \(x=\dfrac{m}{2}\)

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1, +∞), ta phải có:

\(-\dfrac{m}{2}\in\left(-1;+\infty\right)\) hay \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m< 2\).

c) (C_m) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt 

⇔ phương trình 2x² + 2mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

Δ’ = m² – 2m + 2 = (m-1)² + 1 > 0 ∀m

Vậy (C_m) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.

Bài 3 (SGK trang 47)

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1-x}{1+x}\)là :

1. 1
2. 2
3. 3
4. 0

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 + x = 0 ⇔ x = -1

. Tiệm cận đứng x = -1

. Tiệm cận ngang y = 1

Vậy đồ thị có 2 tiệm cận. Chọn đáp án B

Bài 1 (SGK trang 47)

Số điểm cực trị của hàm số \(y=-\dfrac{1}{3}x^3-x+7\) là:

1. 1
2. 0
3. 3
4. 2

Hướng dẫn giải

y’ = -x² - 1 < 0, ∀x ∈ R

Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định. Do đó hàm số không có cực trị.

Chọn đáp án B

Bài 2 (SGK trang 47)

Số điểm cực đại của hàm số \(y=x^4+100\) là:

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

Hướng dẫn giải

y’= 4x³ ⇔ x = 0.

Đạo hàm y’ < 0 với x < 0 và y’ > 0 với x > 0.

Vậy hàm số chỉ có 1 cực tiểu tại x = 0 và không có điểm cực đại.

Vậy chọn đáp án 1

Bài 10 (SGK trang 46)

Cho hàm số:

\(y = -x^4 + 2mx^2 – 2m + 1\) ( \(m\) là tham số) có đồ thị \((C_m)\)

a) Biện luận theo \(m\) số cực trị của hàm số

b) Với giá trị nào của \(m\) thì \((C_m)\) cắt trục hoành?
c) Xác định \(m \) để \((C_m)\) có cực đại, cực tiểu

 

Hướng dẫn giải

a) y= -x⁴ + 2mx² – 2m + 1(C_m). Tập xác định: D = R

y ‘ = -4x³ + 4mx = -4x (x² – m)

- Với m ≤ 0 thì y’ có một nghiệm x = 0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là x = 0

Do đó, hàm số có 2 cực trị tại x = ± √m và có một cực tiểu tại x = 0

b) Phương trình -x⁴ + 2mx² – 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm x = ± 1 với mọi m nên (C_m) luôn cắt trục hoành.

c) Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:

với m > 0 thì đồ thị (C_m) có cực đại và cực tiểu.

Bài 11 (SGK trang 46)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y=\dfrac{x+3}{x+1}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng \(y=2x+m\) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ

 

Hướng dẫn giải

a) có tập xác định : R\{-1}

Tiệm cận đứng: x = -1

Tiệm cận ngang: y = 1

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y = 2x + m

(1)

Δ = (m+1)² – 4.2(m-3) = m² – 6m + 25 = (m-3)² + 16> 0, Δm, nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N (hoành độ của M, N chính là nghiệm của (1)).

 

 

Bài 5 (SGK trang 47)

Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

\(y=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x-5\)

1. Song song với đường thẳng x=1
2. Song song với trục hoành
3. Có hệ số góc dương
4. Có hệ số góc bằng -1

Hướng dẫn giải

y’ = x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x =1, x = 3 y” = 2x – 4, y”(1) = -2, y”(3) = 2 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu có hệ số góc là y'(3) = 0. Do đó, tiếp tuyến song song với trục hoành. Chọn B

Bài 2 (SGK trang 45)

Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 2\)

 

Hướng dẫn giải

Xét hàm số : y = x⁴ – 2x² + 2

Có đạo hàm là: y’ = 4x³ – 4x = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1

Đạo hàm cấp hai: y’’ = 12x² – 4

y’’(0) = -4 < 0 ⇒ điểm cực đại x_CD =0

y’’(-1) = 8 > 0, y’’(-1) = 8 > 0

⇒ các điểm cực tiểu x_{CT =} -1, x_CT = 1

Bài 1 (SGK trang 45)

Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

\(y= -x^3 + 2x^2 – x – 7\)

\(y=\dfrac{x-5}{1-x}\)

 

Hướng dẫn giải

*Xét hàm số: y= -x³ + 2x² – x – 7

Tập xác định: D = R

\(y'\left(x\right)=-3x^2+4x-1\); \(y'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

y’ > 0 với và y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ,{1 \over 3}) \cup (1, + \infty )

Vậy hàm số đồng biến trong và nghịch biến trong b) Xét hàm số: \(y=\dfrac{x-5}{1-x}\).

Tập xác định: D = R{1}

\(y'=\dfrac{-4}{\left(1-x\right)^2}< 0,\forall x\in D\)

Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng (-^∞,1) và (1, +^∞)