Tuyển tập đề thi vào chuyên Toán và đáp án chi tiết trường THPT chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa năm 2003 đến 2020

Doc24.vn  Tài liệu soạn thảo TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi vào lớp 10 môn toán, website doc24.vn giới thiệu đến thầy c ô v à c ác e m b ộ đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa. Đ ây l à b ộ đề thi mang tính chất thực tiễn c ao, g iúp c ác t hầy c ô v à c ác e m h ọc sinh luyện thi vào lớp 10 có một tài liệu bám sát đề thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề gồm nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp các em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học n ày, t ạo được nền tảng để có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn. Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập đề thi toán vào lớp 10 chuyên lam sơn này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này! 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 06 tháng 6 năm 2019 Đề số 1 Câu I: (2,0) điểm 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 44 + + ... + = 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 2025 2024 + 2024 2025 45 1 2. Cho x là số thực âm thỏa mãn x 2 + 2 = 23 . Tính giá trị của biểu thức: x 1 A = x3 + 3 x Câu II: (2,0 điểm) 1 1 1. Giải phương trình: + 2 = x 2 − x2  x 2 + y − 2xy + x = 0 2. Giải hệ phương trình:  2 2 2 2 0 ( x + y ) − 6 x y + 3 x = Câu III: (2,0 điểm) 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x 2 − xy − 5 x + 5 y + 2 = 0 2. Cho biểu thức: A = (a 2020 + b 2020 + c 2020 ) − ( a 2016 + b 2016 + c 2016 ) với a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng A chia hết cho 30. Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) có tâm là O . Các đường cao  cắt các cạnh BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đường phân giác ngoài của BHC AB, AC lần lượt tại M , N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác của  tại điểm I khác A, IM cắt BE tại điểm P và IN cắt CF tại điểm Q . BAC 1. Chứng minh tam giác AMN cân tại A . 2. Chứng minh HPIQ là hình bình hành. 3. Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng HI và AO thuộc đường tròn ( O ) . Câu V: (1,0 điểm) 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = S= ( a 2 + 2 )( b2 + 2 )( c 2 + 2 ) ---------------- Hết--------------Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: …………………… Chữ khú giám thị 1: ............................................... Chữ ký giám thị 2: ……………….. 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Đề số 2 Câu I: (2,0) điểm KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 06 tháng 6 năm 2019 1. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng: a b c + + = 1 ab + a + 1 bc + b + 1 ca + c + 1 0 . Hãy tính giá trị của biểu 2. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 2ab + bc + 2ca = bc ca ab thức: A = . + + 8a 2 b 2 c 2 Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 x2 + x + 1 + x2 − x + 1 = 3x . 1 1 9  x + y + + =  x y 2  2. Giải hệ phương trình   xy + 1 + x + y = 5  xy y x  Câu III: (2,0 điểm) 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: y 2 + y = x 4 + x3 + x 2 + x . 2. Cho hai số nguyên dương x, y với x > 1 và thỏa mãn điều kiện: 2x 2 − 1 =y15 . Chứng minh rằng x chia hết cho 15. Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) với AB < AC . Gọi M là trung điểm của BC , AM cắt ( O ) tại điểm D khác A . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B . 1. Chứng minh rằng hai tam giác BDF , CDE đồng dạng. 2. Chứng minh rằng ba điểm E , M , F thẳng hàng và OA ⊥ EF .  cắt EF tại điểm N . Đường phân giác của CEN  cắt CN 3. Đường phân giác của BAC  cắt BN tại Q . Chứng minh rằng PQ song song tại P , đường phân giác của BFN với BC . Câu V: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt sao cho không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là tam giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674. ---------------- Hết--------------Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ............................... Chữ khú giám thị 1: ............................................... Chữ ký giám thị 2: .......................... 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Đề số 3 Câu 1 1  1  1    1) Tính giá trị biểu thức P = 1 −  1 −  ........ 1 −   1+ 2  1+ 2 + 3   1 + 2 + 3 + .... + 2018  a 3 − 3a 2 + 5a − 17 = 0 2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn biểu thức  3 2 0 b − 3b + 5b + 11 = 2 Chứng minh rằng a + b = Câu 2 1) Giải phương trình : x 2 − x − 4= 2 (1 − x ) x − 1 1 1 1  x2 + y 2 = 2) Giải hệ phương trình :   2 2 1  x − 1 + y −= xy + 2 Câu 3 1) Tính tất cả các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: x 2019 = y 2019 − y1346 − y 673 + 2 2) Cho n số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên k ta đặt S k =1k + 2k + ...... + n k Chứng minh rằng S 2019  S1 Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC . Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác, P là giao điểm các đường BC và EF . Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các cạnh AB, AC , CF tại Q, R, S 1) CMR: tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp PB DB 2) Chứng minh với D là trung điểm QS = PC DC 3) Khi B, C cố định và A thay đổi thù chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định Câu 5 Trong một giải đấu thể thao có n độ tham dự n ≥ 2 , luật đấu như sau: Hai đội bất kỳ luôn đấu với nhau đúng 1 trận. Sau một trận, đội thắng được 2 điểm, đội thua 0 điểm và hòa nhau cả hai đội được 1 điểm. Sau giải đấu các đội xếp hạng théo thứ tự từ cao xuống thấp (bằng điểm xếp cùng hạng). Hỏi điểm chênh lệch lớn nhất có thể giữa các đội xếp thứ hạng liền nhau là bao nhiêu ? _________________Hết_______________ 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: CHUYÊN TIN Thời gian: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Đề số 4 Câu 1: (2,0 điểm) 2x − y , biết x 2 − 2 y 2 = xy và y ≠ 0, x + y ≠ 0 x+ y 1 1 B + . 2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − x − 1, tính = x15 x25 1. Tính giá trị biểu thức A = Câu 2: (2,0 điểm) 2 2  − (1 + x ) = y 1. Giải hệ phương trình  2 (1 + y )2 = −  x 0 có hai nghiệm 2. Tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình 2 x 2 − 2mx + m 2 − 2 = x1 và x2 thỏa mãn 0 ≤ x1 ≤ x2 , khi đó xác định giá trị lớn nhất của x2. Câu 3: (2,0 điểm) 35. 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9 x 2 + 6 x ( y − 1) + 3 y 2 + 2 y = 2. Tìm các số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn 9 a+b = . 2 2 41 a +b Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên đường tròn (BC không đi qua O), A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC là tam giác nhọn. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N. Gọi Q là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường (O), P là giao điểm của AQ và BC, E là giao điểm của CI với MN. 1. Chứng minh tam giác BIQ cân 2. Chứng minh bốn điểm B, I, M, E cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng minh AI. PQ = IP. IQ và tìm vị trí của A để tích AI. PQ đạt giá trị lớn nhất Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 2 z 2 + x 2 z + y = 3z 2 . z4 M = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 + z 4 ( x4 + y 4 ) ---------------- Hết--------------Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ............................... Chữ ký giám thị 1: ............................................... Chữ ký giám thị 2: .......................... 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: TOÁN (Chung) Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi :02 tháng 6 năm 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Đề số 5 Câu 1: ( 2 điểm )  x +2 x +2  x   x +3  Với x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9 : A = 1 − − +   x −2  x x x 3 5 6 − − + x + 1     1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2 : ( 2 điểm ) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ; cho ba đường thẳng (d1) : y = -5(x + 1) ; (d2) : y = 3x – 13 ; (d3) : y = mx + 3 ( Với m là tham số ) Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường (d1) và (d2) với giá trị nào của m thì đường thẳng (d3) đi qua điểm I ? Cho biểu thức: b) Giải hệ phương trình  x − 1 + 2 y + 2 = 5  3. y + 2 − x − 1 = 5 Câu 3 : ( 2 điểm ) a) Tìm m để phương trình (m – 1).x2 -2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x x 5 x2 khác 0 thỏa mãn điều kiện 1 + 2 + =0? x 2 x1 2 b) Giải phương trình x x − 2 = 9 − 5x Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) với tâm O có bán kính R đường kính AB cố định, M là một điểm di động trên (O) .sao cho M không trùng với các điểm A và B .Lấy C là điểm đối xứng với O qua A .Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N đường thẳng BN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E .các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F a / Chứng minh ba điểm A; E ; F thẳng hàng và tứ giác MENF nội tiếp b / Chứng minh : AM .AN = 2R2 c / Xác định vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để tam giác BNF có diện tích nhỏ nhất Câu 5 : ( 1 điểm ) Cho a; b ; c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh rằng a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 + + >1 2ab 2bc 2ca --------------------Hết-------------------Họ và tên thí sinh : ……………………………………….. SBD :…………………………… Giám thị coi thi thứ 1: …………………………. Giám thị coi thi thứ 2 :……………. 7 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 6 Câu 1: (2,0 điểm) 1 1 1 + + ... + . 1.2.3 2.3.4 2016.2017.2018 b/ Cho các số thức m, n, p, x, y, z thỏa mãn điều kiện: x = ny + pz; y = mx + pz; z = mx + ny; x + y + z ≠ 0. 1 1 1 2. + + = Chứng minh rằng: 1+ m 1+ n 1+ p A a/ Tính tổng = Câu 2: (2,0 điểm) a/ Giải phương trình: 3 x3 + 5 x 2 − 1 = 5x2 − 2 . 6  x 2 y 2 1 + =+ −3  b/ Giải hệ phương trình:  y x x y  3 0  x − xy − 9x + 12 = Câu 3: (2,0 điểm) a 5 a 4 7a 3 5a 2 a a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a thì biểu thức: A = + + + + 120 12 24 12 5 cũng là một số tự nhiên. b) Tìm tất cả số nguyên (x, y) thỏa mãn: 5x 2 + 8y 2 = 20412. Câu 4: (3, 0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính R cố định và D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác. Gọi E và F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD và ACD. a) Chứng minh  AEO =  ADC và tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh tam giác OEF là tam giác cân. c) Khi B, C cố định và A di động trên (O) (A ≡ B, A ≡ C), chứng minh tứ giác AEOF có diện tích không đổi. Câu 5: (1, 0 điểm) Trong mặt phẳng có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường trong số các đường thẳng đó cắt được đúng 2018 đường thẳng khác? --------------------Hết-------------------- 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Đề số 7 Câu I (2.0 điểm) Cho biểu thức A = x + 1 3 − 11 x 2 x (Với x ≥ 0; x ≠ 9 ) + + 9− x x +3 x −3 a/ Rút gọn A b/ Tìm tất cả các giá trị của x để A ≥ 0 Câu II (2.0 điểm) a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): y = ( m 2 − 1) x + 2m (m là tham số) và (d2): = y 3 x + 4 . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau 0 (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để b/ Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = phương trình đó có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn ( x12 − 2mx1 + 2m − 1) ( x2 − 2 ) ≤ 0 Câu III (2.0 điểm) 2 x + y 2 = 3 a/ Giải hệ phương trình  2 1 3 x − 2 y = b/ Giải phương trình: x 2 + 4 x − 7 = ( x + 4) x2 − 7  < 90o  < 90o , tia phân giác góc BCD Câu IV (3.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD với BAD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O (Khác C), kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) cắt đường thẳng CB, CD lần lượt tại M và N.  = ODC  a/ Chứng minh OBM b/ Chứng minh ∆OBM = ∆ODC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN c/ Gọi K là giao điểm của OC và BD, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng: ND IB2 – IK 2 = MB KD 2 Câu V (1.0 điểm): Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 3 2 x ( yz + 1) y ( zx + 1) z ( xy + 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 + 2 + 2 z ( zx + 1) x ( xy + 1) y ( yz + 1) 2 2 --------------------Hết-------------------- 2 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TOÁN (CHUYÊN) Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Đề số 8 Câu 1: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng: 1 2 1 + 1 3 2 b) Với a > 8/3, chứng minh rằng: + ... + 3 1 2016 2015 > 1931 1975 3a − 1 + a 8a − 3 + 3 3a − 1 − a 8a − 3 = 1 Câu 2: (2,0 điểm) 4x 5x −3 + 2 = x + x + 3 x − 5x + 3 2  x8 y 8 + y 4 = 2x (1) b) Giải hệ phương trình  1 + x= x (1 + y ) xy ( 2 ) Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2 a) Tìm nghiệm nguyên (x, y) của phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 8)(x + 9) = y2 b) Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn phương trình: 2016 x + 2017 x = 2018 x Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA = 2R, BC là đường kính quay quanh O sao cho đường thẳng BC không đi qua A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt OA tại I khác A. Các đường thẳng AB, AC cắt (O) lần lượt tại D và E. K là giao điểm của DE và OA. a/ Chứng minh bốn điểm K, E, C, I cùng thuộc một đường tròn b) Tính độ dài AI theo R c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A khi đường kính BC quay quanh (O) Câu 5: (1, 0 điểm) Một số tự nhiên được gọi là số thú vị nếu chữ số đó có 10 chữ số đôi một khác nhau và là bội của 11111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị. --------------------Hết--------------------