Tuyển tập 500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc từ đề thi học sinh giỏi các nước - Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc ♦♦♦♦♦ 1. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 2 +(1− b) + b 2 +(1− c) + c 2 +(1− a ) ≥ 2 2 2 3 2 . 2 Komal 2. [ Dinu Serbănescu ] Cho a,b ,c ∈(0,1) . Chứng minh rằng abc + (1− a )(1−b)(1− c) <1 . Junior TST 2002, Romania 3. [ Mircea Lascu ] Cho a,b ,c là các s ố thực d ương th ỏa mãn ñiều ki ện abc = 1 . Ch ứng minh rằng b +c c + a a +b + + ≥ a + b + c +3. a b c Gazeta Matematică 4. Nếu phương trình x 4 + ax 3 + 2 x 2 + bx +1= 0 có ít nhất một nghiệm thực, thì a 2 + b2 ≥ 8 . Tournament of the Towns, 1993 5. Cho các số thực x,y z, thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Hãy tìm giá tr ị lớn nhất của biểu thức x3 + y 3 + z 3 −3 xyz . 6. Cho a,b ,c x, y, z , rằng là các s ố th ực d ương th ỏa mãn ñiều ki ện x + y+ = z 1 . Ch ứng minh ax + by + cz + 2 ( xy + yz + zx )(ab + bc + ca) ≤ a+ + b c. Ukraine, 2001 7. [ Darij Grinberg] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a (b + c) 2 + b (c + a ) 2 + c ( a + b) 2 ≥ 9 . 4 (a + b+ c) 8. [ Hojoo Lee ] Cho a,b ,c ≥ 0 . Chứng minh rằng a4 + a2b 2 +b4 + b4 +b2c 2 +c4 + c4 +c2a 2 +a4 ≥ a 2a2 +bc +b 2b2 +ca +c 2c2 +ab . Gazeta Matematică 9. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 2 . Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c3 ≥ a b + c+ b c + a+ c a + b . JBMO 2002 Shortlist 10. [ Ioan Tomescu ] Cho x,y z, là các số thực dương. Chứng minh rằng xyz 1 ≤ 4. (1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7 2 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Gazeta Matematică 11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Choa,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = c 1 . Chứng minh rằng 5(a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 6 (a 3 + b3 + c3 ) +1 . 12. [ Mircea Lascu ] Cho x1 , x2 , ...,xn ∈ ℝ, n ≥ 2, a > 0 sao cho x1 + x2 +...+ xn = a, x12 + x22 +...+ xn2 ≤ a2 . n −1 Chứng minh rằng  2a  xi ∈0,  , i = 1, 2, ...,n .  n  13. [ Adrian Zahariuc ] Cho a,b ,c ∈(0,1) . Chứng minh rằng b a c b a c + + ≥1 . 4b c − c a 4c a − a b 4a b −b c 14. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤1 . Chứng minh rằng a b c + + ≥ + a+ b b c a c. 15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a,b ,c ,x y, z, là các s ố thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + x≥ + b ≥y+ c z , a + b+ = c +x + y z . Chứng minh rằng ay + bx ≥ ac + xz . 16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho abc =1 . Chứng minh rằng 1+ a,b ,c là các s ố th ực d ương th ỏa mãn ñiều ki ện 3 6 . ≥ + + + a b c ab bc + ca Junior TST 2003, Romania 17. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2 + + ≥ + + . b2 c2 a 2 b c a JBMO 2002 Shortlist 18. Cho x1 , x2 , ...,xn > 0, n > 3 thỏa mãn ñiều kiện x1x2 ...xn = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + +...+ >1 . 1 + x1 + x1 x2 1 + x2x 3 1 + xn + xnx 1 Russia, 2004 19. [ Marian Tetiva ] Cho x,y z, là các số thực dương thỏa ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz =1 . Chứng minh rằng 1 a) xyz ≤ , 8 b) x + y+ ≤ z 3 , 2 3 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 3 c) xy + yz + zx ≤ ≤ x 2 + y 2 + z 2 , 4 1 d) xy + yz + zx ≤ + 2 xyz . 2 20. [ Marius Olteanu ] Cho x1 , x2 , ...,x5 ∈ ℝ sao cho x1 + x2 +...+ x5 = 0 . Chứng minh rằng cos x1 + cos x2 +...+ cos x5 ≥1 . Gazeta Matematică 21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x + y+ = z xyz . Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 3+ 22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x,y ,z Chứng minh rằng x,y ,z là các s ố th ực d ương th ỏa mãn ñiều ki ện x 2 +1+ y 2 +1+ z 2 +1 . là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x,y ,z >−1 . 1+ x2 1+ y2 1+ z 2 + + ≥2 . 1 + y+ z 2 1 + z+ x 2 1 + x+ y 2 JBMO, 2003 23. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = c 1 . Chứng minh rằng a 2 + b b2 + c c2 + a + + ≥2. b +c c +a a +b 24. Cho a,b ,c ≥ 0 thỏa mãn ñiều kiện a 4 + b 4 + c 4 ≤ 2 (a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ) . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2 (ab + bc + ca ) . Kvant, 1988 25. Cho x1 , x2 , ...,xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 + +...+ = . x1 +1998 x2 +1998 xn +1998 1998 Chứng minh rằng n x1 x2 ...xn n −1 ≥1998 . Vietnam, 1998 26. [Marian Tetiva ] Cho x,y ,z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = xyz . Chứng minh rằng a) xyz ≥ 27, b) xy + yz + zx ≥ 27 , c) x + y+ ≥ z 9, d) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y+ z ) + 9 . 27. Cho x,y ,z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y+ = z x + y + z ≥ xy + yz + zx . 4 3 . Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Russia 2002 28. [ D. Olteanu ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a +b a b +c b c +a c 3 . + . + . ≥ . b + c 2a + b+ c c + a 2b + c+ a a + b 2c + a+ b 4 Gazeta Matematică 29. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c ++≥ b c a c + a a +b b + c + + . c +b a +c b + a India, 2002 30. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3(ab + bc + ca ) a3 b3 c3 . + + ≥ 2 2 2 2 2 2 b −bc + c c − ac + a a − ab + b a + b+ c Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 31. [ Adrian Zahariuc ] Cho x1 , x2 , ...,xn là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng minh rằng x12 + x22 +...+ xn2 ≥ x1x2 + x2x 3 ... + xnx 1 + 2n −3 . 32. [ Murray Klamkin ] Cho x1 , x2 , ...,xn ≥ 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 +...+ xn = 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x12x 2 + x22x 3 +...+ xn2−1 xn + xn2x 1 . Crux Mathematicorum 33. Cho x1 , x2 , ...,xn > 0 thỏa mãn ñiều kiện xk +1 ≥ x1 + x2 +...+ xk với mọi k. Hãy tìm giá trị lớn nhất của hằng số c sao cho x1 + x2 +...+ xn ≤ c x1 + x2 +...+ xn . IMO Shortlist, 1986 34. Cho các s ố thực dương a,b ,c ,x y, z, minh rằng thỏa mãn ñiều kiện a + x= + b =y +c= z 1. Chứng 1 1 1 + + ≥ 3 .  ay bz cx  (abc + xyz) Russia, 2002 35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Choa,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca 1 + + ≤ (a + b+ c ) . a + b+ 2c b + c+ 2a c + a+ 2b 4 Gazeta Matematică 36. Cho a,b ,c ,d là các s ố th ực th ỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Tìm giá tr ị nh ỏ nhất của biểu thức a3 (b + c+ d ) + b3 (c + d+ a ) + c3 (d + a+ b) + d 3 (a + b+ c ) . 37. [ Walther Janous ] Cho x,y ,z là các số thực dương. Chứng minh rằng 5 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc x x + ( x + y )( x + z ) + Cao Minh Quang y y + ( y + z )( y + x ) + z z + ( z + x)( z + y ) ≤1 . Crux Mathematicorum 38. Cho a1a, 2 , ...,an , n ≥ 2 là n số thực sao cho a1 < a2 < ...< an . Chứng minh rằng a1a24 + a2a 34 +...+ ana14 ≥ a2a14 + a3a 24 +...+ a1 an4 . 39. [ Mircea Lascu ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a b + c c + a a +b b c  + + ≥ 4  + + .   b + c c + a a + b  a b c 40. Cho a1 , a2 , ...,an là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số a1 a1 , a2 a3 , ...,an−1 an , an a1 nhỏ hơn hoặc bằng 3 3. Adapted after a well – known problem 41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho x,y ,z xy + yz + zx + 2 xyz = 1 . Chứng minh rằng là các số th ực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 a) xyz ≤ , 8 3 , 2 b) x + y+ ≥ z c) 1 1 1 ++≥ x y z 1 1 1 d) ++− x y z 4 (x + y+ z ) , (2 z −1) 4 ( x + y+ z ) ≥ , z = max {x,y ,z }. z (2 z +1) 2 42. [ Manlio Marangelli ] Cho x,y z, là các số thực dương. Chứng minh rằng 3(x y2 + y 2z + z 2x )( xy 2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ xyz ( x + y+ z ) . 3 43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện max {a,b ,c }− min {a,b ,c }≤1 Chứng minh rằng 1 + a 3 + b3 + c 3 + 6abc ≥ 3a 2b + 3b 2c + 3c 2a . 44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng   1 1 1 a 2  b 2  c2  27 + 2 +   2 +   2 +  ≥ 6 (a + b+ c ) + +  .  a b c     bc  ca  ab   a2 1 45. Cho a0 = , ak+1 = ak + k . Chứng minh rằng 2 n 1 1− < an <1 . n TST Singapore 46. [ Călin Popa ] Cho a,b ,c ∈(0,1) thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng 6 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a b c 3 1 − a 2 1−b 2 1− c 2  . + + ≥ + +  1− a 2 1−b 2 1− c 2 4  a b c  47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x,y ,z ≤1 thỏa mãn ñiều kiện x + y+ = z 1. Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≤ . 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 10 48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x + y + z = 1 . Chứng minh rằng (1− x) (1− y ) (1− z ) ≥ 215 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) . 2 2 2 49. Cho x,y ,z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz= x+ y+ + z 2 . Chứng minh rằng a) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y+ z ) , x+ y+ z≤ b) 3 xyz . 2 50. Cho x,y ,z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Chứng minh rằng x + y+ ≤ z xyz + 2 . IMO Shortlist, 1987 x1 , x2 , ...,xn ∈(0,1) và σ là m ột hoán v ị của 51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho {1,2,...,n }. Ch ứng minh rằng   n  1 + ≥ 1 ∑  i =1 1− xi    n ∑ x    n 1  .  . ∑ n   i=1 1− xi .x σ(i )    i =1 i 52. Cho x1 , x2 , ...,xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện n ∑ i=1 n xi ≥ (n −1) ∑ i =1 n 1 ∑ 1+ x i=1 = 1 . Chứng minh rằng i 1 . xi Vojtech Jarnik 53. [ Titu Vàreescu ] Cho n > 3 và a1 , a2 , ...,an là các s ố thực thỏa mãn ñiều kiện n ∑ a ≥n i =1 n và ∑a i =1 2 i i ≥ n 2 . Chứng minh rằng max {a1 , a2 , ...,an }≥ 2 . USAMO, 1999 54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a,b ,c ,d là các số thực dương. Chứng minh rằng a −b b − c c − d d − a + + + ≥0. b + c c + d d + a a +b 55. Cho x,y là các số thực dương. Chứng minh rằng x y + y x >1 . 7 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang France, 1996 56. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng c 1) . (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 4 (a + b+ − MOSP, 2001 57. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 2 + b2 + c2 )(a + b− c)(b + c− a)(c + a− b) ≤ abc (ab + bc + ca) . 58. [ D.P.Mavlo ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 a 3 + a+ + b +c + + + + + ≥ a b c b b c c a 3 ( a +1)(b +1)(c +1) 1 + abc . Kvant, 1988 59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , ...,xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 ...xn = 1 . Chứng minh rằng n n  n 1 n .∏ ( x +1≥ )  ∑ xi + ∑ x  .  i=1 i=1 i=1 i  n n n i 60. Cho a,b ,c ,d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = c 1 . Chứng minh rằng 1 1 d a 3 + b3 + c3 + abcd ≥ min  , +  .  4 9 27  Kvant, 1993 61. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 ∑ (1+ a ) (1 + b ) (a −c) ( b −c) ≥(+ 2 2 2 2 2 2 a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )(a −b) ( b −c ) ( c − a ) . 2 2 2 AMM là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 62. [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Chox,y ,z xyz = 1 và α ≥1. Chứng minh rằng xα yα zα 3 + + ≥ . y+z z +x x+ y 2 63. Cho x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn ∈ ℝthỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 +...+ xn2 = y12 + y22 +...+ yn2 =1 . Chứng minh rằng  n  2 ( x1y 2 − x2y 1 ) ≤ 2 1 − ∑ xi yi  .   i =1 Korea, 2001 64. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho a1 , a2 , ...,an là các số nguyên dương khác nhau từng ñôi một. Chứng minh rằng a12 + a22 +...+ an2 ≥ 2n +1 (a1 + a2 +...+ an ) . 3 TST Romania 65. [ Călin Popa ] Cho a,b ,c là các s ố thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = c 1 . Chứng minh rằng 8 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc a ( b c 3c + ab ) Cao Minh Quang + b ( c a 3a + bc 66. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho ) + c ( a b 3b + ca ) ≥ 33 . 4 a,b ,c ,d là các s ố th ực th ỏa mãn ñiều ki ện (1 + a 2 )(1+ b2 )(1 + c 2 )(1 + d 2 ) = 16 . Chứng minh rằng −3≤ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd ≤ 5 . 67. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 2 + 2)(b2 + 2)(c 2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) . APMO, 2004 68. [ Vasile Cirtoale ] Cho x,y z, là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện 0 < x≤ ≤y x + y+ = z xyz + 2 . Chứng minh rằng z, a) (1− xy )(1− yz )(1− zx) ≥ 0 , b) x 2y ≤1, x 3y 2 ≤ 32 . 27 69. [ Titu Vàreescu ] Cho a,b ,c là các s ố thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ ≥ c abc . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất ñẳng thức sau ñây là ñúng 2 3 6 ++≥ a b c 2 3 6 6, + + ≥ b c a 2 3 6 6, + + ≥ c a b 6. TST 2001, USA 70. [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho kiện x + y+ = z xyz . Chứng minh rằng x,y ,z là các s ố th ực d ương th ỏa mãn ñiều ( x −1)( y −1)( z −1≤ ) 6 3 −10 . 71. [ Marian Tetiva ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 −b3 b3 − c3 c 3 − a 3 (a −b) +(b − c ) +(c − a ) + + ≤ . a +b b +c c +a 4 2 2 2 Moldova TST, 2004 72. [ Titu Vàreescu ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a5 − a 2 + 3)(b5 −b2 + 3)(c5 −c 2 + 3) ≥ (a + b+ c)3 . USAMO, 2004 73. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , ...,xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện  n   n 1  2  x  k   ∑ x  = n +1 .  ∑  k =1 k  k =1 Chứng minh rằng  n 2  n 1  2  x    > n 2 + 4+ . k ∑ 2  ∑  n (n −1)  k =1 xk  k =1 74. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho Chứng minh rằng a,b ,c là các s ố th ực dương. 9 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3≥ + (1 a)(1 + b)(1 + c) . 75. [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (2a + b+ c) (2b + a+ c) (2c + b+ c) + 2 + 2 ≤8 . 2 2 2 2 2a +(b + c) 2b +(a + c) 2 c +( a + b ) 2 2 2 USAMO, 2003 76. Cho x,y là các số thực dương và m,n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng (n −1)(m −1)( x m+n + y m+n ) +(m + n− 1)( x m y n + x ny m ) ≥ mn (x m+n −1 y + y m+n −1 x) . Austrian – Polish Competition, 1995 77. Cho a,b ,c ,d e, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcde = 1 . Chứng minh rằng a + abc b + bcd c + cde d + dea e + eab 10 + + + + ≥ . 1 + ab + abcd 1 + bc + bcde 1 + cd + cdea 1 + de + deab 1 + ea + eabc 3 Crux Mathematicorum  π 78. [ Titu Vàreescu ] Cho a,b ,c ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  sin a.sin (a − b).sin (a −c ) sin b.sin (b −c ).sin (b − a ) sin c.sin (c − a ).sin (c −b) + + ≥0 . sin (b + c ) sin (c + a ) sin (a + b) TST 2003, USA 79. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 4 + b 4 + c 4 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ≥ a 3b + b3c + c 3a + ab3 + bc3 + ca 3 . KMO Summer Program Test, 2001 80. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho a1 , a2 , ...,an > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện a1a2 ...an =1 . Hãy tìm hằng số kn nhỏ nhất sao cho (a 2 1 a1 a2 + a2 )(a + a1 ) 2 2 + (a a2a 3 2 2 + a3 )(a + a2 ) 81. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a,b ,c x, y, z , ax + by + cz + 2 3 +...+ (a 2 n ana1 + a1 )(a12 + an ) ≤ kn . là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 (a 2 + b2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 3 (a + b+ c)( x + y+ z ) . Kvant, 1989 82. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a,b ,c là ñộdài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a b c  3 + + − ≥1  b c a   b c a 2  + +  .  a b c  83. [ Walther Janous ] Cho x1 , x2 , ...,xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 +...+ xn = 1 . Chứng minh rằng n     1 + 1  ≥  n − xi  . ∏  x  ∏  1− x  n i=1 i i=1 i Crux Mathematicorum 10 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 84. [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho x1 , x2 , ...,xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 ...xn = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + +...+ ≤1 . n −1+ x1 n −1+ x2 n −1+ xn TST 1999, Romania 2 85. [ Titu Vàreescu ] Cho a,b,c là các s ố thực không âm th ỏa ñiều kiện a2 +b+ + c2 abc=4 . Chứng minh rằng 0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2 . USAMO, 2001 86. [ Titu Vàreescu ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a + b+ c 3 − abc ≤ max 3 {( ) ( 2 a− b , ) ( 2 b− c , c− a ) }. 2 TST 2000, USA 87. [ Kiran Kedlaya ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a + ab + 3 abc 3 a + b a + b+ c ≤ a. . . 3 2 3 88. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho v ới bất kì s ố nguyên d ương n không chính ph ương, ta có (1+ n ) sin (π n ) > k . Vietnamese IMO Training Camp, 1995 89. [ Trần Nam Dũng ] Cho x,y z, là các số thực dương thỏa ñiều kiện ( x + y+ z ) = 32 xyz . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 x4 + y 4 + z 4 ( x + y+ z ) 4 . Vietnam, 2004 90. [ George Tsintifas ] Cho a,b ,c d, là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 4 c d) . (a + b) ( b + c) ( c + d ) ( d + a) ≥16a 2b 2c d2 2 (a + b+ + Crux Mathematicorum 91. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a,b ,c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = c 1 và n là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (ab) n 1− ab (bc) n + 1−bc (ca) n + 1− ca . 92. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 . + + ≥ a (1 + b) b (1 + c ) c (1 + a ) 3 abc 1 + 3 abc ( ) 93. [Trần Nam Dũng ] Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 9 . Chứng minh rằng 11 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 (a + b+ c) − abc ≤10 . Vietnam, 2002 94. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng   a + 1−  b  1 1  b + −   c  + 1    b + 1−  c  1 1  c + −   a  + 1    c + 1−  a  1 1  a + −   b  ≥ 1  3. 95. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là s ố nguyên l ớn hơn 2. Tìm s ố th ực lớn nhất mn và s ố thực nhỏ nhất M n sao cho với các số thực dương bất kì x1 , x2 , ...,xn (xem xn = x0 , xn+1 = x1 ), ta có n mn ≤ ∑ i=1 xi ≤ Mn . xi−1 + 2 (n −1) xi + xi +1 96. [ Vasile Cirtoaje ] Cho x,y ,z là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 9 + 2 + 2 ≥ . 2 2 2 2 x + xy + y y + yz + z z + zx + x ( x + y+ z ) 2 Gazeta Matematică 97. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a,b ,c ,d là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 ( a3 +1)(b3 +1)(c 3 +1)(d 3 +1≥ ) +(1 abcd )(1 + a 2 )(1+ b2 )(1 + c2 )(1 + d 2 ) . Gazeta Matematică 98. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 (a + b) +(b + c) +(c + a) ≥ 4 4 a + b4 + c4 ) . ( 7 Vietnam TST, 1996 99. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 . + + ≤ + + 1 + a+ b 1 + b+ c 1 + c+ a 2 + a 2 + b 2 + c Bulgaria, 1997 100. [Trần Nam D ũng ] Cho a,b ,c là các s ố thực dương thỏa 21ab + 2bc + 8ca ≤12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 ++ . a b c Vietnam, 2001 101. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a,b ,c x, y, z , ñiều kiện xy + yz + zx = 3 . Chứng minh rằng là các số thực dương thỏa mãn a b c ( y + z)+ ( z + x) + ( x + y) ≥ 3 . b +c c +a a +b 102. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (b + c− a ) (c + a− b) (a + b− c) 3 + + ≥ . 2 2 2 (b + c) + a 2 (c + a) + b 2 (a + b) + c 2 5 2 2 Japan, 1997 12 2 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 103. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho a1 a, 2 , ...,an ≥ 0, an = min {a1a, 2 , ...,an }. Chứng minh rằng  a + a2 +...+ an−1 n a1n + a2n +...+ ann − na1a2 ...an ≥ (n −1) 1 − an  .   n −1 104. [ Turkervici ] Cho x,y z, t, là các số thực dương. Chứng minh rằng x 4 + y 4 + z 4 + t 4 + 2 xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + x 2z 2 + y 2t 2 . Kvant 105. Cho a1a, 2 , ...,an là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 n  n  ij  a  ≤ ai a j . ∑ ∑ i  i=1  i , j =1 i + j− 1 106. Cho a1 a, 2 , ...,an , b1 ,b 2 , ...,bn ∈(1001, 2002) sao cho a12 + a22 +...+ an2 = b12 + b22 +...+ bn2 . Chứng minh rằng a 3 17 a13 a23 + +...+ n ≤ (a12 + a22 +...+ an2 ) . b1 b2 bn 10 TST Singapore 107. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a,b ,c là các s ố thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = c 1 . Chứng minh rằng (a 2 + b2 )(b2 + c2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8(a 2b 2 + b2c 2 + c2a 2 ) 2 . 108. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a,b ,c ,d là các s ố th ực d ương th ỏa mãn ñiều ki ện abcd = 1 . Chứng minh rằng 1 (1 + a ) 2 + 1 (1 + b) 2 + 1 (1 + c ) 2 + 1 (1 + d ) 2 ≥1 . Gazeta Matematică 109. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + . 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b b + c c + a a +b Gazeta Matematică 110. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n số thực a1 , a2 , ...,an . Chứng minh rằng 2   2   ≤ ∑ (ai +...+ a j ) . a ∑ i    i∈ℕ*  1≤i ≤j ≤n TST 2004, Romania 111. [Trần Nam D ũng ] Cho x1 , x2 , ...,xn ∈[ −1,1] th ỏa mãn ñiều ki ện x13 + x23 +...+ xn3 = 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x1 + x2 +...+ xn . 112. [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n số thực a1a, 2 , ...,an , n ≥ 2 thỏa mãn ñiều kiện a1a2 ...an = 1 . Chứng minh rằng 13 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2n n n −1 ( a1 + a2 +...+ an − n) . n −1 a12 + a22 +...+ an2 − n≥ 113. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2a 2b 2c + + ≤3. a +b b +c c +a Gazeta Matematică 114. Cho x,y ,z là các số thực dương. Chứng minh rằng  1 1 1  9 ≥ . + + ( xy + yz + zx)  2 2 2 ( y + z ) ( z + x)  4 ( x + y ) Iran, 1996 115. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 , ...,xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện n ) ∏ (3x +1≤ i i=1 2n . Chứng minh rằng n 1 n ∑ 6 x +1 ≥ 3 . i=1 i 116. [ Suranyi ] Cho a1 , a2 , ...,an là các số thực dương. Chứng minh rằng (n −1)(a1n + a2n +...+ ann ) + na1a2 ...an ≥ (a1 + a2 +...+ an )(a1n−1 + a2n−1 +...+ ann−1 ) . Miklos Schweitzer Competition 117. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , ...,xn > 0 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 ...xn = 1 . Chứng minh rằng n ∑ (x − x ) ≥ ∑ x 2 i 1≤i ≤ j≤n j i =1 2 i −n . A generazation of Tukervici’s Inequality 118. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 , ...,an < 1 và a1 + a2 +...+ an = 1, n > 2 . Tìm giá trị n −1 nhỏ nhất của biểu thức n ∑ i =1 a1a2 ...an . 1−(n −1) ai 119. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1a, 2 , ...,an ∈[0,1) thỏa mãn ñiều kiện a= a12 + a22 +...+ an2 3 ≥ . n 3 Chứng minh rằng an a1 a na . + 2 2 +...+ ≥ 2 2 1− a1 1− a2 1− an 1− a 2 120. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a,b ,c ,x y, z, kiện 14 là các số thực dương thỏa mãn ñiều 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang (a + b+ c)( x + y+ z ) = (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 . Chứng minh rằng abcxyz < 1 . 36 121. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , ...,xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1x2 ...xn = 1 . Tìm hằng số kn nhỏ nhất sao cho 1 1 + +...+ 1 + knx 1 1 + knx 2 1 ≤ n− 1 . 1 + knx n Mathlinks Contest 122. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , ...,xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 +...+ xn2 = 1 . Tìm hằng số kn lớn nhất sao cho (1− x1 )(1− x2 )...(1 − xn ) ≥ knx 1x 2 ...xn . 123. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ . a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) 2 3 IMO, 1995 124. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng ab bc ca + 5 + 5 ≤1 . 5 5 a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca 5 IMO Shortlist, 1996 125. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18 . + + ≥ 3 3 3 3 c a b a + b3 + c3 Hong Kong, 2000 126. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 + (a +1) + b +1 (b +1) + c +1 2 2 2 2 + 1 1 ≤ . (c +1) + a +1 2 2 2 127. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng   a −1+  1    b −1+ 1    c −1+ b  c  1   ≤1 . a  IMO, 2000 128. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 3 + + ≥ . (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + a )(1 + b) 4 IMO Shortlist, 1998 129. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = c 1 . Chứng minh rằng 15 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ab bc ca 1 + + ≤ . 1+ c 1+ a 1+b 4 c 1 . Chứng minh rằng 130. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = a 2 + b 2 + c 2 + 2 3abc ≤1 . Poland, 1999 131. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng a + b+ + c 1 ≥4 3 . abc Macedonia, 1999 132. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = c 1 . Chứng minh rằng ab + c+ bc + a+ ca + b≥ + 1 ab + bc + ca . c 1 . Chứng minh rằng 133. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ = (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (1 − a )(1−b)(1− c) . Russia, 1991 134. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b= 1 . Chứng minh rằng a2 b2 1 + ≥ . a +1 b +1 3 Hungary, 1996 135. Cho các số thực x,y . Chứng minh rằng 3( x + y+ 1) +1≥ 3 xy . 2 Columbia, 2001 136. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3  1 1 a b 2 (a + b) +  ≥ 3 + 3 .  a b  b a Czech and Slovakia, 2000 137. Cho a,b ,c ≥1 . Chứng minh rằng a −1+ b −1+ c (ab +1) . c −1≤ Hong Kong, 1998 138. Cho x,y ,z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y+ = z 1 1+ x 2 + 1 1+ y 2 + 1 3 ≤ . 2 1+ z 2 Korea, 1998 139. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a a + 8bc 2 + b b + 8ca 2 + IMO, 2001 16 c c + 8ab 2 ≥1 . xyz . Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 140. Cho a,b ,c ,d là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c d 2 + + + ≥ . b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + a+ 3b a + 2b + 3c 3 IMO Shortlist, 1993 141. Cho a,b ,c ,d là các s ố th ực d ương th ỏa mãn ñiều ki ện ab +bc +cd + da =1 . Ch ứng minh rằng a3 b3 c3 d3 1 + + + ≥ . b + c+ d c + d+ a d + a+ b a + b+ c 3 IMO Shortlist, 1990 142. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 bc ca ab + 2 + 2 ≥1≥ 2 + 2 + 2 . 2 a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + 2bc b + 2ca c + 2ab Romania, 1997 143. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c3 + + ≥ a+ + b c. bc ca ab Canada, 2002 144. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ . 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 USA, 1997 145. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 +b2 +c2 = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 Belarus, 1999 146. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c ++≥ b c a a +b b + c + +1 . b +c a +b Belarus, 1998 3 147. Cho a,b ,c ≥− , a + b+ = c 1 . Chứng minh rằng 4 a b c 9 + 2 + 2 ≤ . a +1 b +1 c +1 10 2 Poland, 1996 148. Cho x,y ,z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x9 + y 9 y9 + z9 z 9 + x9 + + ≥2 . x 6 + x 3y 3 + y 6 y 6 + y 3z 3 + z 6 z 6 + z 3z 3 + x 6 Roamania, 1997 149. Cho x ≥ y≥ >z 0 . Chứng minh rằng 17 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x 2y y 2z z 2x + + ≥ x2 + y2 + z 2 . z x y Vietnam, 1991 150. Cho a ≥ b≥ > c 0 . Chứng minh rằng a 2 −b 2 c 2 − b 2 a 2 − c 2 + + ≥ 3a − 4b + c . c a b Ukraine, 1992 151. Cho x,y z, là các số thực dương. Chứng minh rằng ( xyz x + y+ + z (x 2 x2 + y2 + z2 + y + z )( xy + yz + zx ) 2 2 ) ≤ 3+ 3 9 . Hong Kong, 1997 152. Cho a1 , a2 , ..., an > 0 và a1 + a2 +...+ an <1 . Chứng minh rằng a1a2 ...an (1− a− a2 −...− an ) 1 1 ≤ n+1 . (a1 + a2 +...+ an )(1− a1 )(1− a2 )...(1 − an ) n IMO Shortlist, 1998 153. Cho hai số thực a,b , a ≠ 0 . Chứng minh rằng a 2 + b2 + 1 b +≥ a2 a 3. Austria, 2000 154. Cho a1 , a2 , ..., an > 0 . Chứng minh rằng a2 a2 a12 a22 + +...+ n−1 + n ≥ a1 + a2 +...+ an . a2 a3 an a1 China, 1984 155. Cho x,y ,z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 + x+ + y ≥z 2 ( xy + yz + zx) . Russia, 2000 156. Cho x,y ,z là các s ố th ực d ương th ỏa mãn ñiều kiện xyz ≥ xy + yz + zx . Ch ứng minh rằng xyz ≥ 3( x + y+ z ) . India, 2001 157. Cho x,y ,z >1 và 1 1 1 ++= x y z 2 . Chứng minh rằng x + y+ ≥ z x −1+ y −1+ z −1 . IMO, 1992 158. Cho a,b ,c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab+bc + ca =1. Chứng minh rằng 3 18 1 1 1 1 + 6b + 3 + 6c + 3 + 6a ≤ . a b c abc 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang IMO Shortlist, 2004 159. Cho x ≥ 2, y ≥ 2, z ≥ 2 . Chứng minh rằng ( x3 + y)( y3 + z )( z 3 + x) ≥125 xyz . Saint Petersburg, 1997 160. Cho a,b ,c ,d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện c 2 + d 2 = (a 2 + b 2 ) . Chứng 3 minh rằng a 3 b3 + ≥1. c d Singapore, 2000 161. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ≥1 . b + 2c c + 2a a + 2b Czech – Slovak Match, 1999 162. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca a b c + + ≥ + + . c (c + a) a (a + b) b (b + c) c + a b + a c + b Moldova, 1999 163. Cho a,b ,c ,d là các số thực dương. Chứng minh rằng a +c b + d c + a d +b + + + ≥4. a +b b + c c + d d + a Baltic way, 1995 164. Cho x,y ,u v, là các số thực dương. Chứng minh rằng xy + xu + uy + uv xy uv . ≥ + x + y+ + u v x + y u +v Poland, 1993 165. Cho a,b ,c là các số thực dương. Chứng minh rằng    a    1 +  1 + b  1 + c  ≥ 2 1 + a + b+ c  . 3    b    c  a  abc  APMO, 1998 166. Cho x,y ,z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x + y+ z= 1. Chứng minh rằng x 2y + y 2z + z 2x ≤ 4 . 27 Canada, 1999 167. Cho a,b ,c ,d e, f, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b+ + c +d + e f = 1, ace + bdf ≥ 1 . 108 Chứng minh rằng 19 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang abc + bcd + cde + def + efa + fab ≤ 1 . 36 Poland, 1998 168. Cho a,b ,c ∈[0,1]. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≤ a 2b + b 2c + c 2a +1 . Italy, 1993 169. Cho a,b ,c ≥ 0, a + b+ ≥ c abc . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ abc . Ireland, 1997 170. Cho a,b ,c ≥ 0, a + b+ ≥ c abc . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3abc . BMO, 2001 171. Cho x,y ,z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x +y+ z= xyz. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 9 ( x + y+ z ) . Belarus, 1996 172. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các s ố th ực d ương th ỏa mãn ñiều ki ện x1x2x 3x 4 = 1 . Ch ứng minh rằng  1 1 1 1  x13 + x23 + x33 + x43 ≥ max  x1 + x2 + x3 + x4 , + + +  .  x1 x2 x3 x4  Iran, 1997 173. Cho a,b ,c ,x y, z, là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 (a + b+ c ) + + ≥ . x y z 3( x + y+ z ) 3 Belarus TST, 2000 174. Cho a,b ,c ,d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 + + + =1 . 4 4 4 1+ a 1+b 1+ c 1+ d 4 Chứng minh rằng abcd ≥ 3 . Latvia, 2002 175. Cho x,y ,z >1 . Chứng minh rằng xx 2 +2 yz yy 2 +2 zx zz 2 +2 xy xy + yz + zx ≥ ( xyz ) Proposed for 1999 USAMO 176. Cho c ≥ b≥ ≥ a 0 . Chứng minh rằng (a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) ≥ 60abc . Turkey, 1999 20 .