tích phân hàm ẩn mưc độ 3

Tích phân nâng cao
3

Câu 1.Nếu f (0 ) =1 , f ' ( x) liên tục và

∫f ' ( x)dx=9 thì giá trị của f (3) là:
0

A. 3.
B. 9.
C. 10.
D.Đáp án khác.
Câu 2.Cho f ( x) và g (x ) là hai hàm số liên tục trên [ −1,1] và f ( x) là hàm số chẵn, g (x ) là hàm số lẻ.
1

Biết

1

∫f ( x)dx=5 và ∫g(x )dx =7 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
0

0

1

A.

1

B. ∫g (x )dx =14 .

∫f ( x)dx =10 .

−1
1

−1
1

C. ∫ f ( x) + g (x ) dx=10 .

D. ∫ f ( x) −g (x ) dx=10 .

−1

−1

6

Câu 3.Cho tích phân

3

∫f ( x)dx=20 . Tính tích phân I =∫f (2 x)dx.
0

0

A. I =40 .

B. I =10 .

C. I =20 .

Câu 4.Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn

∫f ( x)dx=10 và ∫f ( x)dx=6 . Tính giá trị
0

2

D. I =5 .
4

6

2

6

của biểu thức P = ∫f ( x)dx+ ∫f ( x)dx.
0

4

B. P =16 .

A. P =4 .`

C. P =8 .

D. P =10 .

π

π

2

2

. f (cos x)dx.
Câu 5.Cho tích phân I = ∫cos x. f (sin x)dx =8 . Tính tích phân K = ∫sin x
0

A. K = −
8.

0

C. K =8 .

B. K =4 .

Câu 6.Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0; 1] và có

1

1

∫ 3 −2 f ( x) dx=5 . Tính

∫f ( x)dx.

0

A. −1 .

B. 2.

D. K =16 .

0

C. 1.

D. −2 .
1

Câu 7.Cho hai hàm số f ( x) và g (x ) liên tục trên đoạn [0; 1], có

1

∫f ( x)dx=4 và ∫g(x )dx =
0

0

tích phân I = ∫ f ( x) −3g (x ) dx.
A. −10 .

B. 10 .

C. 2.

D. −2 .

Câu 8.Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm là f ' ( x) liên tục trên đoạn [0; 1] và f (1) =2 . Biết
1

1

∫f ( x)dx=1 , tính tích phân I =∫x. f ' ( x)dx.
0

0

A. I =1 .

C. I =3 .

B. I = −
1.

1

Câu 9.Cho hàm số f ( x) =ln x + x2 + 1 . Tính tích phân I = ∫f ' ( x)dx.
0

1

D. I = −
3.

−
2 . Tính

(

A. I =ln 2 .

)

B. I =ln 1 + 2 .

C. . I =ln 2

D.. I =2 ln 2

Câu 10.
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f (1) =e2 ,
ln 3
2

∫ f ' ( x)dx =9 −e . Tính I = f (ln 3) .
1

B. I =9 .

A. I =9 −2e2 .

C. I = −
9.

D. I =2e2 −9 .

Câu 11.Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g(x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn
1

1

∫f ' ( x).g(x )dx =1 ,

∫f ( x).g ' ( x)dx= −1 . Tính I =∫ f ( x).g(x ) dx.

0

A. I = −
2.

1

0

/

0

B. I =0 .

C. I =3 .

D. I =2 .
π

1

Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R, thỏa mãn
Câu 12.

4

∫f ( x)dx=1 . Tính I =∫( tan
0

A. I =1 .

+ 1). f ( tan x)dx.

0

π

B. I = −
1.

2

C. I = .
4

π

D. I = − .
4

1
1 
Câu 13.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục và thỏa mãn f ( x) + 2 f   =3 x với x∈  ; 2 . Tính
 x
2 

A.

9
.
2

B.

3
.
2

9
C. − .
2

2

f ( x)
dx.
x

∫
1
2

3
D. − .
2

Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x) + f ( −x) = 2 + 2 cos 2x . Tính
Câu 14.
π
2

I = ∫ f ( x)dx.
π
−
2

A. I = −
1.

B. I =1 .

C. I = −
2.

π

Câu 15.
Biết hàm số y = f  x +  là hàm số chẵn trên đoạn
2


 π π
 −2 ; 2  và f ( x) +

D. I =2 .

π

f  x +  =sin x + cos x
2


π
2

. Tính I =∫f ( x)dx.
0

A. I =0 .

1
C. I = .
2

B. I =1 .

D. I = −
1.
1

Câu 16.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R, thỏa mãn f ( −x) + 2018 f ( x) =ex . Tính I = ∫f ( x)dx.
−1

A. I =

e2 −1
.
2019e

B. I =

e2 −1
.
2018e

C. I =0 .

2

D. I =

e2 −1
.
e

1

Câu 17.
Cho hàm số f ( x) thỏa mãn

1

∫( x+ 1) f ' ( x)dx=10 và
0

A. I =8 .

8.
B. I = −

2 f (1) − f (0 ) =2 . Tính I =∫f ( x)dx.

C. I =4 .

0

D. I = −
4.

1

Cho hàm số f ( x) thỏa f (0 ) = f (1) =1 . Biết ∫ex  f ( x) + f ' ( x) dx=ae+ b . Tính biểu thức
Câu 18.
0

2018

Q =a

2018

+b

.

A. Q =8 .

B. Q =6 .

C. Q =4 .

D. Q =2 .

x2

Cho hàm số f ( x) liên tục trên (0;+∞) và thỏa
Câu 19.

∫f (t) dt=x.cos πx . Tính f (4 ) .
0

2
B. f ( 4 ) = .
3

A. f ( 4 ) =123 .

3
C. f ( 4 ) = .
4

1
D. f (4 ) = .
4

f ( x)

Câu 20.
Cho hàm số f ( x) thỏa mãn

2

∫t .dt=x.cos πx. Tính f (4 ) .
0

1
C. f ( 4 ) = .
2

1.
B. f ( 4 ) = −

A. f ( 4 ) =2 3 .

D. f (4 ) = 3 12 .

Câu 21.
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f ( x) > 0 khi x∈ [1, 2] . Biết
2

2

∫f ' ( x)dx=10 và
1

10 .
A. f ( 2 ) = −

f' x

( )
∫ f ( x) dx=ln 2. Tính f (2 ) .
1

B. f (2 ) =20 .

C. f ( 2 ) =10 .

20 .
D. f (2 ) = −

Câu 22.
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;1] , thỏa mãn f ( x) > 0 ∀x ∈ R và

f ' ( x) + 2 f ( x) =0 . Biết f (1) =1 , tính f (−1) .
A. f ( −1) =e−2 .

B. f ( −1) =e3 .

C. f (−1) =e4 .

D. f (−1) =3 .

Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng (0;+∞) và thỏa
Câu 24.

f (1) =1 , f ( x) = f ' ( x) 3 x + 1 . Mệnh đề nào đúng?
A. 1 < f (5 ) < 2 .

B. 4 < f (5 ) < 5 .

C. 2 < f (5 ) < 3 .

D. 3 < f (5 ) < 4 .

Câu 24.
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên R và f ( x) > 0 khi x ∈ [0; a] ( a > 0 ). Biết
a

dx
f ( x). f ( a −x) =1 , tính tích phân I =∫
.
1 + f ( x)
0
a
A. I = .
2

a
C. I = .
3

B. I =2a .
x

 π
Cho hàm số G (x ) =∫t.cos ( x −t).dt. Tính G '   .
Câu 25.
 2
0
3

a
D. I = .
4

 π
A. G '   = −
1.
 2

 π
B. G '   =1 .
 2

 π
C. G '   =0 .
 2

 π
D. G '   =2 .
 2

x2

Câu 26.
Cho hàm số G (x ) = ∫cos t. dt ( x > 0 ). Tính G ' x
( ).
0

A. G ' x
( ) =x2 .cos x.

B. G ' x
( ) =2 x.cos x.

C. G ' x
( ) =cos x.

D. G ' x
( ) =cos x−1.

x

Tìm giá trị lớn nhất của G (x ) =∫(t2 + t) dt trên đoạn [ −1;1] .
Câu 27.
1

A.

1
.
6

5
C. − .
6

B. 2 .

5
D. .
6

x

Cho hàm số G (x ) =∫ 1 + t2 dt. Tính G ' x
Câu 28.
( ).
1

A.

x
2

1+ x

B. 1 + x2 .

.

C.

1

D. ( x2 + 1) x2 + 1 .

.

2

1+ x

x

Câu 29.
Cho hàm số F (x ) = ∫sin t2 .dt ( x> 0 ). Tính F ' ( x) .
1

A. sin x .

B.

sin x
.
2 x

C.

2 sinx
.
x

D. sin x .

x

Tính đạo hàm của f ( x) , biết f ( x) thỏa ∫t. ef (t)dt =ef ( x) .
Câu 30.
0

1
C. f ' ( x) = .
x

B. f ' ( x) = x2 + 1 .

A. f ' ( x) =x.

1
.
D. f ' ( x) =
1 −x

Câu 31. (Trích Câu 32 mã đề 101 TNPT
Cho 2017).
F (x ) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) e2 x .
Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) e2 x .
A.

2x

2

B.

∫f ′( x) e dx= −x + 2 x + C
C. ∫f ′( x) e dx=2 x −2 x + C
2x

2x

2

∫f ′( x) e dx= −x + x + C
D. ∫f ′( x) e dx= −
2x + 2x+ C
2x

2

2

Câu 32. (Trích Câu 40 mã đề 102 TNPTCho
2017).
F (x ) =( x −1)ex là một nguyên hàm của hàm số
f ( x) e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) e2 x .
2 −x x
2x
A. ∫f ′( x) e2 xdx =(4 −2 x) ex + C
∫B.f ′( x) e dx = 2 e + C
C. ∫f ′( x) e2 xdx =(2 −x) ex + C
e2 xdx =( x −2)ex + C
∫f ′( x)D.
1
f ( x)
Câu 33. (Trích Câu 37 mã đề 103 TNPT
Cho2017).
.
F (x ) = − 3 là một nguyên hàm của hàm số
3x
x
Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) ln x .
ln x 1
ln x 1
A. ∫f ′( x) ln xdx= 3 + 5 + C
B.
f ′( x) ln xdx= 3 − 5 + C
∫
x
5x
x
5x
4

C. ∫f ′( x) ln xdx=

ln x 1
+
+C
x3 3 x3

∫D.f ′( x) ln xdx=

Câu 34. (Trích Câu 42 mã đề 104 TNPT
Cho2017).
F (x ) =
Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) ln x
 ln x 1 
A. ∫f ′( x) ln xdx= −
 2 + 2  +C
2x 
 x
 ln x 1 
C. ∫f ′( x) ln xdx= −
 2 + 2  +C
x 
 x

ln x 1
− 3 + 3 +C
x
3x

1
là một nguyên hàm của hàm số
2 x2

ln x

f ( x)
.
x

1
+C
x2
ln x 1
∫f ′( xD.) ln xdx= x2 + 2 x2 + C

∫B.f ′( x) ln xdx= x

2

+

Đáp Án
Câu
Chọn
Câu
Chọn

1
C
18
D

2
B
19
D

3
B
20
D

4
A
21
B

5
C
22
C

6
A
23
D

7
B
24
A

8
A
25
B

9
B
26
B

10
B
27
C

11
B
28
A

12
A
29
B

13
B
30
D

14
D
31
D

15
D
32
C

16
A
33
C

17
B
34
A

Lời Giải
3

Câu 1: CTa có:

3

∫f ' ( x)dx = f ( x) 0 = f (3) − f (0 ) =9 ⇔ f (3) −1 =9 ⇔ f (3) =10 ⇒ Chọn C
0

Câu 2: BNhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh:
a

1. Nếu hàm f ( x) CHẴN thì

a

a

∫f ( x)dx =2∫f ( x)dx

−a

2. Nếu hàm f ( x) LẺ thì

0

∫f ( x)dx=0

−a

Nếu chứng minh thì như sau:
1

0

1

Đặt A = ∫f ( x)dx = ∫f ( x)dx+ ∫f ( x)dx
−1
−1
0


A1

A2

0

dx
A1 = ∫f ( x)dx. Đặt t = −
x ⇒ dt = −
−1

Đổi cận:

0

1

1

⇒ A1 =∫f ( −t). (−dt) =∫f ( −t) dt =∫f (−x)dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
1
1

0

0

phân) =∫f ( x)dx (Do f ( x) là hàm chẵn ⇒ f ( −x) = f ( x) )
0

1

1

1

Vậy A = ∫f ( x)dx =∫f ( x)dx+ ∫f ( x)dx =10 (1)
−1

0

0

5

1

0

1

Đặt B = ∫g (x )dx = ∫g (x )dx + ∫g (x )dx
−1
−1
0


B1

B2

0

dx
B1 = ∫g (x )dx . Đặt t = −
x ⇒ dt = −
−1

Đổi cận:
0

1

1

⇒ B1 =∫g ( −t). (−dt) =∫g (−t) dt =∫g ( −x)dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
1

0

0

1

phân) = −
∫g(x )dx (Do f ( x) là hàm chẵn ⇒ g(−x) = −g(x ) )
0

1

1

1

Vậy B = ∫g (x )dx = −
∫g(x )dx + ∫g(x )dx =0 (2)
−1

0

0

Từ (1) và (2) ⇒ Chọn B
3

Câu 3: BI =∫f (2 x)dx Đặt t =2 x ⇒ dt =2dx Đổi cận:
0

6

6

1
1
⇒ I= ∫f (t) dt = ∫f ( x)dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân )
20
20
1
= .20 =10 ⇒ Chọn B
2
2

6

2
6
 6
Câu 4: ATa có: P =∫f ( x)dx+ ∫f ( x)dx= ∫f ( x)dx+ ∫f ( x)dx + ∫f ( x)dx
0
4
6
0
 4
6
4
2
6
6
2


=∫f ( x)dx+  ∫f ( x)dx+ ∫f ( x)dx + ∫f ( x)dx =∫f ( x)dx+ ∫f ( x)dx =10 −6 =4 ⇒ Chọn A
0
4
0
4
6
 4

π
2

Câu 5: CI = ∫cos x. f (sin x)dx Đặt t =
0

0

⇒ I=

 π





π
2



 π

dx Đổi cận:
−x ⇒ dt = −

π

π

2

2

∫π cos  2 −t  . f  sin  2 −t   . (−dt) = ∫sin t. f (cos x).dt = ∫sin x. f (cos x).dt (Tích phân xác định
0

0

2

không phụ thuộc vào biến số tích phân) = K ⇒ K = I =8 ⇒ Chọn C
1

Câu 6: ATa có:

1

0

1

⇔ −2 ∫f ( x)dx =5 −3 =2 ⇒
0

1

1

1

∫ 3 −2 f ( x) dx=5 ⇔ ∫3dx−2∫f ( x)dx =5 ⇔ 3x 0 −2∫f ( x)dx =5
0

0

0

1

∫f ( x)dx =

−
1 ⇒ Chọn A

0

6

1

1

1

Câu 7: B I = ∫ f ( x) −3g (x ) dx= ∫f ( x)dx−3∫g (x )dx =4 −3 ( −2 ) =10 ⇒ Chọn B
0

0

0

1

Câu 8: ATa có: I = ∫x. f ' ( x)dx
0

Đặt u = x ⇒ du =dx, dv= f ' ( x)dx chọn v = ∫f ' ( x)dx = f ( x)
1

1

1

⇒ I= x. f ( x) 0 −∫f ( x)dx =1. f (1) −0. f (0 ) −∫f ( x)dx =2 −1 =1 ⇒ Chọn A
0

0

1

1

Câu 9: BTa có: I = ∫f ' ( x)dx = f ( x) 0 =ln x + x2 + 1
0

ln 3

Câu 10: BTa có:

∫ f ' ( x)dx = f ( x)
1

ln 3
1

1
0

(

)

=ln 1 + 2 ⇒ Chọn B

= f (ln 3) − f (1) =9 −e2 (gt)

⇒ f (ln 3) −e2 =9 −e2 ⇒ f (ln 3) =9 ⇒ Chọn B
1

/

1

Câu 11: BI =∫ f ( x).g ( x) dx=∫ f ( x).g ' ( x) + f ' ( x).g ( x) dx
0

0

1

1

=∫f ( x).g ' ( x)dx+ ∫f ' ( x).g (x )dx =1 −1 =0 ⇒ Chọn B
0

0

Câu 12: AĐặt t = tan x ⇒ dt =(1 + tan 2 x)dx . Đổi cận:
1

⇒ I=

1

∫f (t) dt =∫f ( x)dx (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) =1 ⇒ Chọn A
0

0

2
f ( x)
1
1
dt
dx (1) Đặt t = ⇒ dt = − 2 dx ⇒ − 2 =dx Đổi cận:
Câu 13: BĐặt A =∫
x
x
x
t
1
2

 1
 1
1
t. f  
2 f  
2 f 

t
t
x



⇒ =
A ∫ 2 (−dt) = ∫
dt = ∫
dx (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
t
2
t
1
1
2
1
2

2

2

phân) (2)
1
f ( x) + 2 f  
2
2
3x
x

dx= ∫ dx= ∫3dx=3 x
Ta có: (1) + 2 (2 ) ⇒ 3 A = ∫
x
1
1 x
1
2

2

2

2

7

2

1
2

9
3
⇒ Chọn B
⇒ 3A = ⇒ =
A
2
2

π
2

I = ∫ f ( x)dx (1) Đặt t = −⇒
Câu 14: D
x dt = −
dx Đổi cận:
π

−
2

π

−
2

⇒ I=

π

π

2

2

∫π f (−t). (−dt) = ∫π f (−t) dt = ∫π f (−x)dx(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
−
2

2

−
2

phân)
π

π

2

2

(1) + (2) ⇒ 2 I = ∫ f ( x) + f (−x) dx= ∫ 2 + 2 cos 2xdx
π

π

−
2

−
2

π

π

π

π

2

2

2

2

π

= ∫ 2 (1 + cos 2x)dx= 2 ∫ 2 cos2 xdx=2 ∫ cos x dx=2 ∫cos xdx=2 sin x
π

π

−
2

π

−
2

π

−
2

2

π

=2 1 −( −1) =4

−
2

−
2

⇒ I= 2 ⇒ Chọn D
Câu 15: DĐặt t =

π
2

dx Đổi cận:
−x ⇒ dt = −
π

0

⇒ I=

 π

2



π

 π

2



 π



∫π f  2 −t  .(−dt) = ∫f  2 −t  dt = ∫f  2 −x dx (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số
0

0

2

π
2

 π
 
 π

 π

 π

tích phân) = ∫f  + x  Vì f  + x là hàm số chẵn ⇒ f  + x = f  −x 
2
 
2

2

2

0

π

π

π

2

2

2


π 

Vậy 2 I = ∫ f ( x) + f  x +   dx= ∫(sin x + cos x)dx =(cos x −sin x)
2 

0 
0
Chọn D

= −
1 −=
1 −
2 ⇒ I= −1 ⇒

0

1

Câu 16: AI = ∫f ( x)dx (1) Đặt t = −
x ⇒ dt = −
dx Đổi cận:
−1

−1

⇒ I=

1

1

( dt) = ∫f (−t) dt = ∫f (−x)dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
∫f (−t) −
1

−1

−1

1

phân) .Ta có: (1) + 2018 (2 ) = I + 2018I = ∫ f ( x) + 2018 f (−x) dx
−1

1

⇔ 2019 I = ∫ex dx=ex
−1

1
−1

1 e2 −1
=e − =
e
e

⇒ I=

e2 −1
⇒ Chọn A
2019e

1

Câu 17: BA = ∫( x + 1) f ' ( x)dx Đặt u = x + 1 ⇒ du =dx, dv= f ' ( x)dx chọn v = f ( x)
0

8

1

1

⇒ =
A

1

1

1

( x + 1). f ( x) 0 −∫f ( x)dx =2 f (1)− f (0) −∫f ( x)dx =2 −∫f ( x)dx =10 ⇒ ∫f ( x)dx =
0

0

0

0

⇒ Chọn B
Câu 18: D
1

1

1

A = ∫ex  f ( x) + f ' ( x) dx= ∫ex f ( x)dx+ ∫ex f ' ( x)dx
0
0
0


A1

A2

1

A1 =∫ex f ( x)dx
0

1

1

Đặt u = f ( x) ⇒ du = f ' ( x)dx, dv=ex dx chọn v =ex ⇒ A1 =ex. f ( x) −∫ex f ' ( x)dx
0
0

A2

1

1

0

0

Vậy A = ex f ( x) −A2 + A2 =ex f ( x) =e. f (1) − f (0 ) =e−1
 a =1
⇒ 
⇒ a2018 + b2018 =1 +1 =2 ⇒ Chọn D
1
b = −
Câu 19: D
Ta có: F (t ) = ∫f (t) dt ⇒ F ' (t) = f (t)
x2

Đặt G (x ) = ∫f (t) dt = F (x 2 ) −F (0 )
0

/

⇒ G 'x
( ) = F (x 2 ) =2 x. f ( x2 ) (Tính chất đạo hàm hợp: f '  u(x ) = f ' (u).u' ( x) )
x2

Mặt khác, từ gt: G (x ) = ∫f (t) dt = x.cos πx
0

⇒ G 'x
( ) =( x.cos πx) ' = −x πsin πx + cos πx
⇒ 2 x. f ( x2 ) = −
x πsin πx + cos πx (1)

Tính f ( 4 ) ⇒ ứng với x =2
Thay x =2 vào (1) ⇒ 4. f (4 ) = −
2 πsin 2 π + cos 2 π =1 ⇒ f ( 4 ) =
Câu 20: D
f ( x)

t3
t
dt
=
∫
3
0

f ( x)

2

0

3

 f ( x)
3
=
= xcos πx ⇒  f ( x) =3x.cos πx
3

⇒ f ( x) = 3 3xcos πx ⇒ f (4 ) = 3 12 ⇒ Chọn D
9

1
⇒ Chọn D
4

−
8

Câu 21: B
2

Ta có:

∫f ' ( x)dx = f ( x)
1

2

f ' ( x)

∫ f ( x) dx=ln  f ( x)
1

2
1

2
1

= f (2 ) − f (1) =10 (gt)

f (2 )
=ln  f ( 2 ) −ln  f (1) =ln
=ln 2 (gt)
f (1)

 f ( 2 ) − f (1) =10

Vậy ta có hệ:  f ( 2 )
⇔
=
2
f 1
 ( )

 f (2 ) =20
⇒ Chọn B

 f (1) =10

Câu 22: C

2 f ( x) ⇒
Từ gt: f ' ( x) + 2 f ( x) =0 ⇒ f ' ( x) = −

⇒

f ' ( x)

∫ f ( x) dx=∫−2dx⇒ ln  f ( x) =

f ' ( x)
f ( x)

= −
2

−
2 x + C ⇒ f ( x) =e−2 x+C

Có f (1) =1 ⇔ e−2 +c =1 =e0 ⇒ c= 2 ⇒ f ( x) =e−2 x+2 ⇒ f (−1) =e4 ⇒ Chọn C
Câu 23: D
Từ gt: f ( x) = f ' ( x) 3x + 1 ⇒

⇒

f ' ( x)

∫ f ( x)

dx= ∫
2

Vì f (1) =1 ⇔ e3

1
3x + 1

=

f ' ( x)
f ( x)

2
2
dx⇒ ln  f ( x) = 3x + 1 + C ⇒ f ( x) =e3
3
3x + 1

.2+C

1

=1 =e0 ⇒ C
= −

2
4
⇒ f ( x) =e3
3

4
3 x+1 −
3

3 x+1 +C

4

⇒ f (5 ) =e3 ≈3, 79 ⇒ Chọn D

a

dx
(1) Đặt t =a −x ⇒ dt = −
Câu 24: AI = ∫
dx Đổi cận:
1 + f ( x)
0
a

0

a

dt
1
1
dt = ∫
dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào
⇒ I= ∫−
=∫
1 + f ( a −t) 0 1 + f ( a −t)
1 + f (a −x)
a
0
biến số tích phân)
a


1
1
(1) + (2) ⇒ 2 I = ∫
+
 dx
+ f ( x) 1 + f ( a −x) 
0 1

1 + f ( a −x) + 1 + f ( x)

2

2 + f ( a −x) + f ( x)

a

a
=
dx=∫
dx= ∫dx=a ⇒ I=
⇒ Chọn A
+ f ( a −x) + f ( x)
1 + f ( x). f ( a −x) + f ( x) + f ( a −x)
2
0 2
0

Câu 25: B

Cách
Ta1:
có: F (t ) = ∫t.cos ( x −t) dt ⇒ F ' ( x) =t.cos ( x −t)

10

x

Đặt G (x ) = ∫t.cos ( x −t) dt = F (x ) −F (0 )
0

⇒ G 'x
(

) =  F (x ) −F (0 )

/
 π
= F ' ( x) −F ' (0 ) =  xcos ( x −x) −0  = x' =1 ⇒ G '   =1 ⇒ Chọn B
 2

/

x

sin ( x −t)
Cách 2:
Ta có G (x ) = ∫t.cos ( x −t) dt . Đặt u =t ⇒ du=dt, dv=cos ( x −t) dx chọn v = −
0

x

x

x

x

⇒ G (x ) = −
t.sin ( x −t) 0 + ∫sin ( x −t) dt = ∫sin ( x −t) dt =cos ( x −t) 0 =cos 0 −cos x =1 −cos x
0

⇒ G 'x
(

) =sin x ⇒

0

π
 π
G '   =sin =1 ⇒ Chọn B
2
2

Tương tự Câu 25
:
Câu 26: B
x2

Ta có F (t ) = ∫cos t dt⇒ F ' (t) =cos t ⇒ G (x ) = ∫cos t dt= F (x 2 ) −F (0 )
0

/

/

/

/

⇒ G 'x
( ) = F (x 2 ) −F (0 ) = F (x 2 ) − F (0 ) = F (x 2 ) =2 x. F' ( x2 ) =2 x.cos

x2 =2 x.cos x

⇒ Chọn B
x

x

 t3 t2 
x3 x2  1 1  x3 x2 5
Câu 27: CG (x ) = ∫(t + t) dt = +  = +
− +  = + −
3
2 3 2 3
2 6
 3 2 1
1
2

⇒ G 'x
( ) = x2 + x ⇒ bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ⇒ Chọn C
Câu 28: A
Đặt F (t ) = ∫ 1 + t2 dt ⇒ F ' (t) = 1 + t2
x

G (x ) = ∫ 1 + t2 dt = F (x ) −F (1) ⇒ G 'x
(

) = F ' ( x) −F ' (1) = F ' ( x) =

1

x
1 + x2

Câu 29: B
x

Đặt F (t ) = ∫sin t dt , G (x ) = ∫sin t2 dt=F
2

1

⇒ G 'x
( ) =F '

( x) −F (1)
2

( x) −F ' (1) =F ' ( x) =( x)'.sin ( x)

=

sin x
⇒ Chọn B
2 x

Câu 30: D
f (t)

f (t)

Đặt F (t ) = ∫t. e dt ⇒ F ' (t) =t. e

x

f t
⇒ G (x ) = ∫t. e ( ) dt = F (x ) −F (0 )
0

11

⇒ Chọn A

⇒ G 'x
(

) = F ' ( x) =ef (x) (gt)

/

⇔ x. ef ( x) =ef ( x) ⇒  x. ef ( x)  =  ef ( x) 

1
⇒ Chọn D
⇒ ef ( x) + x. f ' ( x).e f ( x) = f ' ( x).ef ( x) ⇒ 1+ x. f ' ( x) = f ' ( x) ⇒ f ' ( x) =
1 −x

Câu 31: D.
Từ giả thiết ⇒ F ' ( x) = f ( x).e2 x ⇔ ( x2 ) ' = f ( x).e2 x ⇔ 2 x = f ( x).e 2 x (1)
Đặt A =∫f ' ( x).e2 xdx.

Đặt u =e2 x ⇒ du=2e2 xdx ,dv=f’(x)dx chọn v=f(x)

2 x2 + 2 x+ C ⇒ Chọn D.
⇒ A
= e2 x. f ( x) −2∫f ( x).e2 xdx=2 x −2 F (x ) + C = −
/

Câu 32C.
: Từ giả thiết ⇒ F ' ( x) = f ( x).e2 x ⇔  ( x −1). ex  = f ( x).e2 x
/

x. ex x
1 −x
 x
⇔ x. e = f ( x).e ⇔ f ( x) = 2 x = x ⇒ f ' ( x) = x  =... = x
e
e
e
e 
1 −x
Đặt A =∫f ' ( x).e2 xdx=∫ x .e2 xdx=∫(1 −x)exdx
e
dx
u =1 −x ⇒ du= −
Đặt 
⇒ =
A (1 −x)ex + ∫ex dx=(1 −x)ex + ex + C =ex ( 2 −x) + C ⇒ Chọn C.
x
x
v =e
dv=e dx choïn
x

2x

Câu 33: C.
/

f ( x)
f ( x)
1
1
1
 1 
3. 4
⇔ − 3  =
⇔ 4 =
⇔ f ( x) = 3 ⇒ f ' ( x) = −
x
x
x
x
x
x
 3x 
−3ln x
ln x
Đặt A =∫f ' ( x).ln .x dx=∫ 4 dx= −
3∫ 4 dx
x
x
1

u =ln x ⇒ 3du= x dx
1 1
 1
 ln x 1
Đặt 
⇒ =
A − 3  − 3 ln x + ∫ 4 dx = 3 + 3 + C ⇒ Chọn C.
1
3 x
3x
 3x
 x
dv= 1 dx choïn
v= − 3
4

3x
x

Từ giả thiết ⇒ F ' ( x) =

f ( x)

Câu 34: A.
/

/

f ( x)
f ( x)
f ( x)
1
1
2
 1 
 1 
Từ giả thiết ⇒ F ' ( x) =
⇔ 2 =
⇔ −3=
⇔ f ( x) = −2 ⇒ f ' ( x) = − 2  = 3
x
x
x
x
x
x
 2x 
 x 
2
ln x
Đặt A =∫f ' ( x).ln .x dx=∫ 3 .ln .x dx=2 ∫ 3 dx
x
x
1

u =ln x ⇒ du= x dx
Đặt 
1
dv= 1 dx choïn
v= − 2
3

x
2x
1
 ln x

 ln x 1 
 ln x 1 
⇒ =
A 2  − 2 + ∫ 3 dx =2  − 2 − 2  + C = −
 2 + 2  + C ⇒ Chọn A.
2x
2x 
 2x

 2x 4x 
 x

12