Phát triển đề minh họa THPTQG môn Toán năm 2021 - Đề số 2 có lời giải chi tiết
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021
PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA SỐ 2
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:…………….
Câu 1:
Câu 2:
Số tập hợp con có ba phần tử của tập hợp có 10 phần tử là
A. 720 .
B. 35 .
C. 240 .
Cho cấp số nhân un với u2 2 và u5 16. Khi đó u3 bằng
A. 2 .
Câu 3:
D. 120 .
B.
2.
C. 4 .
D. 2 2 .
Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số y f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ; 2 .
Câu 4:
B. 2; 0 .
C. 0; .
D. 1;3 .
Cho hàm số y f x liên tục trên , có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x 3.
Câu 5:
B. x 4.
C. x 2.
Cho hàm số y f x liên tục trên , có bảng xét dấu f ( x) như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 3.
B. 2.
Câu 6:
D. x 2.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
A. y 1.
https://thuvientoan.net/
3
B. y .
2
C. 4.
D. 1.
C. y 2.
D. y 3.
2x 3
là
x 1
Câu 7:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có đường cong như trong hình vẽ?
A. x 4 3x 2 1 .
Câu 8:
B. x 4 3x 2 1 .
D. x 4 3 x 2 1 .
Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3x 2 và đường thẳng y x 2 là
A. 3 .
Câu 9:
C. x 4 3x 2 1 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 2 .
Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 log3 a 3log3 b 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a 2b3 3 .
B. 3a 2 b3 .
C. a 2 3b3 .
D. a 2b3 1. .
Câu 10: Cho hàm số f ( x) log 2 x 2 1 . Phương trình f ( x) 0 có nghiệm là
A. x 0 .
B. x 1 .
C. x 2 .
D. x 1 .
Câu 11: Bất phương trình log 3 x 2 log 1 x 1 có tập nghiệm là nửa khoảng a ; b , khi đó a b là
3
A. 3 .
B. 2 .
C. 2 .
Câu 12: Với a là số thực dương tùy ý, khi đó
4
a 3 bằng
4
3
2
3
B. a 3 .
A. a 4 .
D. 1 .
C. a 2 .
D. a 3 .
C. S 1 .
D. S 1 .
2
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình 3 x 1 9 x là
A. S 3 .
B. S 2 .
Câu 14: Tìm nguyên hàm
2
2 e dx .
3x
4
1
A. I 4 x e3 x e 2 x C .
3
6
4
1
C. I 4 x e3 x e6 x C .
3
6
4
1
B. I 3x e3 x e6 x C .
3
6
4
5
D. I 4 x e3 x e2 x C .
3
6
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) x3 3x 2 là
4
x 4 x3
B.
C .
4 3
3
A. x x C .
Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên , và
x4
C.
x3 C .
4
5
2
f ( x ) dx 15 . Tính giá trị của P f 5 3 x 7 dx
1
A. P 9 .
1
Câu 17: Cho
0
B. P 27 .
1
D. 3 x 2 6 x C .
C. 19 .
D. P 15 .
1
f ( x)dx 2 và g ( x)dx 5, khi đó 2 f ( x) g ( x) dx bằng
0
A. 3 .
https://thuvientoan.net/
0
0
B. 12 .
C. 9 .
D. 1 .
Câu 18: Cho hai số phức z1 1 3i và z2 3 2i. Số phức 2z1 z2 bằng
A. 4 i .
B. 7 i .
C. 5 4i .
D. 10 2i .
Câu 19: Số phức liên hợp của số phức z 1 i 2 3i là
A. 5 i .
B. 5 i .
C. 5 i .
D. 5 i .
Câu 20: Điểm M trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn của số phức z.
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4.
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i.
C. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i.
D. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3.
Câu 21: Thể tích khối lăng trụ tính theo công thức nào sau đây?
1
1
A. V Bh.
B. V Bh.
C. V Bh.
3
2
Câu 22: Một mặt cầu có diện tích là 4 thì thể tích của khối cầu tương ứng là
D. V
1
Bh.
6
8 2
4
32
.
.
B.
C.
D. 4 .
.
3
3
3
Câu 23: Cho hình trụ T có thiết diện qua trục là một hình vuông có chu vi bằng 8. Diện tích toàn phần của
A.
hình trụ T là
A. 12 .
B. 96 .
C. 6 .
D. 16 .
Câu 24: Cho ABCD là tứ diện đều cạnh 2. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
A.
6
.
4
B.
6
.
2
C.
3
.
2
D.
6.
x y z
Câu 25: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : 1. Véc tơ nào sau đây là pháp tuyến của mặt
3 2 1
phẳng (P)?
1 1
A. n 6;3;2 .
B. n 1; ; .
C. n 2;3;6 .
D. n 3;2;1 .
2 3
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 1;0; 1 , B 1; 2; 2 . Khi đó diện tích tam giác OAB là
A.
17
.
2
B. 11 .
C.
6.
D.
6
.
2
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2i k . Bộ số nào dưới
đây là tọa độ của điểm M ?
A. 0;1;2 .
https://thuvientoan.net/
B. 0; 2;1 .
C. 2;0;1 .
D. 2;1;0 .
Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
x 1 y z 1
và điểm M (1;3; 3)
2
1
3
Phương trình của mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d là
A. x z 4 0 .
B. 2 x y 3 z 10 0.
C. 2 x y 3z 5 0.
D. x 3 y 3z 10 0.
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số từ 50 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất chọn được một số chia hết cho 3 là
2
9
8
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
25
50
25
25
6
Câu 30: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f '( x) x x 2 3 1 x với mọi x . Hỏi hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào sau đây?
A. 0; .
B. ;1 .
C. ;0 .
D. 1;1 .
Câu 31: Cho hàm số f x x 3 3 x m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
m sao cho max f x 2 . Số phần tử của S là
0;2
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Câu 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y log m 1 x 2 2 m 3 x 1 xác định
với mọi x .
A. 3 .
B. 0 .
C. 1.
D. 2 .
2
Câu 33: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y x và y 2 x 2 được xác định
bởi công thức nào sau đây?
1
A. S
x
1
2
1 dx.
B. S
1
1
1 x dx.
2
1
1
C. S 4 1 x dx.
2
0
D. S 2 x 2 1 dx. .
0
Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn 2 i z 4 3i. Môđun của số phức z bằng
A. 2 .
B. 1 .
C.
D. 5 .
5.
Câu 35: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Tính
thể tích V của khối chóp S . ABC .
a3
A.
.
3
B.
3a 3
.
24
a3
D.
.
6
3a 3
C.
.
12
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD
3a
, hình chiếu vuông góc
2
của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S . ABCD .
a3
A.
.
2
a3
B.
.
3
a3
C.
.
4
2a 3
D.
.
3
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có tâm ( S ) : x 2 y 1 2 z 1 2 25 và mặt phẳng
P : x 2 y 2 z 5 0 . Diện tích hình tròn thiết diện của P và ( S )
https://thuvientoan.net/
bằng
A. 25 .
B. 9 .
D. 16 .
C. 16 .
x 1 y z 2
và mặt phẳng
2
1
3
P : x 2 y z 3 0 . Viết phương trình đường thẳng nằm trong P , cắt d và vuông góc với
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
d .
x3 y2 z 4
.
7
5
3
x 3 y 2 z 4
C. :
.
7
5
3
x3 y2 z 4
.
7
5
3
x3 y2 z 4
D. :
.
7
5
3
A. :
B. :
Câu 39: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị f x là đường cong trong hình vẽ sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x
x2
m có bốn nghiệm thực phân
2
biệt
1
B. f 1 m f 0 .
2
A. m f 0 .
1
D. f 2 2 m f 1 .
2
x
x 1
Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2 m 0 có hai nghiệm thực phân
biệt.
A. m 0;1 .
B. m 0; .
C. m 0;1 .
D. m ;1 .
C. f 2 2 m f 0 .
Câu 41: Cho hàm số f x thỏa f x x 1 e x f x với mọi x . Biết f 0 2 . Tính f 2
A. f 2 3e2 .
B. f 2 2 ln 3 .
C. f 2 2 2e 2 .
D. f 2 ln 2 2e2 .
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn z m 2 2 m 5 với m là tham số thực. Biết rằng số phức w 3 4i z có
w 20. Số giá trị của m thỏa mãn là
A. 1.
B. 2 .
D. 4 .
C. 3 .
Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ;
ABC 600 và SB a . Hình chiếu vuông
góc của điểm S lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Gọi là góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng SCD . Tính sin .
A. sin
3
.
2
https://thuvientoan.net/
B. sin
1
.
4
C. sin
1
.
2
D. sin
2
.
2
Câu 44: Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất không thay đổi là 8% /năm. Biết rằng nếu không rút tiền
ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi là lãi suất
kép). Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút tiền ra để mua một căn hộ chung cư trị giá
500 triệu đồng. Hỏi số tiền ít nhất người đó phải gửi vào ngân hàng để có đủ tiền mua căn hộ chung
cư (kết quả làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu?
A. 396 triệu đồng.
B. 397 triệu đồng.
C. 395 triệu đồng.
D. 394 triệu đồng.
Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các đường thẳng
d1 :
x 2 y 1 z 2
,
1
1
1
x t
d 2 : y 3 . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả d1 và d2 , đồng thời cắt mặt cầu
z 2 t
S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 0
A. 2 .
theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 ?
C. 0 .
B. 1.
D. Vô số.
Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
1; 2021
m x 1 5m 4
nghịch biến trên 2019; ?
x 1 m
A. 2019 .
B. 42 .
C. 2017 .
D. 40 .
sao cho hàm số
f x
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên y thuộc đoạn 2021; 2021 sao cho ứng với mỗi y tồn tại số thực x thỏa
mãn log 2 y 5 y 2 x 5 2 x ?
A. 2017 .
B. 2016 .
C. 4041 .
D. 2021 .
2
Câu 48: Cho P : y 2 x 4 x 3 , biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và hai tiếp tuyến của P tại
a
( với a và b là các số nguyên dương). Tính
b
A 1; 9 và B 4; 19 có kết quả là phân số tối giản
T ab.
A. T 131.
B. T 73.
C. T 132.
D. T 74.
Câu 49: Cho số phức z1 thỏa mãn 1 i z 1 5i 2 2 và số phức z2 thỏa mãn z 1 2i z i . Tính
giá trị nhỏ nhất của z1 z 2 3 i
A.
5 24
.
2
B.
5 24
.
2
C.
7 2 4
.
2
D.
7 2 4
.
2
Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1; 1) và mặt cầu ( S ) tâm I (1;2; 3) , bán
kính R 5 . Mặt phẳng ( P) đi qua A và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) . Gọi ( N ) là khối
nón có đỉnh I và nhận (C ) làm đường tròn đáy. Tính bán kính của (C ) khi thể tích khối nón ( N ) đạt
giá trị lớn nhất
A.
5 6
.
3
B. 3 .
C.
5
2
.
D. 4 .
---------------------------------------------------HẾT---------------------------------------------------
https://thuvientoan.net/
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Số tập hợp con có ba phần tử của tập hợp có 10 phần tử là
A. 720 .
B. 35 .
C. 240 .
Lời giải
D. 120 .
Số tập hợp con có ba phần tử của tập hợp có 10 phần tử là C103 120.
Câu 2:
Cho cấp số nhân un với u2 2 và u5 16. Khi đó u3 bằng
A. 2 .
Ta có
B.
2.
C. 4 .
Lời giải
D. 2 2 .
u5 u1q 4 16
u
2
8 q 3 8 q 2 u1 2 1.
u2 u1q
2
q 2
Khi đó: u3 u1q 2 1 22 4.
Câu 3:
Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số y f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ; 2 .
B. 2; 0 .
C. 0; .
D. 1;3 .
Lời giải
Ta có f ( x) 0, x 2;0 f ( x) nghịch biến trên 2; 0 .
Câu 4:
Cho hàm số y f x liên tục trên , có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x 3.
B. x 4.
C. x 2.
Lời giải
D. x 2.
Ta có f ( x) đi từ âm sang dương khi x đi qua 4.
Câu 5:
Cho hàm số y f x liên tục trên , có bảng xét dấu f ( x) như hình vẽ.
https://thuvientoan.net/
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 3.
B. 2.
C. 4.
Lời giải
D. 1.
Ta có f ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 2 và từ dương sang âm khi x đi qua 3.
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 6:
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
2x 3
là
x 1
3
B. y .
2
A. y 1.
C. y 2.
D. y 3.
Lời giải
Tiệm cận ngang của hàm số là y
Câu 7:
a 2
2.
c 1
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có đường cong như trong hình vẽ?
A. x 4 3x 2 1 .
B. x 4 3x 2 1 .
C. x 4 3x 2 1 .
Lời giải
D. x 4 3 x 2 1 .
Đây là hàm bậc bốn trùng phương tránh cuối cùng đi xuống nên hệ số a 0 loại A.
Mặt khác hàm số có ba điểm cực trị nên bc 0 loại C.
Lại có y 0 0 loại D.
Vậy y x 4 3x 2 1 là hàm số cần tìm.
Câu 8:
Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3x 2 và đường thẳng y x 2 là
A. 3 .
B. 0 .
C. 1 .
Lời giải
D. 2 .
Phương trình hoành độ giao điểm:
x 0
x 3x 2 x 2 x 4 x 0 x 2 .
x 2
3
3
Vậy số giao điểm là 3.
Câu 9:
Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 log3 a 3log3 b 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
https://thuvientoan.net/
A. a 2b3 3 .
B. 3a 2 b3 .
C. a 2 3b3 .
Lời giải
D. a 2b3 1. .
Ta có: 2 log3 a 3log 3 b 1 log 3 a 2 log 3 b3 1 log3 a 2b3 1 a 2b3 3.
Câu 10: Cho hàm số f ( x) log 2 x 2 1 . Phương trình f ( x) 0 có nghiệm là
A. x 0 .
B. x 1 .
C. x 2 .
Lời giải
D. x 1 .
x 21x ln 2 f ( x) 0 x 0.
Ta có: f ( x) log 2 x 2 1
2
Câu 11: Bất phương trình log 3 x 2 log 1 x 1 có tập nghiệm là nửa khoảng a ; b , khi đó a b là
3
A. 3 .
B. 2 .
C. 2 .
Lời giải
D. 1 .
Điều kiện: x 0 . Ta có
log3 x 2 log 1 x 1 log3 x 2 log3
3
3
3
x 2 x 2 2 x 3 0 3 x 1
x
x
Kết hợp điều kiện trên suy ra tập nghiệm bất phương trình là : S 0;1 a 0, b 1 a b 1 .
Câu 12: Với a là số thực dương tùy ý, khi đó
4
a 3 bằng
4
3
3
4
A. a .
3
2
B. a .
C. a .
Lời giải
2
3
D. a .
3
Ta có:
4
a3 a 4
2
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình 3 x 1 9 x là
A. S 3 .
B. S 2 .
C. S 1 .
D. S 1 .
Lời giải
Ta có: 3x
2
1
9 x 3x
2
1
2
32 x x 2 1 2 x x 1 0 x 1.
Câu 14: Tìm nguyên hàm
2
2 e dx .
3x
4
1
A. I 4 x e3 x e 2 x C .
3
6
4
1
C. I 4 x e3 x e6 x C .
3
6
4
1
B. I 3x e3 x e6 x C .
3
6
4
5
D. I 4 x e3 x e2 x C .
3
6
Lời giải
2
4
1
Ta có: 2 e3 x dx 4 4e3 x e6 x dx 4 x e3 x e6 x C .
3
6
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) x3 3x 2 là
4
3
A. x x C .
https://thuvientoan.net/
x 4 x3
B.
C .
4 3
x4
C.
x3 C .
4
D. 3 x 2 6 x C .
Lời giải
Ta có:
f ( x)dx x
3
3x 2 dx
4
x
x 3 C.
4
Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên , và
5
2
f ( x)dx 15 . Tính giá trị của P f 5 3x 7 dx
1
A. P 9 .
B. P 27 .
0
D. P 15 .
C. 19 .
Lời giải
Ta có:
2
2
2
P f 5 3 x 7 dx f 5 3 x dx 7 dx
0
1
0
5
0
1
2
2
f 5 3x d 5 3x 7 x
30
0
1
f u d u 14 .15 14 19
3
3
1
1
Câu 17: Cho
1
1
f ( x)dx 2 và g ( x)dx 5, khi đó 2 f ( x) g ( x) dx bằng
0
0
A. 3 .
1
0
C. 9 .
Lời giải
B. 12 .
1
D. 1 .
1
Ta có: 2 f x g x dx 2 f x dx g x dx 2.2 5 9
0
0
0
Câu 18: Cho hai số phức z1 1 3i và z2 3 2i. Số phức 2z1 z2 bằng
A. 4 i .
B. 7 i .
C. 5 4i .
Lời giải
D. 10 2i .
Ta có: 2 z1 z2 2 1 3i 3 2i 5 4i.
Câu 19: Số phức liên hợp của số phức z 1 i 2 3i là
A. 5 i .
B. 5 i .
C. 5 i .
Lời giải
D. 5 i .
Ta có: z 1 i 2 3i 2 3i 2i 3i 2 5 i.
Câu 20: Điểm M trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn của số phức z.
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4.
C. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i.
https://thuvientoan.net/
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i.
D. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3.
Lời giải
Điểm biểu diễn số phức có phần thực bằng 3, phần ảo bằng 4.
Câu 21: Thể tích khối lăng trụ tính theo công thức nào sau đây?
1
1
A. V Bh.
B. V Bh.
C. V Bh.
3
2
Lời giải
Thể tích khối lăng trụ là V Bh.
Câu 22: Một mặt cầu có diện tích là 4 thì thể tích của khối cầu tương ứng là
A.
4
.
3
B.
32
.
3
C.
8 2
.
3
D. V
1
Bh.
6
D. 4 .
Lời giải
Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có: 4 4 R R 1.
4
4
Do đó thể tích của khối cầu là V R3 .
3
3
Câu 23: Cho hình trụ T có thiết diện qua trục là một hình vuông có chu vi bằng 8. Diện tích toàn phần của
2
hình trụ T là
A. 12 .
B. 96 .
C. 6 .
D. 16 .
Lời giải
Hình vuông chu vi bằng 8 có độ dài cạnh bằng 8: 4 2 .
Khi đó chiều cao của hình trụ T bằng 2 và bán kính đáy của hình trụ T bằng 1.
Stp S xq 2Sd 2 Rh 2 R 2 2 .1.2 2 .1 6 .
Câu 24: Cho ABCD là tứ diện đều cạnh 2. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
A.
6
.
4
B.
6
.
2
C.
3
.
2
D.
6.
Lời giải
Gọi M , E lần lượt là trung điểm của CD và AB . Do ABCD là tứ diện đều nên mp ABM , mp CDE tương
ứng là mặt phẳng trung trực của CD và AB . Gọi I là là trung điểm của ME do AB CD nên:
https://thuvientoan.net/
EA EB MC M D IA IB IC I D IE 2 E A2 .
Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là
2
1
1
1 3
1 3 2
3
6
R IA AE EI
AB 2 EM 2
AB 2 AM 2 EA2
AB 2 AM 2
.2 2.
2
2
2 4
2 4
2
2
2
2
x y z
Câu 25: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : 1. Véc tơ nào sau đây là pháp tuyến của mặt
3 2 1
phẳng (P)?
1 1
A. n 6;3;2 .
B. n 1; ; .
C. n 2;3;6 .
D. n 3;2;1 .
2 3
Lời giải
x y z
1 2 x 3 y 6z 6 0 .
3 2 1
Vậy véc tơ pháp tuyến của mp P là n 2;3;6 .
Phương trình ( P ) :
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 1;0; 1 , B 1; 2; 2 . Khi đó diện tích tam giác OAB là
A.
17
.
2
B. 11 .
C.
6.
D.
6
.
2
Lời giải
Ta có OA 1;0; 1 , OB 1; 2; 2 OA; OB 2; 3; 2 .
Vậy SOAB
1
17 .
2
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2i k . Bộ số nào dưới
đây là tọa độ của điểm M ?
A. 0;1;2 .
B. 0; 2;1 .
C. 2;0;1 .
D. 2;1;0 .
Lời giải
Ta có OM 2i k suy ra tọa độ của điểm M 2;0;1 .
Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
x 1 y z 1
và điểm M (1;3; 3)
2
1
3
Phương trình của mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d là
A. x z 4 0 .
B. 2 x y 3 z 10 0.
C. 2 x y 3z 5 0.
D. x 3 y 3z 10 0.
Lời giải
Vì mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d nên nó có một vector pháp tuyến là n 2; 1;3 .
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2( x 1) 1( y 3) 3( z 3) 0 hay 2 x y 3 z 10 0.
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số từ 50 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất chọn được một số chia hết cho 3 là
2
9
8
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
25
50
25
25
https://thuvientoan.net/
Lời giải
Số chia hết cho 3 có dạng 3k với k .
50
Do đó trong 50 số đầu tiên có 16 số chia hết cho 3.
3
16 8
.
Vậy xác suất cần tìm là: P
50 25
*
6
Câu 30: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f '( x) x x 2 3 1 x với mọi x . Hỏi hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào sau đây?
A. 0; .
B. ;1 .
C. ;0 .
D. 1;1 .
Lời giải
Hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi x đi từ âm sang dương nên hàm số đồng biên trên 0; .
Câu 31: Cho hàm số f x x 3 3 x m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
m sao cho max f x 2 . Số phần tử của S là
0;2
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
Lời giải
2
Ta có: f ( x ) 3 x 3 x 3 x x 1 f ( x ) 0 x 1 0; 2 .
D. 1 .
Mặt khác: f 0 m, f 1 m 2, f 2 m 2.
Do đó: min f ( x ) m 2, max f ( x ) m 2.
0;2
Suy ra: max f ( x)
0;2
0;2
m2m2 m2m2
m 2.
2
Vì max f x 2 m 2 2 m 0.
0;2
Vậy S có một phần tử.
Câu 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y log m 1 x 2 2 m 3 x 1 xác định
với mọi x .
A. 3 .
B. 0 .
C. 1.
Lời giải
Điều kiện: m 1 x 2 2 m 3 x 1 0 .
Đặt f x m 1 x 2 2 m 3 x 1 .
Hàm số xác định với mọi x khi và chỉ khi f x 0, x .
Xét m 1: f x 4 x 1 0 x
https://thuvientoan.net/
1
m 1 không thỏa yêu cầu.
4
D. 2 .
a m 1 0
m 1
Xét m 1: f x 0, x
2
2 m 5.
2
m
7
m
10
0
'
m
3
m
1
0
Vì m nên m 3; 4 . .
Câu 33: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y x 2 và y 2 x 2 được xác định
bởi công thức nào sau đây?
1
A. S
1
2
x 1 dx.
B. S
1
1
2
1 x dx.
1
C. S 4 1 x 2 dx.
1
0
D. S 2 x 2 1 dx. .
0
Lời giải
x 1
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: x 2 2 x 2 2 x 2 2 0
.
x 1
Diện tích hình phẳng:
1
S
x
1
2
2
2 x dx
1
1
2x
2
2 dx
1
1
1
2 2 x dx 2 1 x dx 4 1 x dx.
2
2
1
2
1
0
Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn 2 i z 4 3i. Môđun của số phức z bằng
A. 2 .
B. 1 .
C.
Lời giải
D. 5 .
5.
4 3i
2
1 2i z 12 2 5.
2i
Câu 35: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Tính
thể tích V của khối chóp S . ABC .
Ta có: 2 i z 4 3i z
A.
a3
.
3
B.
3a 3
.
24
C.
3a 3
.
12
D.
Lời giải
S
A
60
C
H
M
B
1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC ) , khi đó VS . ABC .SH .S ABC .
3
2
2 a 3 a 3
AH AM .
3
3 2
3
Xét tam giác SHA vuông tại A có:
.
a
3
SH tan SAH
.AH tan 600.
a
3
https://thuvientoan.net/
a3
.
6
1
1 a 2 3 a3 3
.
Khi đó VS . ABC .SH .SABC .a.
3
3
4
12
3a
, hình chiếu vuông góc
2
của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD
S . ABCD .
A.
a3
.
2
B.
a3
.
3
C.
a3
.
4
D.
2a 3
.
3
Lời giải
Gọi H là trung điểm AB.
2
a 5
a
.
Ta có: HD AH AD a 2
2
2
2
2
2
2
3a a 5
SH SD HD
a.
2 2
2
2
1
1
a3
Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng: V S ABCD SH a 2 a .
3
3
3
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có tâm ( S ) : x 2 y 1 2 z 1 2 25 và mặt phẳng
P : x 2 y 2 z 5 0 . Diện tích hình tròn thiết diện của P và ( S )
A. 25 .
B. 9 .
C. 16 .
Lời giải
https://thuvientoan.net/
bằng
D. 16 .
Mặt cầu ( S ) có tâm I (0;1;1) và bán kính R 5 .Gọi J là hình chiếu của điểm I lên mặt phẳng P ta có :
IJ d I , P
1.0 2.1 2.1 5
12 2 2 2 2
3.
Suy ra bán kính đường tròn thiết diện là r R 2 IJ 2 4 .
Vây diện tích hình tròn thiết diện của P và ( S ) bằng 16 .
x 1 y z 2
và mặt phẳng
2
1
3
P : x 2 y z 3 0 . Viết phương trình đường thẳng nằm trong P , cắt d và vuông góc với
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
d .
x3 y2 z 4
.
7
5
3
x 3 y 2 z 4
C. :
.
7
5
3
x3 y2 z 4
.
7
5
3
x3 y2 z 4
D. :
7
5
3
A. :
B. :
Lời giải
x 1 2t
Đường thẳng d có phương trình tham số: y t
, tR.
z 2 3t
d có một véctơ chỉ phương là
ud 2;1; 3 .
Mặt phẳng P có một véctơ pháp tuyến
n p 1; 2;1 .
u ud ; n p 7; 5;3 .
Gọi A d A 1 2t; t; 2 3t .
Vì A P 1 2t 2t 2 3t 3 0 t 2 A 3; 2; 4 .
Vậy đường thẳng có phương trình là:
x3 y2 z4
.
7
5
3
Câu 39: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị f x là đường cong trong hình vẽ sau:
https://thuvientoan.net/
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x
x2
m có bốn nghiệm thực phân
2
biệt
A. m f 0 .
1
B. f 1 m f 0 .
2
C. f 2 2 m f 0 .
1
D. f 2 2 m f 1 .
2
Lời giải
Xét hàm số g x f x
x2
. Ta có:
2
x 2
g x f x x , g x 0 f x x x 0
x 1
Ta có bảng biến thiên sau:
https://thuvientoan.net/
Xét hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x và y x . Ta có:
0
0
2
2
S1 f x xdx g x dx g 0 g 2
1
1
0
0
S 2 x f xdx g x dx g 0 g 1
Ta có: S1 S 2 g 2 g 1 .
Do đó, để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì
1
g 1 m g 0 hay f 1 m f 0 .
2
Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x 2 x 1 m 0 có hai nghiệm thực phân
biệt.
A. m 0;1 .
C. m 0;1 .
B. m 0; .
D. m ;1 .
Lời giải
Đặt t 2 x x t 0; và mỗi x cho ta một giá trị t tương ứng.
Khi đó phương trình trở thành t 2 2t m 0
*
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt, tương đương phương trình * có hai nghiệm dương phân
0
1 m 0
biệt S 0 2 0
0 m 1.
P 0
m 0
Câu 41: Cho hàm số f x thỏa f x x 1 e x f x với mọi x . Biết f 0 2 . Tính f 2
A. f 2 3e2 .
B. f 2 2 ln 3 .
C. f 2 2 2e 2 .
D. f 2 ln 2 2e2 .
Lời giải
Ta có f x x 1 e
x f x
f x e
f x
f x
x 1 e x e x 1 e x . Khi đó e f x x 1 e x dx .
u x 1 du dx
Đặt
x
x
v
e
dx
v e
Suy ra e f x x 1 e x e x dx e f x x 1 e x e x C xe x C .
Thay x 0 , ta được C e
f 0
e2 e f x xe x e2 .
Thay x 2 , ta được e f 2 3e2 f 2 ln 3e 2 2 ln 3 .
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn z m 2 2 m 5 với m là tham số thực. Biết rằng số phức w 3 4i z có
w 20. Số giá trị của m thỏa mãn là
A. 1.
https://thuvientoan.net/
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Ta có: w 3 4i z 3 4i z 5 z 20 z 4 m 2 2 m 5 4 m 2 2m 1 0 m 1.
Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ;
ABC 600 và SB a . Hình chiếu vuông
góc của điểm S lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Gọi là góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng SCD . Tính sin .
A. sin
3
.
2
B. sin
1
.
4
C. sin
1
.
2
D. sin
2
.
2
Lời giải
AB AC a
Vì
ABC là tam giác đều cạnh a .
ABC 60
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC SG ABCD .
Gọi E là hình chiếu của B trên SCD nên SE là hình chiếu của SB trên mặt phẳng SCD
BSE
.
Góc giữa SB và mặt phẳng SCD là góc giữa hai đường thẳng SB , SE và bằng BSE
Ta có BE d B, SCD .
BG SCD D
Kẻ GH SC tại H
d B, SCD
d G, SCD
3
BG 3
d B, CD d G, SCD
2
GC 2
1 .
CD CG
Ta có:
CD SCG CD HG 2 .
CD SG
Từ 1 và 2 suy ra GH SCD d G, SCD GH .
2 a 3
a
CG .
.
3 2
3
a2 a 6
Xét tam giác SBG vuông tại G có SG SB AG a
.
3
3
2
https://thuvientoan.net/
2
2
Xét tam giác SCG vuông tại G ta có:
1
1
1
9
3
9
a 2
2 2 2 HG
2
2
2
HG
GS
GC
6a
a
2a
3
a 2
3
a 2
BE
2
BE HG
.Xét tam giác SEB vuông tại E ta có sin
.
2
2
2
SB
a
2
Câu 44: Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất không thay đổi là 8% /năm. Biết rằng nếu không rút tiền
ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi là lãi suất
kép). Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút tiền ra để mua một căn hộ chung cư trị giá
500 triệu đồng. Hỏi số tiền ít nhất người đó phải gửi vào ngân hàng để có đủ tiền mua căn hộ chung
cư (kết quả làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu?
A. 396 triệu đồng.
B. 397 triệu đồng.
C. 395 triệu đồng.
D. 394 triệu đồng.
Lời giải
Gọi A là số tiền gửi ban đầu.
3
Theo công thức lãi suất kép, số tiền người đó nhận được sau 3 năm là T A 1 r .
3
Theo đề bài, ta cần có T 500 A 1 r 500 A
500
1 8%
3
397 triệu đồng.
Vậy người đó phải gửi ít nhất 397 triệu đồng.
Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các đường thẳng
d1 :
x 2 y 1 z 2
,
1
1
1
x t
d 2 : y 3 . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả d1 và d2 , đồng thời cắt mặt cầu
z 2 t
S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 0
A. 2 .
theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 ?
C. 0 .
B. 1.
D. Vô số.
Lời giải
Gọi P là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
có VTCP u1 1; 1; 1 , d 2 có VTCP u2 1;0;1 suy ra u1 , u2 1; 2;1 .
Khi đó P có vectơ pháp tuyến n 1; 2; 1 . Suy ra P : x 2 y z D 0 .
d1
Mặt cầu S có tâm I 1; 2;0 và bán kính R 12 22 02 2 3 .
Ta có d 2 I ; P r 2 R 2 với r là bán kính đường tròn giao tuyến.
2
2
2
2
Khi đó d I ; P R r
https://thuvientoan.net/
6
3
6
3
.
d I ; P
2
2
2
2
Suy ra
1 2.2 0 D
12 2 2 1
2
D 5 3
D 2
6
.
D5 3
2
D 5 3
D 8
Phương trình mặt phẳng P cần tìm P : x 2 y z 2 0 ; P : x 2 y z 8 0 .
Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
m x 1 5m 4
nghịch biến trên 2019; ?
x 1 m
A. 2019 .
B. 42 .
C. 2017 .
Lời giải
x 1
Điều kiện xác định:
.
x 1 m 0
1; 2021
sao cho hàm số
f x
Đặt u x 1 u
1
0, x 2019; , suy ra hàm số u x 1 đồng biến trên khoảng 2019;
2 x 1
Với x 2019; u
2018; .
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số g u
Ta có g u
D. 40 .
m 2 5m 4
u m
2
mu 5m 4
nghịch biến trên khoảng
um
2018; .
, u m.
Hàm số g u nghịch biến trên khoảng
2018; khi và chỉ khi
g u 0, u 2018;
m2 5m 4 0 m 1 m 4
m 1
m 2018
m 2018
4 m 2018
m 2018;
Vì m 1; 2021 nên m 4; 2018 suy ra có 40 giá trị m nguyên cần tìm.
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên y thuộc đoạn 2021; 2021 sao cho ứng với mỗi y tồn tại số thực x thỏa
mãn log 2 y 5 y 2 x 5 2 x ?
A. 2017 .
B. 2016 .
C. 4041 .
D. 2021 .
Lời giải
Ta có
log 2 y 5 y 2 x 5 2 x y 5 y 2x 5 22 x y 2 x 5 y 2 x 5 22 x 2 x 1
Xét hàm số g t t 2 t , t 0 .
Có g t 2t 1 0, t 0 . Do đó, hàm số g t đồng biến trên khoảng 0; .
1 g y 2x 5 g 2x y 2 x 5 22 x y 22 x 2 x 5 .
Xét hàm số f x 2 2 x 2 x 5 .
https://thuvientoan.net/
Có f x 2.ln 2.2 2 x ln 2.2 x , f x 0 x 1
Ta có BBT
Vì y 2021; 2021 , y nên
19
y 2021 .
4
Vậy có 2017 giá trị cần tìm của y .
Câu 48: Cho P : y 2 x 2 4 x 3 , biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và hai tiếp tuyến của P tại
A 1; 9 và B 4; 19 có kết quả là phân số tối giản
a
(với a và b là các số nguyên dương). Tính
b
T ab.
A. T 131.
B. T 73.
C. T 132.
D. T 74.
Lời giải
f ' 1 8
: y 8 x 1
Ta có y ' 4 x 4
1
.
f ' 4 12 2 : y 12 x 29
Phương trình hoành độ giao điểm của P và 1 A 1; 9 .
Phương trình hoành độ giao điểm của P và 2 B 4; 19 .
3
Phương trình hoành độ giao điểm của 1 và 2 C ;11 .
2
3
2
Khi đó S
4
2 x 2 4 x 3 8 x 1 dx 2 x 2 4 x 3 12 x 29 dx
3
2
1
Dùng máy tính cho kết quả S
125 125 125
a 125, b 6 T a b 131.
12 12
6
Câu 49: Cho số phức z1 thỏa mãn 1 i z 1 5i 2 2 và số phức z2 thỏa mãn z 1 2i z i . Tính
giá trị nhỏ nhất của z1 z 2 3 i
A.
5 24
.
2
B.
5 24
.
2
C.
7 2 4
.
2
D.
7 2 4
.
2
Lời giải
Ta có: z1 z2 3 i z1 3 i z 2 MN z3 z2
https://thuvientoan.net/
min
MN min với z3 z1 3 i.
Trong đó M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z3 , z2 trên mặt phẳng.
Ta có:
1 i z 1 5i 2 2 1 i z
1 5i
1 5i
2 2
2 2 1 i z
1 i
1 i
z 2 3i 2 z 3 i 1 4i 2 z3 1 4i 2.
Suy ra: M C có tâm I 1; 4 , R 2.
Đặt z2 x yi, x, y . Ta có: z 1 2i z i N : x y 2 0.
Ta có: d I ;
5 2
5 2
5 2 4
MN min d I ; R
2
.
2
2
2
Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1; 1) và mặt cầu ( S ) tâm I (1;2; 3) , bán
kính R 5 . Mặt phẳng ( P) đi qua A và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) . Gọi ( N ) là khối
nón có đỉnh I và nhận (C ) làm đường tròn đáy. Tính bán kính của (C ) khi thể tích khối nón ( N ) đạt
giá trị lớn nhất
5
5 6
A.
.
B. 3 .
C.
.
D. 4 .
3
2
Lời giải
Ta có:
A(1;1; 1)
AI (2;1; 2) AI 22 12 (2)2 3 R
I (1;2; 3)
Suy ra điểm A nằm bên trong mặt cầu
Gọi K là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( P) và R( C ) là bán kính đường tròn giao tuyến (C )
IK ( P) và IK cũng chính là đường cao của khối nón ( N ) . Mà 0 IK IA với IA 3 nên
Ta đặt IK x x [0;3] R( C ) 25 x 2
1
Suy ra V N dR2C I ; P x 25 x 2 .
3
3
https://thuvientoan.net/
Xét hàm g ( x) x 25 x 2 x 3 25 x 2 , x 0;3 có g ( x) 3x 2 25.
g '( x) 0 3x 2 25 0 x
5
5
5 250
x
g
.
3
3
3 3 3
Bảng biến thiên hàm g ( x) x(25 x 2 ) như sau:
5 250
Dựa vào BBT ta kết luận được max g ( x) g
[0;3]
3 3 3
2
V( N )max
250
5
5 6
5
IK x
R(C ) R 2 IK 2 52
3
27 3
3
3
https://thuvientoan.net/