Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Phương trình, Bất phương trình Đại số

Chuyeân ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ & BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab a 2 + b 2 = (a − b) 2 + 2ab 4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a 3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) 3. a2 − b2 = (a + b)(a − b) 5. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 6. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) 7. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) AÙp duïng: Bieát x + y = S vaø xy = P . Haõy tính caùc bieåu thöùc sau theo S vaø P a) A = x 2 + y 2 b) B = (x - y) 2 c) C = x 3 + y 3 A. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ I. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát: 1. Daïng : ⎧x : aån soá ⎨ ⎩a, b : tham soá ax + b = 0 (1) 2. Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : Bieän luaän: (1) ⇔ ax = -b (2) b a • Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh 0.x = -b * Neáu b ≠ 0 thì phöông trình (1) voâ nghieäm * Neáu b = 0 thì phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x Toùm laïi : b • a ≠ 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x = − a • a = 0 vaø b ≠ 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm • a = 0 vaø b = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x • Neáu a ≠ 0 thì (2) ⇔ x = − 1 d) D = x4 + y4 AÙp duïng: Ví duï : Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau: 1) 2 x + 3m = mx + 2 2 2) m x + 2 = x + 2m x−m x−2 = 3) x +1 x −1 2 x + 3m m 2m − 1 4) = + 2 x +1 x −1 x −1 3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình: Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = 0 (1) ta coù: • (1) coù nghieäm duy nhaát ⇔ • (1) voâ nghieäm ⇔ • (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x ⇔ a ≠0 ⎧a = 0 ⎨ ⎩b ≠ 0 ⎧a = 0 ⎨ ⎩b = 0 AÙp duïng: Ví duï : 1) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, b thì phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x a 4 − ( x + 1)a 2 + x − b = 0 ( a = ±1; b = 0 ) 2) Cho phương trình (2m − 1) x + (3 − n)( x − 2) − 2m + n + 2 = 0 Tìm m và n để phương trình nghiệm đúng với mọi x 3) Cho phương trình: (2m + 1) x − 3m + 2 = 3 x + m Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ ( 0;3) 4) Cho phương trình: (3m − 2) x − m = 4mx + 2m − 5 Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm nguyên 5) Cho phương trình: 2mx − 3 x = (m < 1 ∨m >2) 2 ( m ∈ {−3; −13; −1;9} ) x−m x Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm duy nhất 6) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù nghieäm 2x + m x − 2m + 3 − 4 x −1 = x −1 x −1 7) Cho phương trình: 1 ( m = − ;n =1) 2 ( 1 < m < 3) 2 x − 1 ⎡⎣(2m − 3) x + m + (1 − m) x − 3⎤⎦ = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 (2 < m < 5 ) 2 BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM KHAÙCH QUAN Thôøi gian 10 phuùt ÑEÀ: Baøi 1: Phöông trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) coù nghieäm duy nhaát vôùi giaù trò cuûa m laø: 4 3 10 4 (B) m = − (C) m ≠ − (D) m ≠ (A) m = 3 4 3 3 2 Baøi 2: Phöông trình (m − 2)(x + 1) = x + 2 voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: (B) m = ±1 (C) m = ±2 (A) m = 0 2 Baøi 3: Phöông trình (m + 3m)x + m + 3 = 0 coù taäp nghieäm laø R khi : (A) m = 0 (B) m = −3 (C) m = 0; m = −3 2x + m Baøi 4: Phöông trình = m voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: x −1 (B) m = −2 (C) m = ±2 (A) m = 2 −mx + m + 1 = m voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: Baøi 5: Phöông trình x−2 (A) m = 0 (B) m = 1 (C) m = 0; m = 1 (D) m = ± 3 (D) Moät ñaùp soá khaùc (D) Khoâng coù m (D) Moät ñaùp soá khaùc ÑAÙP AÙN: Baøi 1: Phöông trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) coù nghieäm duy nhaát vôùi giaù trò cuûa m laø: 4 3 10 4 (B) m = − (C) m ≠ − (D) m ≠ (A) m = 3 4 3 3 2 Baøi 2: Phöông trình (m − 2)(x + 1) = x + 2 voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: (B) m = ±1 (C) m = ±2 (A) m = 0 2 Baøi 3: Phöông trình (m + 3m)x + m + 3 = 0 coù taäp nghieäm laø R khi : (A) m = 0 (B) m = −3 (C) m = 0; m = −3 2x + m Baøi 4: Phöông trình = m voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: x −1 (A) m = 2 (B) m = −2 (C) m = ±2 −mx + m + 1 = m voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: Baøi 5: Phöông trình x−2 (A) m = 0 (B) m = 1 (C) m = 0; m = 1 3 (D) m = ± 3 (D) Moät ñaùp soá khaùc (D) Khoâng coù m (D) Moät ñaùp soá khaùc II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai: 1. Daïng: ⎧x : aån soá ⎨ ⎩a, b , c : tham soá ax 2 + bx + c = 0 (1) 2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Xeùt hai tröôøng hôïp Tröôøng hôïp 1: Neáu a = 0 thì (1) laø phöông trình baäc nhaát : bx + c = 0 • b ≠ 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x = − c b • b = 0 vaø c ≠ 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm • b = 0 vaø c = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x Tröôøng hôïp 2: Neáu a ≠ 0 thì (1) laø phöông trình baäc hai coù Bieät soá Δ = b 2 − 4ac ( hoaëc Δ ' = b '2 − ac vôùi b' = Bieän luaän: ) Neáu Δ < 0 thì pt (1) voâ nghieäm ) Neáu Δ = 0 thì pt (1) coù nghieäm soá keùp x1 = x2 = − b 2a ) Neáu Δ > 0 thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1,2 = −b ± Δ 2a AÙp duïng: Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau: 5 − 12 x =x 1) 12 x − 8 x2 + 2x − 3 2) = −3 ( x − 1)2 Ví duï 2: 1) Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : x 2 − 2 x = m( x − 1) − 2 2) Giải và biện luận phương trình : (m − 1) x 2 + (2m − 3) x + m + 1 = 0 4 ( x1 = x2 = − ( x1,2 = b' ) a − b' ± Δ ' ) a b ) 2 3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: Ñònh lyù : Xeùt phöông trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) ⎧a = 0 ⎧a ≠ 0 ⎪ ⇔ ⎨b = 0 hoaëc ⎨ ⎩Δ < 0 ⎪c ≠ 0 ⎩ ) Pt (1) voâ nghieäm ) Pt (1) coù nghieäm keùp ) Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät ) Pt (1) coù hai nghieäm ) ⎧a ≠ 0 ⇔ ⎨ ⎩Δ = 0 ⎧a ≠ 0 ⇔ ⎨ ⎩Δ > 0 ⎧a ≠ 0 ⇔ ⎨ ⎩Δ ≥ 0 ⎧a = 0 ⎪ ⇔ ⎨b = 0 ⎪c = 0 ⎩ Pt (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x Ñaëc bieät Neáu pt(1) coù heä soá a,c thoaû a.c < 0 thì pt(1) luoân coù hai nghieäm phaân bieät. AÙp duïng: Ví duï 1: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät: 2x 2 − x + 1 = m−x x −1 Ví duï 2: 1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät: ( x + 1)( x 2 + 2mx + m + 2) = 0 2) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät: ( x − 1)(mx 2 − 4 x + m) = 0 4. Ñònh lyù VIEÙT ñoái vôùi phöông trình baäc hai: ) Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai : ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) coù hai nghieäm x1, x2 thì b ⎧ ⎪⎪S = x1 + x 2 = − a ⎨ ⎪ P = x .x = c 1 2 a ⎩⎪ ) Ñònh lyù ñaûo : Neáu coù hai soá α , β maø α + β = S vaø α .β = P ( S 2 ≥ 4 P) thì α , β laø nghieäm cuûa phöông trình x2 - Sx + P = 0 5 ) YÙ nghóa cuûa ñònh lyù VIEÙT: Cho pheùp tính giaù trò caùc bieåu thöùc ñoái xöùng cuûa caùc nghieäm ( töùc laø bieåu thöùc chöùa x1, x2 vaø x 2 + x 22 1 1 + 2 + 2 ) maø khoâng thay ñoåi giaù trò khi ta thay ñoåi vai troø x1,x2 cho nhau .Ví duï: A = 1 x1 x 2 x1 x 2 khoâng caàn giaûi pt tìm x1, x2 , tìm hai soá khi bieát toång vaø tích cuûa chuùng …. Chuù yù: ) Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a+b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø x1 = 1 vaø x 2 = c a ) Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a-b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø x1 = −1 vaø x 2 = − AÙp duïng: Ví duï 1 : Cho phöông trình: x 2 − 2 x + m − 1 = 0 (1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn x12 + x 22 = 4 Ví duï 2: Cho phöông trình: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn 5 x1 + 3 x 2 = 4 Ví duï 3: Cho phöông trình: (3m − 1)x 2 + 2(m + 1)x − m + 2 = 0 (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn x1 − x 2 = 2 5. Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: Döïa vaøo ñònh lyù Vieùt ta coù theå suy ra ñònh lyù sau: Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai : ax 2 + bx + c = 0 (1) ( a ≠ 0 ) ⎧Δ > 0 ⎪ ) Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät ⇔ ⎨P > 0 ⎪S > 0 ⎩ ⎧Δ > 0 ⎪ ) Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät ⇔ ⎨P > 0 ⎪S < 0 ⎩ ) Pt (1) coù hai nghieäm traùi daáu ⇔ P<0 AÙp duïng: Ví duï : 1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm döông phaân bieät: mx 2 + x + m = 0 2) Cho phương trình: ( x − 2)( x 2 − 2mx + 3m − 2) = 0 Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt 6 c a ÑEÀ SOÁ 1: BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM KHAÙCH QUAN Thôøi gian 10 phuùt Baøi 1: Phöông trình (m − 1)x 2 + 2mx + m = 0 coù hai nghieäm phaân bieät khi : (B) m ≥ 0 (C) m > 0 vaø m ≠ 1 (D) m ≥ 0 vaø m ≠ 1 (A) m > 0 2 Baøi 2: Phöông trình : mx + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 voâ nghieäm khi : (B) m ≥ 9 (C) m < 9 (D) m < 9 vaø m ≠ 0 (A) m > 9 2 2 Baøi 3: Cho phöông trình baäc hai: x − 2(m + 2)x + m + 12 = 0 . Giaù trò nguyeân nhoû nhaát cuûa tham soá m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät laø: (A) m = 1 (B) m = 2 (C) m = 3 (D) m = 4 1 1 Baøi 4: Giaû söû x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 2 + 3x − 10 = 0 . Giaù trò cuûa toång + laø x1 x 2 3 3 10 10 (A) (B) − (C) (D) − 10 10 3 3 2 Baøi 5: Phöông trình: x − mx + m − 1 = 0 coù hai nghieäm döông phaân bieät khi (A) m > 1 (B) m ≥ 1 (C) m > 1 vaø m ≠ 2 (D) m ≥ 1 vaø m ≠ 2 ÑAÙP AÙN: Baøi 1: Phöông trình (m − 1)x 2 + 2mx + m = 0 coù hai nghieäm phaân bieät khi : (A) m > 0 (B) m ≥ 0 (C) m > 0 vaø m ≠ 1 (D) m ≥ 0 vaø m ≠ 1 2 Baøi 2: Phöông trình : mx + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 voâ nghieäm khi : (A) m > 9 (B) m ≥ 9 (C) m < 9 (D) m < 9 vaø m ≠ 0 2 2 Baøi 3: Cho phöông trình baäc hai: x − 2(m + 2)x + m + 12 = 0 . Giaù trò nguyeân nhoû nhaát cuûa tham soá m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät laø: (A) m = 1 (B) m = 2 (C) m = 3 (D) m = 4 1 1 + Baøi 4: Giaû söû x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 2 + 3x − 10 = 0 . Giaù trò cuûa toång laø x1 x 2 3 3 10 10 (A) (B) − (C) (D) − 10 10 3 3 2 Baøi 5: Phöông trình: x − mx + m − 1 = 0 coù hai nghieäm döông phaân bieät khi (A) m > 1 (B) m ≥ 1 (C) m > 1 vaø m ≠ 2 (D) m ≥ 1 vaø m ≠ 2 7 II. Phöông trình truøng phöôngï: 1.Daïng : ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) (1) 2.Caùch giaûi: ) Ñaët aån phuï : t = x2 ( t ≥ 0 ). Ta ñöôïc phöông trình: at 2 + bt + c = 0 (2) Giaûi pt (2) tìm t. Thay t tìm ñöôïc vaøo t = x2 ñeå tìm x Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (2) maø ta suy ra ñöôïc soá nghieäm cuûa phöông trình (1) AÙp duïng: Ví du 1ï: Giaûi phöông trình : 32x3 = 89x2 − 25 vôùi x > 0; x ≠ 1 2x Ví duï 2: 1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì các phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät: a) x 4 − 2 x 2 − 3 = m b) x 4 − (m + 2) x 2 + 4m + 1 = 0 2) Cho phương trình: x 4 − (m + 2) x 2 + 4m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng III . Phöông trình baäc ba: 1. Daïng: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) ( a ≠ 0 ) 2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1) )Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x0 )Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá : (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0 ⎡ x = x0 ⇔ ⎢ 2 ⎣ Ax + Bx + C = 0 (2) )Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù). Bổ sung kiến thức: Định lý Bezu (Bơ-du) “Đa thức P(x) có nghiệm x = x0 khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x − x0 AÙp duïng: Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 = 0 b) x 3 + x 2 − x + 2 = 4 x − 1 c) 2 x 3 + 7 x 2 − 28 x + 12 = 0 8 Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì các phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät a) x 3 − 3 x 2 + 2 = mx + m − 2 b) x 3 − (2m + 1) x 2 + mx + m = 0 c) x 3 − 2(m + 1) x 2 + (7m − 2) x + 4 − 6m = 0 d) mx 3 − (m − 4) x 2 + (4 + m) x − m = 0 e) x 3 + (1 − m) x 2 − 3mx + 2m 2 = 0 Ví dụ 3: Cho phương trình : x 3 + 3mx 2 − 3 x − 3m + 2 = 0 Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho A = x12 + x22 + x32 đạt GTNN. Chuù yù Ta coù theå aùp duïng phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng kyû thuaät söû duïng sô ñoà HOOÙCNE, ñeå giaûi caùc phöông trình ña thöùc baäc cao (vôùi ñieàu kieän nhaåm ñöôïc moät nghieäm cuûa ña thöùc) Ví duï: Giaûi các phöông trình: 1) x 4 − 5 x 3 + x 2 + 21x − 18 = 0 2) x 4 + x 3 − 7 x 2 − x + 6 = 0 3) x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 − 5 x − 6 = 0 IV. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN QUY VEÀ BAÄC HAI BAÈNG PHEÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 1.Daïng I: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) ) Ñaët aån phuï : t = x2 2. Daïng II. ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = k ( k ≠ 0 ) trong ñoù a+b = c+d ) Ñaët aån phuï : t = (x+a)(x+b) Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7 ) = 9 3.Daïng III: ( x + a )4 + ( x + b )4 = k (k ≠ 0) ) Ñaët aån phuï : t = x + a+b 2 Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 3) + ( x + 5) = 2 4 4 9 4.Daïng IV: ax 4 + bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0 Chia hai veá phöông trình cho x2 1 x 4 3 2 Ví dụ : Giải phương trình: 2 x + 3 x − 16 x + 3 x + 2 = 0 ) Ñaët aån phuï : t = x ± 10