Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian Oxyz

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  Chuyeân ñeà 8: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN OXYZ  Vaán ñeà 1: MAËT PHAÚNG VAØ ÑÖÔØNG THAÚNG A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOÏA ÑOÄ 1. u  (u1; u2 ; u3 )  u  u1 i  u2 j  u3 k 2. a  b  (a1 b1; a2  b2 ; a3  b3 ) 3. a.b  a1b1  a2 b2  a3 b3 a a a3 a1 a1 a2  4. a, b   2 3 ; ;   b2 b3 b b b1 b2  3 1  5. a  a12  a22  a32 a1  b1  6. a  b  a2  b2 a  b 3  3 7. Cos(a, b)  a.b a.b 8. a cuø ng phöông b  a,b  0  a1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3 9. a,b,c ñoà ng phaú ng  a,b  .c  0 1 10. Dieän tích tam giaùc: SABC   AB,AC 2 1 11. Theå tích töù dieän ABCD: VABCD   AB,AC AD 6 12. Theå tích hình hoäp ABCD.A'B'C'D': VABCD.ABCD  AB,AD AA MAËT PHAÚNG  Vectô phaùp tuyeán cuûa maët phaúng laø vectô khaùc vectô 0 vaø coù giaù vuoâng goùc maët phaúng.  Phöông trình toång quaùt: (): Ax + By + Cz + D = 0 ( A2  B2  C2  0 ) ñi qua M(x0 ; y 0 ; z 0 )   () :   coù vectô phaù p tuyeá n : n  (A;B;C)  () : A(x  x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 ) = 0 231 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  Maët phaúng chaén: () caét Ox, Oy, Oz laàn löôït A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (a, b, c khaùc 0) x y z () :    1 a b c  Maët phaúng ñaëc bieät: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0 ÑÖÔØNG THAÚNG  Veùctô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng laø vectô khaùc vectô 0 vaø coù giaù cuøng phöông vôùi ñöôøng thaúng. ñi qua M (x 0 ; y 0 ; z 0 )   d:   coù vectô chæ phöông a  (a1; a2 ; a3 ) x  x0 y  y0 z  z0 Phöông trình tham soá :   vôù i (a1; a2 ; a3  0) a1 a2 a3 y  0 x  0 x  0  Ñöôøng thaúng ñaëc bieät: Ox :  ; Oy :  ; Oz  z  0 z  0 y  0 B. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz , cho ñieåm A(1; 2; 3) vaø ñöôøng thaúng d: x 1 y z  3 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng  ñi qua ñieåm A, vuoâng goùc vôùi   2 1 2 ñöôøng thaúng d vaø caét truïc Ox. Giaûi  Goïi M laø giao ñieåm cuûa  vôùi truïc Ox  M(m; 0; 0)  AM = (m –1; –2; –3)  Veùctô chæ phöông cuûa d laø a = (2; 1; –2).    d  AM  d  AM.a  0  2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) = 0  m = –1. Ñöôøng thaúng  ñi qua M vaø nhaän AM = (–2; –2; –3) laøm vectô chæ phöông x 1 y  2 z  3 neân coù phöông trình: .   d 2 2 3 P x Caùch 2. O   ñi qua A vaø caét truïc Ox neân  naèm treân maët A    phaúng (P) ñi qua A vaø chöùa truïc Ox. M    ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân  naèm treân maët phaúng (Q) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d.  232 Ta coù: +) Vectô phaùp tuyeán cuûa (P) laø n(P)  OA,i  . Q Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – +) Vectô phaùp tuyeán cuûa (Q) laø n(Q)  ad .   = (P)(Q)  veùctô chæ phöông cuûa  laø: a   n(P) ,n(Q)  .   Caùch 3.  Maët phaúng (Q) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d  (Q): 2x + y – 2z + 2 = 0.  Goïi M laø giao ñieåm cuûa Ox vaø (Q)  M(–1; 0; 0). Veùctô chæ phöông cuûa  laø: AM . Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011  x  2 y 1 z  5   1 3 2 vaø hai ñieåm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2). Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng  Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñöôøng thaúng : sao cho tam giaùc MAB coù dieän tích baèng 3 5 . Giaûi  Ñöôøng thaúng  ñi qua E(–2; 1; –5) vaø coù vectô chæ phöông a  1; 3;  2  neân x  2  t  coù phöông trình tham soá laø: y  1  3t (t  R). z  5  2t   M    M  2  t; 1  3t; 5  2t   AB   1; 2 ; 1 , AM   t; 3t; 6  2t  , AB,AM   t  12; t  6; t  .  SMAB = 3 5  1  AB,AM   3 5   2  t  12 2   t  62  t 2 6 5  3t2 + 36t = 0  t = 0 hoaëc t = –12. Vaäy M(–2; 1; –5) hoaëc M(–14; –35; 19). Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009 x2 y2 z   1 1 1 vaø maët phaúng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d naèm trong (P) sao cho d caét vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng . Giaûi Toïa ñoä giao ñieåm I cuûa  vôùi (P) thoûa maõn heä: Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñöôøng thaúng : x  2 y  2 z    1 1  I  3; 1; l   1  x  2y  3z  4  0 Vectô phaùp tuyeán cuûa (P): n  1; 2;  3 ; vectô chæ phöông cuûa : u  1; 1;  1 233 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Ñöôøng thaúng d caàn tìm qua I vaø coù moät vectô chæ phöông: n P   1; 2; 3 , n P    3; 2;  1 1 2 x  3  t  Phöông trình d: y  1  2t (t  z  1  t  ) Baøi 4 :CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho caùc maët phaúng (P1): x + 2y + 3z + 4 = 0 vaø (P2): 3x + 2y – z + 1 = 0. Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua ñieåm A(1; 1; 1), vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng (P1) vaø (P2) Giaûi Vectô phaùp tuyeán cuûa hai maët phaúng (P1) vaø (P2): n  P   1; 2; 3 , n  P    3; 2;  1 1 2 (P) vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng (P1) vaø (P2)  (P) coù moät vectô phaùp tuyeán: n P   n P  ,n P     8; 10;  4   2  4;  5; 2  2   1 Maët khaùc (P) qua A(1; 1; 1) neân phöông trình maët phaúng (P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) = 0 Hay (P): 4x – 5y + 2z – 1 = 0 Baøi 5: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho tam giaùc ABC coù A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) vaø troïng taâm G(0; 2; 1). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng  ñi qua ñieåm C vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC). Giaûi Ta coù:  G laø troïng taâm tam giaùc ABC  C(1; 3; 4)  AB   1; 1; 1 ; AC   2; 2;  4  Ñöôøng thaúng  vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) neân coù moät vectô chæ phöông a  AB,AC = 6(1; 1; 0) Maët khaùc ñöôøng thaúng  ñi qua ñieåm C neân x  1  t  Phöông trình : y  3  t  t  z  4  234  Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho 3 ñieåm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) 1. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C. 2. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M thuoäc maët phaúng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho: MA = MB = MC. Giaûi  ñi qua A(0; 1; 2) 1. (ABC) :  coù vectô phaù p tuyeá n laø  AB,AC  2(1; 2;  4)   Phöông trình mp(ABC): 1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0  x + 2y – 4z + 6 = 0 2. Caùch 1: Ta coù: AB.AC  0 neân ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi mp(ABC) taïi trung ñieåm I(0; 1; 1) cuûa BC. qua I(0; 1; 1) x y 1 z 1  d: d:   1 2 4  coù vectô chæ phöông :a  (1;2; 4) x  2 2x  2y  z  3  0   Toïa ñoä M laø nghieäm cuûa heä  x y  1 z  1  y  3    z  7 1 1 4  Vaäy M(2; 3; 7). Caùch 2: Goïi M(x; y; z) MA  MB  Ta coù MA  MC M  ()  (x  0)2  (y  1)2  (z  2)2  (x  2)2  (y  2)2  (z  1)2    (x  0)2  (y  1)2  (z  2)2  (x  2)2  (y  0)2  (z  1)2 2x  2y  z  3  0   x  2   y  3  M(2; 3;  7) . z  7  235 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 7:CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1; 1; 3) vaø ñöôøng thaúng d x y z 1 coù phöông trình:   1 1 2 1. Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d. 2. Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng d sao cho tam giaùc MOA caân taïi ñænh O Giaûi  qua A(1; 1; 3) 1. (P) :   coù vectô phaù p tuyeá n n(P)  ad  (1; 1;2) Phöông trình maët phaúng (P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) = 0  x – y + 2z – 6 = 0 2. Goïi M(t; t; 2t + 1)  d  Tam giaùc OMA caân taïi O  MO2 = OA2  t2 + t2 + (2t + 1)2 = 1 + 1 + 9 5  6t2 + 4t – 10 = 0  t  1  t   3  Vôùi t = 1 toïa ñoä ñieåm M(1; 1; 3).  Vôùi t   5  5 5 7 toïa ñoä ñieåm M   ; ;   . 3  3 3 3 Baøi 8 :ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 Trong khoâng gian vôùi heä truïc toaï ñoä Oxyz, cho hai ñieåm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) x 1 y  2 z vaø ñöôøng thaúng  :   1 1 2 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc OAB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (OAB). 2. Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng  sao cho MA2 + MB2 nhoû nhaát. Giaûi 1. Toïa ñoä troïng taâm: G(0; 2; 4). Ta coù: OA  (1; 4; 2),OB  (1; 2; 2) Vectô chæ phöông cuûa d laø: u  (12;  6; 6)  6  2;  1; 1 Phöông trình ñöôøng thaúng d: x y2 z2   2 1 1 2/ Vì M    M(1 t; 2 + t; 2t)  MA2 + MB2 = (t2 + (6  t)2 + (2  2t)2) + ((2 + t)2 + (4  t)2 + (4  2t)2) = 12t2  48t + 76 = 12(t 2)2 + 28 MA2 + MB2 nhoû nhaát  t = 2. Khi ñoù M(1; 0; 4) 236 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 Trong khoâng gian vôùi heä truïc toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(0; 1; 2) vaø hai ñöôøng thaúng: x  1  t x y 1 z 1  ; d 2 : y  1  2t t   d1 :   2 1 1 z  2  t  1. Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua A, ñoàng thôøi song song d1 vaø d2. 2. Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuoäc d1, N thuoäc d2 sao cho A, M, N thaúng haøng Giaûi 1. Vectô chæ phöông cuûa d1 vaø d2 laàn löôït laø: u1  (2; 1;  1) vaø u2  (1;  2; 1)  vectô phaùp tuyeán cuûa (P) laø n   u1 ,u2   (1;  3;  5) Vì (P) qua A(0; 1; 2)  (P) : x + 3y + 5z  13 = 0. Do B(0; 1; 1)  d1, C(1; 1; 2)  d2 nhöng B, C  (P), neân d1, d2 // (P). Vaäy phöông trình maët phaúng caàn tìm laø (P): x + 3y + 5z  13 = 0 2. Vì M  d1, N  d2 neân M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; 2 + n)  AM  (2m; m;  3  m); AN  (1  n;  2  2n; n) .  AM,AN  (mn  2m  6n  6;  3mn  m  3n  3;  5mn  5m). A,M,N thaúng haøng  AM,AN   0  m = 0, n = 1  M(0; 1; 1), N(0; 1; 1). Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz hai ñöôøng thaúng x  1  t  1: y  1  t  t   z  2  2 : x  3 y 1 z   1 2 1 1. Vieát phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng 1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng 2. 2. Xaùc ñònh ñieåm A  1, B  2 sao cho ñoaïn AB coù ñoä daøi nhoû nhaát. Giaûi 1. 1 qua M1(1; 1; 2) coù vectô chæ phöông a1  1;  1; 0  2 qua M2 (3; 1; 0) coù vectô chæ phöông a2   1; 2; 1  mp (P) chöùa 1 vaø song song vôùi 2 neân (p) coù vectô phaùp tuyeán: n  a1 ,a2    1;  1; 1 237 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Phöông trình: (P): (x – 1) – (y + 1) + (z – 2 ) = 0 (vì M1(1; 1; 2)  (P)) x+y–z+2=0 2/ AB ngaén nhaát  AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung x  1  t   Phöông trình tham soá 1 : y  1  t A  1  A 1  t;  1  t; 2  z  2  x  3  t    Phöông trình tham soá 2: y  1  2t  z  t    B  2  B  3  t ; 1  2t ; t   AB   2  t   t;2  2t   t;t   2   AB  1 2t  3t   0 AB.a1  0   t  t  0 Do  neân  0 3t  6t AB.a  0  AB  2   2  A(1; 1; 2); B(3; 1; 0) . Baøi 11: Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm A(4; 2; 4) vaø ñöôøng thaúng x  3  2t  d y  1  t . z  1  4t  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng  ñi qua ñieåm A, caét vaø vuoâng goùc vôùi d. Giaûi Laáy M(3 + 2t; 1  t; 1+ 4t)  (d)  AM = (1 + 2t; 3  t; 5 + 4t) Ta coù AM  (d)  AM . ad = 0 vôùi ad = (2; 1; 4)  2 + 4t  3 + t  20 + 16t = 0  21t = 21  t = 1 Vaäy ñöôøng thaúng caàn tìm laø ñöôøng thaúng AM qua A coù vevtô chæ phöông laø: x4 y2 z4 . AM = (3; 2; 1) neân phöông trình ():   3 2 1  Vaán ñeà 2: HÌNH CHIEÁU VAØ ÑOÁI XÖÙNG A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI HÌNH CHIEÁU Baøi toaùn 1: Tìm hình chieáu H cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng (d). Phöông phaùp  Caùch 1: (d) cho bôûi phöông trình tham soá: 238 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  H  (d) suy ra daïng toïa ñoä cuûa ñieåm H phuï thuoäc vaøo tham soá t.  Tìm tham soá t nhôø ñieàu kieän AH  ad   Caùch 2: (d) cho bôûi phöông trình chính taéc. Goïi H(x, y, z)  AH  ad  A (d) H (*)  H  (d): Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z  Caùch 3: (d) cho bôûi phöông trình toång quaùt:  Tìm phöông trình maët phaúng () ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d)  Giao ñieåm cuûa (d) vaø () chính laø hình chieáu H cuûa A treân (d). Baøi toaùn 2: Tìm hình chieáu H cuûa ñieåm A treân maët phaúng (). Phöông phaùp  Caùch 1: Goïi H(x; y; z) (d)  H  () (*) A  AH cuøng phöông n  : Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z.  Caùch 2:  Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (). H   Giao ñieåm cuûa (d) vaø () chính laø hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (). Baøi toaùn 3: Tìm hình chieáu () cuûa ñöôøng thaúng d xuoáng maët phaúng (). Phöông phaùp   Tìm phöông trình maët phaúng () chöùa ñöôøng thaúng d vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (). d  Hình chieáu () cuûa d xuoáng maët phaúng  chính laø giao tuyeán cuûa () vaø (). ÑOÁI XÖÙNG ()  Baøi toaùn 1: Tìm ñieåm A' ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d. Phöông phaùp  Tìm hình chieáu H cuûa A treân d.  H laø trung ñieåm AA'. 239 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi toaùn 2: Tìm ñieåm A' ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua maët phaúng (). Phöông phaùp  Tìm hình chieáu H cuûa A treân ().  H laø trung ñieåm AA'. Baøi toaùn 3: Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua ñöôøng thaúng (). Phöông phaùp  Tröôøng hôïp 1: () vaø (D) caét nhau. (D) A  Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø ().  Tìm moät ñieåm A treân (D) khaùc vôùi ñieåm M. M ()  Tìm ñieåm A' ñoái xöùng vôùi A qua ().  d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A' vaø M.  Tröôøng hôïp 2: () vaø (D) song song: A’ (D) A  Tìm moät ñieåm A treân (D) d ()  Tìm ñieåm A' ñoái xöùng vôùi A qua ()  d chính laø ñöôøng thaúng qua A' d A’ vaø song song vôùi (). Baøi toaùn 4: Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua maët phaúng (). Phöông phaùp (D)  Tröôøng hôïp 1: (D) caét () A  Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø ().  Tìm moät ñieåm A treân (D) khaùc vôùi ñieåm M.  Tìm ñieåm A' ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng ().  d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A' vaø M. M  A’  Tröôøng hôïp 2: (D) song song vôùi ().  Tìm moät ñieåm A treân (D) (D) A  Tìm ñieåm A' ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng ().  d chính laø ñöôøng thaúng qua A' vaø song song vôùi (D). 240 d A’ d