Hình học 11 Hình học không gian

Trao ®æi vÒ

: Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é
trong gi¶i to¸n h×nh häc

Ng­êi so¹n :

C¸c b­íc gi¶i bµi to¸n b»ng Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é

Chän hÖ trôc to¹ ®é g¾n víi bµi
to¸n
B­íc I:

“TÝn

hiÖu ”®Ó chän hÖ trôc lµ trong bµi

to¸n cã chøa c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc nhau , ta sÏ
chän c¸c trôc chøa c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc ®ã

Phiªn dÞch bµi to¸n h×nh häc
sang ng«n ng÷ to¹ ®é
B­íc II:

Dïng ng«n ng÷ vecter, to¹ ®é
®Ó gi¶i bµi to¸n
B­íc III:

Phiªn dÞch bµi to¸n trë l¹i ng«n
ng÷ h×nh häc ban ®Çu
B­íc IV:

Mét sè c¸ch chän hÖ trôc trong kh«ng gian
I, ®èi víi h×nh hép ch÷ nhËt – h×nh lËp ph­¬ng:

•Chän gèc lµ 1 trong
8 ®Ønh
•Ba c¹nh ph¸t xuÊt tõ
mét ®Ønh n»m
z trªn 3
trôc
A’

D’

B’
C’

B

A
D
y

C

x

II, Chãp tam gi¸c cã gãc tam diÖn ®Ønh vu«ng

•Chän gèc cña
hÖ trôc trïng víi
®Ønh cña gãc
tam diÖn vu«ng
•Ba trôc chøa ba
c¹nh ph¸t xuÊt
tõ ®Ønh gãc
tam diÖn vu«ng
®ã

z

A
y
C

S
B
x

Iii, Tø diÖn ®Òu

C¸ch I:
•Dùng h×nh lËp ph­
¬ng ngo¹i tiÕp tø
diÖn ®Òu

z
D2

A

•Chän hÖ trôc cã
gèc trïng víi 1
®Ønh cña h×nh lËp
ph­¬ng

D1

•Ba c¹nh ph¸t xuÊt
tõ ®Ønh ®ã n»m
trªn 3 trôc

D

C

O
B
y

D3

x

Iii, Tø diÖn ®Òu

C¸ch II:

•Hai trôc lÇn l­ît chøa ®­êng cao vµ mét c¹nh t­
¬ng øng cña mÆt BCD
•Trôc cßn l¹i vu«ng gãc víi mÆt BCD ( cïng ph­
¬ng víi ®­êng cao AG).
z

Chó ý : Chãp
tam gi¸c ®Òu
còng chän nh­
c¸ch 2 nµy

A

D

o
G
B
y

C

x

iV, Chãp tø gi¸c cã ®¸y lµ h×nh thoi , c¸c c¹nh bªn b»ng nhau

•Trôc Oz chøa ®­êng cao
SO cña h×nh chãp

z

•Hai trôc Ox , Oy lÇn l­ît
chøa hai ®­êng chÐo ®¸y

Chó ý : H×nh chãp
tø gi¸c ®Òu ( ®¸y
lµ h×nh vu«ng vµ
c¸c c¹nh bªn b»ng
nhau ) còng chän
nh­vËy.
A
y

S

D

C

O
B
x

V, Chãp tø gi¸c cã ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt , c¸c c¹nh bªn b»ng
nhau

•Chän hai trôc
chøa hai c¹nh
h×nh vu«ng ®¸y
•Trôc thø ba
vu«ng gãc ®¸y
( cïng ph­¬ng víi ®­
êng cao SO cña
h×nh chãp - trôc
Az nµy n»m trong
mÆt chÐo SAC)

z

ZS

S

D
x

A
O
B
y

C

Vi, L¨ng trô ®øng cã ®¸y lµ tam gi¸c c©n

•Chän hai trôc
lÇn l­ît lµ c¹nh
®¸y vµ chiÒu
cao t­¬ng øng
cña tam gi¸c
c©n lµ ®¸y cña
chãp

z
B

C
A

•Trôc cßn l¹i
chøa
Chó ý®­
:êng trung
b×nh
cña mÆt
L¨ng trô
bªn

tam gi¸c
®Òu còng
chän nh­
vËy.

B’
O
C’
A’

y

x

VII, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lµ h×nh thoi :

•Chän trôc cao n»m
trªn ®­êng th¼ng
nèi t©m hai ®¸y

z

•Hai trôc kia chøa
hai ®­êng chÐo ®¸y

Chó ý : L¨ng trô
tø gi¸c ®Òu
còng chän nh­
vËy ( l¨ng trô
tø gi¸c ®Òu lµ
l¨ng trô ®øng
cã ®¸y lµ h×nh
vu«ng)

A’

O
’

D’

A
y

D

B’
C’

o

B
C
x

Viii, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng :

Chän ®Ønh tam
gi¸c vu«ng ®¸y
lµm gèc . Ba trôc
chøa ba c¹nh ph¸t
xuÊt tõ ®Ønh nµy

z
A

B
C

A’

B’
y

C’
x

C¸c bµi to¸n minh
Bµi 1:(§¹i häc khèiho¹
B – n¨m 2002)

A1 B1C1 D 1
Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.

c¹nh a.

B1 D
a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êA
ng
1 Bth¼ng
vµ
A1 D1
BB1
C1 N cña c¸c c¹nh
b, Gäi M , N , P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm
, CD
,
. TÝnh gãc Lêi
gi÷a
hai ®­êng th¼ng
MP vµ
gi¶i
z

Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz
nh­h×nh vÏ :
A1 trïng víi O
, Ox chøa c¹nh A1B1 , Oy
chøa c¹nh A1D1 , Oz chøa
c¹nh A1A

A

B

D

C

Trong hÖ trôc ®· chän ta
cã :
A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a y

B1

A1
D1

a

C1

x

z

z

TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êngA
¼ng A1B vµ B1D
§t A1B qua A1(0 ; 0 ; 0) vµ
D
cã VTCP
D
1

B
B
C

u1  A1 B (1;0;1)
a

§t B1D qua B1(a ; 0 ; 0) vµ
cã VTCP
 1
A1B vµ B1D lµ hai c¹nh ®èi
y
cña tø diÖn A1D1B1B nªn

 
chÐo nhau , do ®ã: A B . u
,u

d(A1B;B1D) =



Cã A1B1 =(a;0;0)
,

d(A1B;B1D)=

1

D1 D1

2 

1



 u1 ,u2 

=(-1;-2;1)

a(-1)+0.(-2)+0.(-1)
1+4+1

a a

C1C1

y

 
 u1 ,u2 


B1

A1

u2  B1 D ( 1;1;1)
a

1 

C

=

a
6

A1(0 ; 0 ; 0)
,
B1(a ; 0 ; 0)
,
C1(a ; a ; 0)
, D1( 0 ; a ;
0),
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,

x

b, Gäi M , N , P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña
c¸c c¹nh BB1 , CD , A1D1 . TÝnh gãc
gi÷a hai ®­êng th¼ng MP vµ C1N
z
Ta
a
a
cã ; 0 ; ) , N( ; a ; a ) , P( 0; a ; 0 ) ,
A
M(a
2
2
2
N
§t MP cã VTCP
D

 2
u3  MP ( 2;1;  1)
a

§t C1N cã VTCP

P

 2
u4  C1 N ( 1;0; 2)
a

Gäi

D1
y

 
u3 .u4
( 2).( 1)  1.0  1.2
cos    
0   90
u3 u4
4 1 1 1  0  4
hay C1 N  MP

C

M

B1

A1

lµ gãc gi÷a MP vµ C1N , ta

cã

B

a

C1
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)

x

Bµi 2:(§¹i häc khèi A- n¨m 2002)
Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ®Ønh S ,
c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi M , N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm
c¸c c¹nh SB , SC . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN
Lêi gi¶i
biÕt mp(AMN) vu«ng
gãc víi mp(SBC).
z

Do S.ABC lµ chãp tam gi¸c
®Òu nªn ®¸y ABC lµ tam
gi¸c ®Òu c¹nh a . Gäi O lµ
trung ®iÓm c¹nh AC , ta
cã BO vu«ng gãc víi AC.

zs

Oz  ( ABC )
Chän hÖ trôc Oxyz nh­
h×nh vÏ : Ox chøa OB , Oy
chøa AC,
( Oz song song SG lµ a
chiÒu
cao chãp tam
gi¸c
2
a 3
a 3
®Òu
S.ABC )
2
2

a
a 3
Khi ®ã O( 0 ; 0 ; 0) ,zs
6
2
A(0 ; ;0),
zs  0

S

C

o
G
A

y

a

B

x

z
2a 3
a 3  a zs
; 0; s ) , N(
;
; )
3
2
12
4 2
 

mp(AMN)co VTPT: n1 =  AM, AN 

2a 3 -a zs
AM =(
; ; )
3
2 2

a 3 -3a zs
AN =(
;
; )
12
4 2
azs -a 3zs -5 3a2

n1 =(
;
;
)
8
8
24
 

mp ( SBC ) co VTPT : n2   SB, SC 

a 3
SB (
; 0;  z s )
3

a 3 a
SC (
;
;  zs )
6
2
M(

 az s a 3 z s  a 2 3

n2 (
;
;
)
2
2
6

z

zs

S
N
C

o

G
a

A

M

B

x

y
a

O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ;
2)
S(
;0;

a 3
2

;0), B(

a
a 3
; 0 ; 0) ,C ( 06 ;
2

; z0),
s

-a2zs2 3a2zs2 15a4
15a2
 
2
(AMN)  (SBC)  n1.n2 =0 
+
=0  zs =
16
16
6.24
36
2
2
a2zs2 3a2zs2 25.3a4 1 a 2
1 
1
1
25a
a
25a

2
2
SAMN =  AM,AN = n1 =
+
+
= . z s +3z +
=
4z s +
2
2
2 64
64
28
3
16
3
242
SAMN

a
15a2 25a2 a2 10
=
4.
+
=
16
36
3
16

Bµi 3: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’
cã AB = a ,
a 2
AD = 2a , AA’ =
. M lµ ®iÓm thuéc ®o¹n AD ,
K lµ trung ®iÓm
0 m cña
 2a B’M
1, §Æt AM = m (
). TÝnh thÓ tÝch khèi
tø diÖn A’KID theo a vµ m ( trong ®ã I lµ t©m
h×nh hép ) . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch ®ã
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
2, Gi¶ sö M lµ trung ®iÓm cña AD.
a, Hái thiÕt diÖn cña h×nh hép c¾t bëi
mp(B’CK) lµ h×nh g× ?
TÝnh diÖn tÝch thiÕt
diÖn ®ã theo a.
b, CMR ®­êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®­
êng kÝnh AA’

Lêi gi¶i

Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz
nh­h×nh vÏ :
A trïng víi O ,
Ox chøa c¹nh AD , Oy chøa
c¹nh AB , Oz chøa c¹nh AA’
Trong hÖ trôc ®· chän ta
cã :

z
A’

D’

B’

C’

A(0 ; 0 ; 0) , B(0; a ; 0) ,

a 2

C(2a ; a ;20) , D( 2a ; 20 ; 0 ) ,
a

A

I
K

m

A’(0 ; 0 ; a2 ) , B’(0 ; a2 ;
a ),
1, Do I lµ t©m h×nh hép nªn I lµ B
C’(2a ®iÓm
; a ; a B’D,
) , D’(2a ; 0 ; a y
trung
)
a a 2
suy ra I(a ;
;
)
2
2
M n»m trªn ®o¹n AD vµ AM = m nªn M(m
; 0 ; 0)
m a a 2
K (nªn
; ;
)
K lµ trung ®iÓm B’M
2 2 2

M

D

2a
C

x