Hệ Trục Tọa độ Có Lời giải chi tiết

A. Ch 1. NG GIAO GI CÁC NG TRONG BÀI TOÁN TÌM Đủ ƯƠ ƯỜ ỘĐI M.Ể Ph ng trình ng th ng.ươ ườ ẳ Véct ơ0n=/urr là véct pháp tuy ng th ng ượ ườ ẳD giá véct ơnur vuông góc iớ.D Véct ơ0u=/urr là véct ch ph ng ng th ng ượ ươ ườ ẳD giá véct ơuur song songho trùng ớ.D ng th ng ườ ẳD đi qua ()0 0;M nh véct ơ();n Bur làmvéct pháp tuy có ph ng trình ươ0 0:Ax By Ax By+ +D iọlà ph ng trình ng quát ng th ng ươ ườ ẳD . ng th ng ườ ẳD đi qua ()0 0;M nh véct ơ();u bur làmvéct ch ph ng có ph ng trình ươ ươ()00x xtatRy bt+Î= +=ìíî làọph ng trình tham ng th ng ươ ườ ẳD . Cho hai ng th ng ườ ẳ1 1: a0x cD và2 2:0b yacD giao đi hai ng th ngọ ườ ẳ1D và 2D là nghi ph ng trìnhệ ươ()1 12 200.1x ca ca+ =+ =ìíî (1) có nghi duy nh ấ()0 ;x thì hai ng th ng nhau ườ ạ()0 0.;A xy (1) vô nghi thì hai ng th ng trùng nhau.ế ườ ẳ (1) vô nghi thì hai ng th ng song song nhau.ế ườ ớ Ph ng trình ng tròn.ươ ườ ng tròn ườ()C tâm ();bI bán kính 0R> có ph ng trìnhươ()()2 22.x R- = Cho ng th ng ườ ẳ: 0Ax By CD và ng trònườ()()()2 22: .C R- giao đi ủD và ()Clà nghi ph ng trình ươ()()()2 2220Axx RybB C+ +ì- =ïíïî= (2) có hai nghi phân bi thì ệD (C) haiắ ạđi khác nhau.ể (2) có nghi kép thì ệD ti xúc (C).ế ớ (2) vô nghi thì ệD không ắ().C1. ng giao hai ng th ng trong bài toán tìm đi m.ự ươ ườ ể Bài Trong ph ng ộOxy cho tam giác ABC có 3;02Mæ öç ÷è là trung đi đo nể ạAC. Ph ng trình các ng cao ươ ườ, AH BK là ượ2 0x y- và 13 0x y- Xácđ nh các nh tam giác ủABC .Đ nh ng:ị ướVi ph ng trình ng th ng ượ ươ ườ ẳAC đi qua vàvuông góc ớ.BKSuy ra {}A AC AH C= .Vi ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳBC đi qua và vuônggóc ớ{}AH BC BKÞ .L gi i.ờ ảĐ ng th ng AC đi qua và vuông góc BK nên có ph ng trình ườ ươ4 6x y+ .T đi là nghi ph ng trình ươ()4 60;22 2x yAx y+ =ìÞí- =-îT ừ3;02Mæ öç ÷è là trung đi AC suy ra ể()3; 2C- .Đ ng th ng BC đi qua và vuông góc AH nên có ph ng trình ườ ươ2 0x y+ .T đi là nghi ph ng trình ươ()2 13;13 13x yBx y+ =-ìÞ -í- =-îV các nh tam giác ABC là ủ()()()A 0;2 -3;1 3;-2 Bài Trong ph ng ộOxy cho tam giác ABC có nh ỉ()4; 1A- ph ng trìnhươđ ng cao và trung tuy nh là ườ ượ2 12 0x y- và 0x y+ Xác nhịt các nh còn tam giác ủ.ABCĐ nh ng:ị ướ- đi ể{}B BH BM= Ç- Vi ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳAC đi qua và vuông góc ớBH .Suy ra ộ{}M AC BM C= ÞL gi i.ờ ảG ọ,BH BM là ng cao và trung tuy ượ ườ ừ.BT đi ểB là nghi ph ng trình ươ()2 12 03;22 0x yBx y- =ìÞ -í+ =îĐ ng th ng ườ ẳAC đi qua và vuông góc ớBH nên có ph ng trình ươ3 10 0.x y+ =T đi ểM là nghi ph ng trình ươ()2 06; 43 10 0x yMx y+ =ìÞ -í+ =îDo là trung đi ểAC suy ra đi ể()8; 7C-V ậ()()B -3;2 8;-7 Bài Trong ph ng ộOxy cho tam giác ABC Đi ể()2;0M là trung đi mểc AB. ng trung tuy và ng cao có ph ng trình là ườ ườ ượ ươ7 0x y- =và 0x y- Vi ph ng trình ng th ng AC.ế ươ ườ ẳĐ nh ng:ị ướ- Tìm đi ể{}A AH AM B= .- Vi ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳBC đi qua và vuônggóc ớAH .- Tìm ộ{}N BC AN C= .- Vi ph ng trình ng th ng ượ ươ ườ ẳAC đi qua .A gi i.ờ ảG ọ,AN AH là ng cao và trung tuy ượ ườ ừ.AT đi là nghi ph ng trìn ươ()7 01;26 0x yAx y- =ìÞí- =îT ừM là trung đi ể()3; 2AB BÞ -Đ ng th ng ườ ẳBC đi qua và vuông góc ớAH nên có ph ng trình ươ6 0x y+ =T đi ểN là nghi ph ng trình ươ7 030;26 0x yNx y- =ìæ öÞ -íç ÷+ =è øîT ừN là trung đi ểBC suy ra đi ể()3; 1C- -Khi đó ph ng trình ta có ph ng trình ng th ng ươ ươ ườ ẳ:AC 0.x y- = Bài Trong ph ng ộOxy cho hình ch nh ABCD, ng th ng BC cóữ ườ ẳph ng trình ươ4 0x y+ đi ể()1; 1M- là trung đi đo AD. Xác nh cácể ộđ nh hình ch nh ABCD, bi ng th ng AB đi qua đi ườ ể()1;1E- .Đ nh ng:ị ướ- Vi ph ng trình ươAB đi qua và vuông góc ớBC .- Suy ra {}B AB BC= .- Vi ph ng trình ươAD đi qua và vuông góc ớAB .- Suy ra {}A AB AD C= .L gi i.ờ ảĐ ng th ng AB đi qua và vuông góc BC nên có ph ng trình ườ ươ2 0x y- =T đi là nghi ph ng trình ươ()21;34x yBx y- =-ìÞí+ =îĐ ng th ng AD đi qua và song song BC nên có ph ng trình ườ ươ2 0x y+ =T đi là nghi ph ng trình ươ()22;02x yAx y+ =-ìÞ -í- =-îDo là trung đi AD nên đi làể ểĐ ng th ng DC đi qua và vuông góc BC nên có ph ng trình ườ ươ2 0x y- =T đi là nghi ph ng trình ươ()43;12x yCx y+ =ìÞí- =îV ậ()()()()A 0;2 1;3 3;1 ,D 0;-2 Bài Trong ph ng ộOxy cho hình ch nh ABCD có nh ỉ()1;2A- và tâm1;02Iæ öç ÷è ø. Xác nh các nh còn hình ch nh ABCD, bi ng th ng BC điị ườ ẳqua đi ể()4; .M-Đ nh ng:ị ướ- Tìm đi ểC ng qua .- Vi ph ng trình ươBC đi qua ,C .- Vi ph ng trình ươAB đi qua và vuông góc BC .- Suy ra {}B AB BC D= .L gi i.ờ ảT ừI là trung đi ểACÞ đi ể()2; 2C-Ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳ: 0BC y+ =Đ ng th ng ườ ẳAB đi qua và vuông góc ớBC nên 0.AB y- =T đi ểB là nghi ph ng trình ươ()2 02;02 0x yBx y+ =ìÞ -í- =îT ừI là trung đi ểBDÞ đi ể() 3;0DV ậ()()()B -2;0 2;-2 3;0 . Bài Trong ph ng ộOxy cho hình thang vuông ABCD có µµ090 .B C= =Ph ng trình các ng th ng AC và DC là ươ ườ ượ2 0x y+ và 0x y- Xác nh aị ọđ các nh hình thang ABCD, bi trung đi nh AD là ạ3 3;2 2Mæ ö- -ç ÷è .Đ nh ng:ị ướ-Tìm đi ể{}C AC CD= .-G ọN là trung đi ủCD vi ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳM .-Tìm đi ể{}N CD A= -Vi ph ng trình ng th ng AB, BC.ế ươ ườ ẳ-Suy ra đi .ọ ểL gi i.ờ ảT đi là nghi ph ng trình ươ()3 02; 12 0x yCx y- =ìÞ -í+ =îG là trung đi DC, ng th ng MN qua song song ACọ ườ ớnên 0M y+ =T đi là nghi ph ng trìnhọ ươ31 5;2 22 9x yNx y- =ìæ öÞ -íç ÷+ =-è øîDo là trung đi DC, suy ra ể()1; 4D- -M là trung đi AD, suy ra ể()2;1A-Đ ng th ng AB qua song song DC nên có ph ng trình ườ ươ3x y- =-Đ ng th ng BC qua vuông góc DC nên có ph ng trình ườ ươ1x y+ =T đi là nghi ph ng trình ươ()31;21x yBx y- =-ìÞ -í+ =îV ậ()()()()A -2;1 -1;2 2;-1 ,D -1;-4 Bài Trong ph ng ộOxy cho hình ch nh ABCD tâm O. Bi ph ng trìnhữ ươđ ng th ng ườ ẳ: 0AB y- và trung đi nh BC thu ng th ngể ườ ẳ3 0x y+ =, xác nh các nh hình ch nh ABCD.ị ậĐ nh ng:ị ướ- Vi ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳM .- Tìm ộ{}M OM BC= .-Vi ph ng trình ươ{}BC BC ABÞ .-T ừM là trung đi ểBCÞ đi ểC ,t ừO là trung đi ểACÞ AL gi i.ờ ảĐ ng th ng ườ ẳM đi qua và song song ớAB nên cóph ng trình ươ0.x y- =T đi ểM là nghi ph ng trìnhệ ươ03 3;2 23 0x yMx y- =ìæ öÞíç ÷+ =è øîĐ ng th ng ườ ẳBC đi qua và vuông góc ớAB nên có ph ng trình ươ3 0x y+ .T đi ểB là nghi ph ng trình ươ()5 01;43 0x yBx y- =ìÞ -í+ =îT ừM là trung đi ểBCÞ đi ể()4; 1C-T ừO là trung đi ểBCÞ các đi ể()()4;1 1; .A D- -V ậ()()()()A -4;1 ,B -1;4 ,C 4;- ,D 1;-4 . Bài Trong ph ng ộOxy cho hình thang vuông ABCD (vuông và B). iạ ọ()3;3 ,M N- là trung đi AD và AB. Xác nh các nh hình thangầ ượ ủvuông ABCD, bi ph ng trình các ng th ngế ươ ườ ẳ: 0, 0BD CN y+ và ngườth ng AB đi qua đi ể()3;1E- .Đ nh ng:ị ướ-Vi ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳM Suy ra {}N CN N= .-Vi ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳ{}AB BD AB AÞ Þ-Vi ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳBC Suy ra đi mọ ể{}C BC CN= Ç.L gi i.ờ ảĐ ng th ng ườ ẳM đi qua song song ớBD nên: 12 0.M y+ =T đi ểN là nghi ph ng trình ươ3 03 1;2 27 12 0x yNx y- =ìæ öÞ -íç ÷+ =è øîPh ng trình ng th ng ươ ườ ẳ: 0AB y+ =T đi là nghi ệ()7 01; 32 0x yBx y+ =ìÞ -í+ =îT ừN là trung ()4;2 .AB AÞ -Ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳ: 0.BC y- =T đi ểC là nghi ph ng trình ươ()3 06;24 0x yCx y- =ìÞí- =îPh ng trình ng th ng ươ ườ ẳ: 0AD y- =T đi là nghi ph ng trình ươ()6 02;47 0x yDx y- =ìÞ -í+ =îV ậ()()()()A -4;2 1;-3 ,C 6;2 ,D -2;4 . Bài Trong ph ng ộOxy cho tam giác ABC cân ạA có tr ng tâmọ4 1;3 3Gæ öç ÷è ø. Ph ng trình ng th ng BC là ươ ườ ẳ2 0,x y- ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳBG là7 0.x y- Tìm các nh tam giác ABC. ủĐ nh ng:ị ướ-Tìm {}B BC BG= .-Vi ph ng trình ươAG tìm {}M AG BC= .-S ng tính ch tr ng tâm suy ra .L gi i.ờ ảT đi là nghi ph ng trìnhọ ươ()2 00; 27 0x yBx y- =ìÞ -í- =î ng th ng AG đi qua và vuông góc BC nên có ph ng trìnhườ ươ2 3x y+ trung đi BC là nghi họ ệ()2 32; 12 0x yMx y+ =ìÞ -í- =î đó suy ra đi ể() 4;0C ừ()30;33G CG Cx xy yx xAy=ìïÞ+íïî+ += ậ()()()A 0;3 0;-2 ,C 4;0 . Bài Trong ph ng ộOxy cho tam giác ABC cân ạ.A ng th ng ườ ẳBC vàđ ng cao ườ ừB có ph ng trình ượ ươ1 0, 0;x y+ Đi ể()2;1M thu cộđ ng cao ườ ừ.C Xác nh các nh tam giác ủ.ABCĐ nh ng:ị ướ- Tìm đi Nh xét ậBM BC^ .- Vi ph ng trình ươM tìm {}N BH N= .-Suy ra vi ph ng trình ươBC Tìm -Vi ph ng trình ươ,AI AC suy ra .A gi i.ờ ảT đi là nghi ph ng trìnhệ ươ()1 00; 12 0x yBx y+ =ìÞ -í- =îLúc đó ()()2;2. 01; 1BCBCBMBM BM BCuìïÞ ^í-ïîuuuuruuuur uuuuruuuurPh ng trình ng th ng qua ươ ườ ẳM và song song ớBC có ph ng trình ươ0:3 .x y+ =DT giao đi ểN BH= ÇD là nghi ệ3 08 1;3 32 0x yNx y+ =ìæ öÞíç ÷- =è øîĐ ng th ng đi qua ườ ẳN vuông góc ớBC BC ạC và có ph ng trình ươ73x y- =T đi ểC là nghi ph ng trình ươ72 5;33 31 0x yCx yì- =æ öïÞ -íç ÷è øï+ =îTrung đi ủBC là 4;3 3Iæ ö-ç ÷è Ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳ5:3AI y- =Đ ng th ng ườ ẳAC đi qua và vuông góc ớBH nên 1: 23AC y+ =-T đi ểA là nghi ph ng trình ươ54 113;9 9123x yAx yì- =ïæ öïÞ -íç ÷è øï+ =-ïîV ậ()æ öç ÷è ø4 11 5A ;- 0;-1 ,C ;- .9 3 Bài Trong ph ng ộOxy cho tam giác ABC cân ạ.A Bi ph ng trình cácế ươđ ng th ng AB,BC là ườ ượ7 14 0x y- và 0.x y+ Vi ph ng trình nh AC,ế ươ ạbi ng th ng AC đi qua ườ ẳ()4;0 .M nh ng:ị ướ- Tìm {}B AB BC= .- Vi ph ng trình ươ,M AH .-Tìm {}N AB I= .-Vi ph ng trình ươAI tìm {}H AI BC C= .-Vi ph ng trình ượ ươAC .L gi i.ờ ảT đi là nghi ph ng trìnhọ ươ()7 14 00;22 0x yBx y- =ìÞí+ =î là trung đi BC. ng th ng ườ ẳD đi qua song song ớBC AB và tắ ắAH I. Ta có:ạPh ng trình ng th ng ươ ườ ẳ: 8x yD đi là nghi ệ7 14 014 12;5 52 0x yNx y- =ìæ öÞíç ÷+ =è øî Do tam giác ABC cân A, suy ra là trung đi MN, nên ủ17 6;5 5Iæ öç ÷è ng th ng AH đi qua và vuông góc BC nên có ph ng trình ườ ươ2 0x y- đi là nghi ph ng trình ươ()2 01;02 0x yHx y- =ìÞí+ =î đó suy ra đi ể()2; 2C- và ph ng trình ng th ng ươ ườ ẳAC =0