Giá trị lượng giác của một cung Toán 10, trường THPT Quốc Oai - Hà Nội.

THPT Quốc Oai ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG 6

§2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

A. LÝ THUYẾT

I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung có sđ

Tung độ của điểm gọi là sin của và kí hiệu là

Hoành độ của điểm gọi là côsin của và kí hiệu là

Nếu tỉ số gọi là tang của và kí hiệu là (người ta còn dùng kí hiệu ).

Nếu tỉ số gọi là côtang của và kí hiệu là (Có thể kí hiệu ).

Các giá trị được gọi là các giá trị lượng giác của cung

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

2. Hệ quả

1) và xác định với mọi Hơn nữa, ta có

2) Vì nên ta có

3) Với mọi mà đều tồn tại và sao cho và

4) xác định với mọi

5) xác định với mọi

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư Giá trị lượng giác	I	II	III	IV

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Góc	0
	00	300	450	600	900	1200	1350	1800	2700	3600
	0				1			0	–1	0
	1				0			–1	0	1
	0		1				–1	0		0
			1		0		–1		0

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1. Ý nghĩa hình học của

Từ vẽ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại .

Gọi là giao điểm của với trục

được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ trên trục Viết:

Trục được gọi là trục tang.

2. Ý nghĩa hình học của

Từ vẽ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại .Gọi là giao điểm của với trục

Khi đó được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ trên trục . Viết là:

Trục được gọi là trục côtang.

Nhận xét:

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

+

+ ,

+ ,

+

+

+

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau ( và )	Góc bù nhau( và )	Góc phụ nhau( và )

Góc hơn kém ( và )	Góc hơn kém ( và )

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos - đối, sin – bù, phụ - chéo, hơn kém tang côtang, hơn kém chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1. Cho . Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) b)

c) d)

Lời giải

a) Ta có

b) Ta có

c) Ta có

Và

Vậy .

d) Ta có

suy ra .

Vậy .

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Ví dụ 2. Cho . Khi đó bằng

_{Lời giải}

Ta có

DẠNG 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ

Ví dụ 3. a) Cho . Tính giá trị của biểu thức .

b) Cho . Tính giá trị của biểu thức

c) Cho và . Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

a) Ta có .

Suy ra .

b) .

Suy ra .

c)

Vì . Do đó và .

. .

Ví dụ 4. Biết . Tính và

Lời giải

*) Ta có (*)

Mặt khác nên hay

*) Đặt . Ta có

Vậy

DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức

Lời giải

Ta có và

Và

Suy ra

C. ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu cùng dấu?

A. Thứ B. Thứ C. Thứ hoặc D. Thứ hoặc

Câu 2: Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác.

Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. B. C. D.

Câu 3: Cho Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương ?

A. B. C. D.

Câu 4: Cho . Xác định dấu của biểu thức

A. B. C. D.

Câu 5: Cho tam giác có góc tù. Cho các biểu thức sau:

(1) (2)

(3) (4)

Số các biểu thức mang giá trị dương là:

A. B. C. D.

Câu 6: Cho góc thỏa mãn và . Tính

A. B. C. D.

Câu 7: Cho góc thỏa mãn và . Tính .

A. B. C. D.

Câu 8: Cho góc thỏa mãn và Tính

A. B. C. D.

Câu 9: Cho với . Khi đó giá trị bằng :

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Cho góc thỏa mãn và . Tính

A. B. C. D.

Câu 11: Cho góc thỏa mãn và . Tính .

A. B. C. D.

Câu 12: Cho góc thỏa mãn và . Tính

A. B. C. D.

Câu 13: Cho góc thỏa mãn Tính

A. B. C. D.

Câu 14: Cho góc thỏa mãn Tính

A. B. C. D.

Câu 15: Cho góc thỏa mãn và . Tính

A. B. C. D.

Câu 16: Biểu thức có kết quả rút gọn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D.

Câu 18: Biểu thức không phụ thuộc và bằng

A. 2. B. . C. 3. D. .

Câu 19: Biểu thức có giá trị không đổi và bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Cho và Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. B. C. D.