đề thi vào lớp 10 môn toán học (4)

TR PH NG NGUY NẦ ƯƠ ẤNGUY ANH HOÀNG NGUY PH CỄ ƯỚ(Biên so 2009)ạBÀI GI NG TR NG TÂMẢ ỌÔN THI VÀO 10ỚCHUYÊN TOÁN THPTVÀ THI SINH GI PỌ ẤTHCSSách dùng cho vi và các giáo viên và sinhượ ọc II chu ki th tr các kì thiấ ướIn th nh (8/5/2010)ầ ấTrang 1PhÇn I: TÝnh gi¸ trÞ cña mét biÓu thøcI. KiÕn thøc liªn quanYªu cÇu HS n¾m v÷ng c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí, viÕt îc nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, biÕt mét sè h»ng ®¼ng thøc më réng, n¾m îc c¸c ph ¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö c¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n thøc ®¹i sè vËn dông vµo gi¶i bµi tËp mét c¸ch linh ho¹t.1/ C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí)BABA)(BA( )BA.(B.A.3)BA(BA.3)BA).(BA(BA.2B.A.2)BA(BA.122333222222/C¸c h»ng ®¼ng thøc më réng 3.)BAB.....BABAA)(BA(BA1n2n23n2n1nnn lµ sè tù nhiªn4.)BAB.....BABAA)(BA(BAn21n222n21n2n21n21n25.nnn1n1nn22n2n1n1nn0nnBCABC..............BACBACAC)BA( kn gäi lµ tæ hîp chËp cña phÇn tö) kn !k)!kn(!nQuy íc 0! 1Tõ c«ng thøc trªn cã: 1n n-1n 2n n-2n 3n n-3n kn n-1n kn+1Giíi thiÖu tam gi¸c Pascan ®Ó khai triÓn nhÞ thøc Niu t¬n cã sè mò nhá.D¹ng tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®¹i sèVÝ dô Cho 3abc víi a; b; 0. TÝnh gi¸ trÞ cña (1 ba )(1 cb )(1 ac Gîi ýTõ 3abc => 3abc ( a+b+c)(a ab bc ca) 0NÕu a+b+c th× -1NÕu ab bc ca th× vµ 8VÝ dô Cho xy +yz zx 0; xyz 0. TÝnh 222zxyyzxxyz Gîi ýTrang 2ABC3)CBA).(A.CC.BB.A.(3)CBA( )AC).(CB).(BA.(3)CBA(CBA.2)A.CC.BB.A.(2)CBA(CBA.1333332222¸p dông kÕt qu¶ trªn coi x1 y1 z1 ta cã xyz3z1y1x1333Q 222zxyyzxxyz 333zxyzyyzxxxyz xyz (333z1y1x1 xyz xyz3 3VÝ dô Cho a; tho¶ m·n 777ba3b999ba3a2323 TÝnh Gîi ýB×nh ph ¬ng hai vÕ cña hai ®¼ng thøc trªn råi céng vÕ víi vÕ thu gän îc (a 2+ 2) 999 777 suy ra 322777999VÝ dô a) Cho 3x 5x; 3y 5y; TÝnh b) Cho 18x 54x 60x 71; 18y 54y 60y 71; 190 TÝnh Gîi ýa) BiÕn ®æi (x 1) (y 1) 2x 2y +2 v× nªn (x 1) (y 1) 2x 2y +2 (x 1) (y 1) 2(x 2) (x 2)( (x 1) (x 1) (y 1) (y 1) 0=> v× (x 1) (x 1) (y 1) (y 1) 0.VÝ dô Gi¶ sö x; y; lµ c¸c sè thùc kh¸c vµ tho¶ m·n hÖ ®¼ng thøc )2(333)1(1zyx2)y1x1(z)x1z1(y)z1y1(xTÝnh =1 1x z+ Gîi ýTõ (2) suy ra: 2y 2z 2z 2x 2y 2x -2xyz 2y 2z +xyz 2z 2x xyz 2y 2x xyz xyz(xy yz +zx )(x z) xyz MÆt kh¸c xyz3)zyx).(zxyzxy.(3)zyx(3Suy ra => xy yz +zx xyz => =1 1x z+ 1Mét sè bµi kh¸c: Trang 3Bµi 1: Cho a; b; x; y; vµ 0zcybxa (1) 1czbyax (2) TÝnh 222czbyax KQ 1Bµi 2: Cho a; b; ®«i mét kh¸c nhau vµ0bacacbcba TÝnh 222)ba(c)ac(b)cb(a KQ 0Bµi 3: Cho vµ 1bacacbcba TÝnh bacacbcba222 KQ 0Bµi 4: Cho ax by z; by cz x; ax cz vµ 0.TÝnh 111111cba .Bµi 5: Cho x; y; tho¶ m·n xyz 2008. TÝnh 1zxzz2008yyzy2008x2008xyx2008 KQ 1Bµi 6: Cho a; b; lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n 933321111cbacbacba TÝnh 2007 2007 2007 KQ 6021Bµi :. Cho a, b, lµ ba sè ph©n biÖt kh¸c kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 0. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc (- -+ +- -a b)( )b KQ 9D¹ng tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc chøa c¨nYªu cÇu n¾m v÷ng kh¸i niÖm, c¸c phÐp tÝnh c¸c phÐp biÕn ®æi c¨n bËc hai c¨n bËc vµ c¨n bËc ®Ó vËn dông rót gän biÓu thøc.C¨n bËc haiVÝ dô TÝnh gi¸ trÞ cña a) 9024294351273 b) 7474 Gîi ýa) Dïng m¸y tÝnh CASIO ®Ó tÝnh kÕt qu¶ (2845 +54240 b) Gi¶i b»ng c¸ch kÕt qu¶ 2VÝ dô TÝnh gi¸ trÞ cña )53).(210.(53 kÕt qu¶ 402088 Gîi viÕt 1522251022 2)152( =152 Trang 4VÝ dô Cho ()y2008y)(x2008x(22 2008 TÝnh 2009 2009 KQ => => 2009 2009 VÝ dô Cho vµ a; b; 0. Chøng minh c1b1a1c1b1a1222 VËn dông tÝnh 222312111 222413111 .+ 222100199111 KÕt qu¶ 98,49VÝ dô Rót gän biÓu thøc sau )116)(63122641615 Gîi Trôc c¨n thøc mÉu cña tõng biÓu thøc ()116)(3)63(122)26(45)16(15 )116()116( 115VÝ dô Rót gän biÓu thøc sau 10099991001....4334132231221 Gîi ýXÐt biÓu thøc tæng qu¸t 1kkk)1k(1 1k1k1 KQ: 0,9VÝ dô 7: Cho biÓu thøc 2x16x814x4x4x4xa)Rót gän biÓu thøc A.b)T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña ®Ó cã gi¸ trÞ nguyªn. Gîi ýa)* T×m tËp x¸c ®Þnh cña A: Rót gän víi x4124x24x Víi ta cã 4xx4 Víi ta cã 4xx2b) Víi Víi ta cã 4xx4 4+ 4x16 vµ x- 4 (1)§Ó nguyªn th× ph¶i lµ ¦(16) tho¶ m·n (1) => nhËn c¸c gi¸ trÞ 1; 2; => nhËn c¸c gi¸ trÞ 5; 6; khi ®ã nhËn c¸c gi¸ trÞ 20; 12; 8. Víi 8; ®Ó 4xx2 th× tr íc hÕt 4x ph¶i nguyªn. Do vËy (k *) => k8k2kk282Trang 5V× => => 2. §Ó A th× ¦(8) Do vËy nhËn c¸c gi¸ trÞ 4; => nhËn 20; 68 khi ®ã 10; 17. KÕt luËn: 5; 6; 8; 20; 68.VÝ dô 8: Cho a; b; lµ c¸c sè ¬ng tho¶ m·n: abc TÝnh (4 )(4 (4 )(4 (4 )(4 )a b- abcGîi ýXÐt )c4)(b4(a )4416(bccba Tõ gi¶ thiÕt abc 4=>16- 4b 4c 4a abc Do ®ã )c4)(b4(a )4416(bccba =)bcabc4a4(a= 2a abc ¬ng tù )c4)(a4(b 2b abc )b4)(a4(c 2c abcVËy VÝ dô Cho d·y sè x1 x2 x3 …… xn îc x¸c ®Þnh nh sau: x1 1; xn 1n1nx31x3 tÝnh x2006 x2007 x2008 Gîi ýTÝnh x2 (2 ); x3 2; x4 cø tiÕp tôc nh thÕ thÊy x5 x2 x6 x3 x7= x4 ..=> x3k+1 x1 x3k+2 x2 x3k x3 Nh vËy sÏ tÝnh îc x2006 x2007 x2008 C¨n bËc baChó mäi sè ®Òu cã c¨n bËc vµ c¸c phÐp tÝnh phÐp biÕn ®æi trªn c¨n bËc vÉn ®óng víi c¨n bËc 3. VÝ dô TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 33271102271102 Gîi ýCã thÓ biÕn ®æi biÓu thøc íi dÊu c¨n vÒ lËp ph ¬ng cña mét biÓu thøc råi khai c¨nvµ tÝnh kÕt qu¶ (c¸ch nµy khã h¬n).Cã thÓ lËp ph ¬ng hai vÕ råi t×m b»ng c¸ch gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc 3D 10271 10271 32711004 D +2D -2)(D 2D +2) v× 2D +2 0VÝ dô Cho )1451323451323(3133 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 2x 2x +1Gîi ý§Æt 3451323 a; 3451323 bKhi ®ã ab 1; 223 Ta cã 3x bLËp ph ¬ng hai vÕ îc 27x 27x 9x 3ab(a b)Trang 627x 27x 9x =223 3(3x 1) 2x 2x 2.VÝ dô Chøng minh r»ng: a) NÕu 333cba 3cba th× víi mäi sè nguyªn -¬ng lÎ n, ta ®Òu cã: nnncba ncbab) NÕu ax by cz vµ 1111zyx th× 3222czbyax 333cbaGîi ýa)ChØ ra îc hoÆc c; a.b) §Æt 3222czbyax BiÕn ®æi ®Ó x3a y3b z3c Råi suy 3a xA 3b xB ;3c xC vµ biÕn ®æi tiÕp.PhÇn II: BÊt ®¼ng thøcYªu cÇu HS chøng minh îc c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc, c¸cbÊt ®¼ng thøc th êng dïng biÕt vËn dông ®Ó chøng minh mét sè bµi to¸nB§T A.Mét sè bÊt ®¼ng thøc th êng dïng1. BÊt ®¼ng thøc C«-Si Víi sè ¬ng a, th× 2ab dÊu x¶y ra *Víi sè ¬ng a, b, th× +b +c 33abc dÊu x¶y ra =c Tæng qu¸t víi a1 a2 a3 an th× a1 a2 a3 +an nnn321a...aaa DÊu x¶y ra a1 a2 a3 an .2. BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki *Víi cÆp sè (a; b) vµ(x; y) th× (ax by) 2 (a +b 2)(x 2+y 2) DÊu x¶y ra ybxa *Víi bé sè (a; b; c) vµ(x; y; z) th× (ax by+ cz) 2 (a +b 2+ 2)(x 2+y 2+ 2) DÊu x¶y ra ybxa =zc3. Mét sè bÊt ®¼ng thøc îc suy ra tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn .* (a b) 2(a +b 2). Êu x¶y ra b* (a c) 3(a 2+ 2). Êu x¶y ra c* xyyx víi x; lµ sè cïng dÊu. DÊu x¶y ra y* yx4y1x1 víi x; cïng ¬ng. DÊu x¶y ra y* (x +z)(z1y1x1 víi x; y; cïng ¬ngB.Mét vµi ph ¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøcI.Ph ¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa B§T vµ tÝnh chÊt cña luü thõa bËc ch½nVÝ dô1 Chøng minh r»ng cabcab víi mäi a; b; 0.VÝ dô2 Chøng minh r»ng: a) víi sè ¬ng x; tho¶ m·n xy th×xy12z11y11x11Trang 7b) Cho x; y; tho¶ m·n x; y; th× xyzzyx13111111222Gîi ýa) xy12z11y11x11 (2 y)(1 xy (1 x)(1 y) )xy1()yx(2 lu«n ®óng.b) ¸p dông c©u xyz12xy12y11x1122 (v× 1) xyz12yz12z11y1122 (v× 1) xyz12xz12z11x1122 (v× 1)Céng vÕ víi vÕ => §PCMII.Ph ¬ng ph¸p lµm tréi lµm gi¶mVÝ dô 1: a) Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 2222n1......312111 2- n1 víi >1). b) 2222n1......312111 35Gîi ýa) Víi 1, ta cã: k11k1k)1k(1k12Do ®ã: n12n11n1...31212111n1...3121112222 (®pcm)b) Víi 1, ta cã:)1k211k21(2)1k2)(1k2(41k44k44k1222VËy )1k211k21(2k12 Do ®ã: 2222n1......312111 ()1n211n21....71515131 1+ 32VÝ dô 2: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc víi *; n22n2n1...4131213n2Gi¶i:§Æt A=n1...413121a) Chøng minh 3n2Lµm gi¶m mçi sè h¹ng cña A)k1k(2k1k2kk2k1Do ®ã 2[)1nn(...)43()32( 2)21n( 221n2 >31n2> 3n2a) Chøng minh 2n2Lµm tréi mçi sè h¹ng cña ATrang 8)1kk(21kk2kk2k1Do ®ã 2[)12()23(...)1nn( 2)1n( =2n2 (®pcm)Chøng minh bÊt ®¼ng thøc 2n)1n(1...34123121 víi n 1Gi¶i:Ta biÕn ®æi sè h¹ng tæng qu¸t cña vÕ tr¸i)1k1k1(2)1k1k1)(1kk1()1k1k1)(1k1k1(k)1k1k1(k)1k(kkk)1k(1Do ®ã: 2)1n11(2n)1n(1...34123121 (®pcm) III.Ph ¬ng ph¸p sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt:VÝ dô Cho a, b, lµ c¸c sè ¬ng. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:2cbaba2cac2bcb2aC¸ch (Dùa vµo bÊt ®¼ng thøc C« si)a2a.24cb.cb2a24cbcb2aSuy ra: 4cbacb2a ¬ng tù 4acbac2b 4bacba2cCéng tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn, ta îc:2cba2cba)cba(ba2cac2bcb2aC¸ch Theo bÊt ®¼ng thøc bunhia C«pxki: (a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2) (ax+by+cz) 2.Ta cã:2222222ba.bacac.acbcb.cbabaaccbbacacbcba2)cba()c2b2a2)(ba2cac2bcb2a(2cbaba2cac2bcb2aVÝ dô a) Cho hai sè ¬ng a, cã 1. Chøng minh r»ng: 6ba1ab122Trang 914ba3ab222b) Cho a; b; 0. Chøng minh r»ng:)c1b1a1(41c2ba1cb2a1cba21c) Cho a; b; vµ 1. Chøng minh r»ng: a+2b 4(1- a)(1- b)(1- c)Gi¶ia) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si, ta cã:(x+y)(y1x1 xy1.2.xy2 y1x1 yx4 (1) víi x; 0Ta cã: ab 412ba2 4ab1 (2)¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) vµ (2) ta cã: 6)ba(424ba1ab21ab21ba1ab122222DÊu "=" x¶y ra 21ba*) 14)ba(4.324)ba1ab21(3ab21ba3ab24ba3ab22222222DÊu "=" x¶y ra 21bab) Tõ (1) suy ra: 41yx1 (y1x1 (3)¸p dông bÊt ®¼ng thøc (3), ta cã:c161b161a81)]c1b1(41[41a81)cb1a21(41cba21T ¬ng tù c161b81a161cb2a1 c81b161a161c2ba1Céng vÕ víi vÕ )c1b1a1(41c2ba1cb2a1cba21DÊu "=" x¶y ra cbac) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc 4xy (x+y) ta cã:4(1- a)(1- b)(1- c) 4(b c)(1- c)(1- b) (1+b) 2(1-b)= (1+b) (1-b 2) 1+b a+2b+cDÊu "=" x¶y ra 21 0; 21VÝ dô Cho x; y; 43 vµ x+y+z=1. Chøng minh:393z43y43x4Gi¶i¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhia C«pxki cho ba cÆp sè (3x4 1); (3y4 1); (3z4; 1) ta cã: 3z43y43x4.1113z4.13y4.13x4.1222Trang 10