Đề thi vào 10 môn Toán - Hệ chuyên - THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2015 - 2016 - có lời giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTrường Đại học Sư phạm Hà Nội CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập Tự do Hạnh phúcĐỀ THI TUYỂN SINHVÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015Môn thi :TOÁN(Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên)Thời gian làm bài 120 phútCâu (2,5 điểm) Cho biểu thức 22 22 21 1( 1)( )( )a bb bPa bb a+ -=+ với 0, 0, b.1. Chứng minh 1Pab=2. Giả sử a, thay đổi sao cho 1a ab+ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình 43 1x my mmx m- -ìí+ +î với là tham số1. Giải hệ phương trình khi 2.2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử x0 ;y0 là một nghiệm của hệ. Chứng minh đẳng thức 20 05( 10 0x y+ =Câu (1,5 điểm) Cho a, là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình 2( 0a b- có nghiệm duy nhất. Chứng minh |a| |b|.Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC;ACB nhọn và BAC 60 Các đường phân giác trong BB1 CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.1. Chứng minh tứ giác AB1 IC1 nội tiếp.2. Gọi là giao điểm thứ hai (khác B) của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1 I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp.3. Chứng minh AK B1 C1 .Câu (1,0 điểm) Tìm các số thực không âm và thỏa mãn 23 1( )( (2 )(2 )4 2a b+ +Doc24.vnĐÁP ÁNCâu 1Ta có:22 22 22 224 32 22 22 24 32 23 33 33 32 21 1( 1)( )( )( )( )( )( )( ).( )( )( )( )1a bb bPa bb aa ab bab ab ab aba aba ba ab bab ba aba ba ba ba ba bab+ -=+ +-+ +=+ ++ -=+ -- -=- -=Vậy 1Pab= .2.Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương 4a và ta có:4 41 51 105 25125a aba ab abab abPab+ ==> ³<=> <=> £=> ³Dấu bằng xảy ra khi 14 04 01010 24 15ab ab aaa abbì=ï= >ì= >ìï ï<=> <=>í í=+ =ïîîï=ïîDoc24.vnVậy minP 25 11025abì=ïïíï=ïîCâu Cho hệ phương trình:1. Thay 2, hệ phương trình đã cho trở thành:2 12 192 719 85 519 192 75 5x yx yy xx y- -ì ì<=> <=>í í+ =î îì ì= =ï ïï ï<=> <=>í íï ï+ =ï ïî îVậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 19;5 5æ öç ÷è ø2. Ta có:2 22 43 12 (1)2 1) (2)x my my mmx my mx my my mm m- -ì ì<=>í í+ +î î= -ì ì<=> <=>í í+ +î îPhương trình (2) là phương trình bậc nhất ẩn có hệ số nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất 221 41m my mm+ += "+Thay vào (1) ta được:2 22222 44 2(m 1) 1)13 21x my mm mmm mm= -+ +=+- +=+Do đó: m, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x0 ;y0 22 23 4( )1 1m mm m- ++ +*Chứng minh đẳng thức 20 05( 10 0x y+ (*)Vì (x0 ;y0 là nghiệm của hệ phương trình đã cho nên:0 00 02 4) 2(3)3 3)(4)x my xmx x- -ì ì<=>í í+ -î îXét x0 và y0 1. Khi đó (*) đúng.Xét 0. Nhân từng vế của (3) và (4) ta được:Doc24.vn0 02 20 02 20 0( 4)(1 2)( 3)5 65( 10 0m xy xx y- -<=> +<=> =Vậy đẳng thức cần chứng minh đúng m.Câu 3:Phương trình đã cho tương đương với2 22 32 3( 02 0(a b) 0a ax bx bax bx bx b- =<=> =<=> = Xét –a, phương trình (1) trở thành:2 322 04 00( 0)x aa xx Do- =<=> =<=> ¹Do đó với thì (1) có nghiệm duy nhất 0. Xét 0. Khi đó (1) là phương trình bậc hai ẩn x.Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi2 34 42 32( )( 02 02 0( 0( ab 0)a ba ab ba ab bab ba doD =<=> =<=> =<=> =<=> ¹Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ±a |a| |b|.Câu 41. Ta có B1 IC1 =BIC hai góc đối đỉnh)Doc24.vnBIC=180 o-IBC-ICB=180 o-2 2ABC ACB-180180 180 1202 2oo oABC ACB BAC+ -= ==>B1 IC1 +BAC=120 o+60 o=180 oMà hai góc này là hai góc đối nhau của tứ giác AC1 IB1 nên tứ giác AC1 IB1 là tứ giác nội tiếp.2.Vì tứ giác BC1 IK là tứ giác nội tiếp (gt) nên BKI=AC1 (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện)(1)Vì tứ giác AC1 IB1 là tứ giác nội tiếp (cmt) nên AC1 I=IB1 (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện) (2)Từ (1) và (2) suy ra IB1 C=BKI=180 o-CKI=>IB1 C+CKI=180 oĐây là hai góc đối của tứ giác CKIB1 nên tứ giác này là tứ giác nội tiếp.3. Vì BC1 IK là tứ giác nội tiếp nên1 1180 60 180 120o oBKC BIC BIC CKC BKC= => =1 1180oCKC CAC=> =Suy ra tứ giác AC1 KC là tứ giác nội tiếp.1 1C KA CA=> (hai góc nội tiếp cùng chắn cung C1 A)Và 1C AK CK=> (hai góc nội tiếp cùng chắn cung C1 K)Mặt khác CC1 là phân giác góc (gt) nên 1C CK CA KA AK= => =Suy ra tam giác C1 AK cân tại C1 C1 C1 (3)Tương tự ta có: B1 B1 K. (4)Từ (3) và (4) suy ra C1 B1 là trung trực của đoạn thẳng AK.⇒ AK B1 C1 (đpcm).Câu 5Với mọi x, không âm, ta có:2 21 1(x (*)2 4x x- <=> Dấu bằng xảy ra 12 . 22 22( 02 4( (**)x xy yx xy xyx xy- <=> ³<=> ³<=> ³Dấu bằng xảy ra y.Áp dụng BĐT (*) với và ta được2 22 22 23 1( 04 23 1(b 04 23 1( )( (1)4 2a bb aa bì+ >ïïíï+ >ïî=> +Áp dụng BĐT (**) ta được:Doc24.vn2 221 1( 4( )( )2 41 1(2 )(2 )(2)2 2a baé ùæ ö+ +ê úç ÷è øê úë û= +Từ (1) và (2) ta suy ra:2 23 1( )( (2 )(2 )4 2a b+ +Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 121 12 21 14 4ab ba bì=ïïï= <=> =íïï+ +ïîVậy 12a b= là giá trị cần tìm. Doc24.vn