Đề thi vào 10 môn Toán - Hệ chuyên - THPT Chuyên Đại Học Vinh năm 2015 - 2016 - có lời giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi: Toán (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề)Câu (2,0 điểm) Giải các phương trình:a) 81 2x x+ =+ b) 5x x+ Câu (1,5 điểm). Giải hệ phương trình2 22 2( )5x yx yx yì+ +ïÎí+ =ïî¡ Câu (1,5 điểm) Cho hai số thực a, thỏa mãn 3, ab 1. Tính giá trị của biểu thức ()()2 2a bPa b- -=+ Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB AC. Phân giác góc BAC cắt BC tại D. Đường tròn tâm đường kính AD cắt AB, AC lần lượt tại và F.a) Chứng minh rằng AD EF.b) Gọi là giao điểm thứ hai của AD và (O). Chứng minh rằng ABD AKCD D: c) Kẻ EH AC tại H. Chứng minh rằng HE.AD EA.EFd) Hãy so sánh diện tích của tam giác ABC với diện tích của tứ giác AEKF.Câu (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, thỏa mãn 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức2 21 1a cPb a= ++ .–––––––––––––– HẾT ––––––––––––––Doc24.vnĐÁP ÁNĐỀ THI TUYỂN SINHVÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2015Câu 1a) 81 2x x+ =+ (1)ĐK: –1; 2; 12- (1) (2 1)( 2) 3( 1)( 2) 8( 1)(2 1)0( 1)(2 1)( 2)x xx x+ +=+ 2(2 2) 3( 2) 8(2 1)0( 1)(2 1)( 2)x xx x- +=+ 211 30 160( 1)(2 1)( 2)x xx x- -=+ 211 30 16 02( )8( )11x xx tmx tmÞ == -éêÛê= -ë Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 82;11ì ü- -í ýî b) 5x x+ (2)ĐK:12 0213 323 53xxx xxxì³ -ï+ ³ìïï- £í íï ï+ ³îï³ -î Với điều kiện trên, ta có:22 22(2) (2 1)(3 11212 0124( 3) 1212 16 11 01161( )211( )6x xxxxxx xx xxx tmx tmÛ +ì³ -ïïì+ ³³ -ìï ïéÛ Û= -í íê- +îï ïê- =îïê=ïêëîé= -êÛêê=êë Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là 11;2 6ì ü-í ýî Doc24.vnCâu 22 22 22 2(1)( )5(2)(1) 0( )( 1) 01x yIx yx yx yy xy xì+ +ïí+ =ïîÛ =Û ==éÛê= -ë x: Thay vào (2) ta được:(2)2 25 102 52 2x xÛ 102yÞ 1. Thay vào (2) ta được:2 21(2) 1) 021 22 1xx xxx xx x=éÛ Ûê= -ë= -= Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm là 10 10 10 10(1; 2), 2;1), ;2 2æ ö- -ç ÷ç ÷è Câu 3Ta có()()()()()()()()()()()2 23 3( )( )( )2 )a bPa ba ba ba aba ab ba ab- += =++- +=+ -+ +=+ Thay 3, ab ta được:()3 2.1 .333 2P-= =- Câu 4Doc24.vna) Do E, thuộc đường tròn đường kính AD nên AED AFD 90 oXét hai tam giác vuông AED và AFD có( )( )AD chungAED AFDEAD FAD gtìÞ Dí=î (cạnh huyền góc nhọn)⇒ AE AF và DE DF (hai cạnh tương ứng)⇒ AD là đường trung trực của đoạn EF.⇒ AD EF.b) Do ABKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên ABC AKC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)Xét hai tam giác ABD và ACK có( )~( )BAD CAK gtABC ACKABD AKC cmt=ìÞ Dí=î (g.g)c) Vì AEDF là tứ giác nội tiếp nên EDA EFH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA)Xét tam giác AED và tam giác EHF ta có:90~( )oAED EHFAED EHFEDA EFH cmtì= =Þ Dí=î (g.g). .EA ADEH EFHE AD EA EFÞ =Þ d) Trên tia AC lấy B’ sao cho AB AB’. Vẽ KI AC tại IXét ABK và AB’K có( )'( ''AK chungKAB KAB gt ABK AB KAB ABìï= Díï=î (c.g.c)⇒ KB KB’ (hai cạnh tương ứng)Mặt khác AK là phân giác góc BAC nên là điểm chính giữa cung BC KB KC.⇒ KB’ KC⇒ KB’C cân tại KDoc24.vn⇒ là trung điểm B’C'2 2AB AC AB ACAI+ +Þ là trung điểm B’C1 1. .( )2 2ABC ABD ACDS DE AB DF AC DF AB AC= Vì AK là trung trực EF nên AE AF, EK FK AEK AFK (c.c.c). Do đó2. .AEDF AKFS KI AF= Vì DF // KI cùng vuông góc AC) nên theo định lí Ta–lét:. .2AEDF ABCDF AF AB ACS KI AF DF AI DF SKI AI+= VậyABC AEDFS S=Câu 52 21 1a cPb a= ++ +Ta có:22 21 1a abab b= -+ (1)Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có 21 2b b+ Thay vào (1) ta được:2 22 21 2a ab ab aba ab b= -+ (2)Tương tự, ta có:21 2b bcbc³ -+ (3)21 2c caca³ -+(4)Cộng từng vế ba BĐT (2), (3), (4) ta được:2 21 2a ab bc caa cb a+ +æ ö+ -ç ÷+ +è (5)Mặt khác()()22 213 02a ab bc ca aé ù+ ³ë 2( )33a cab bc ca+ +Þ (6)Thay điều kiện và BĐT (6) vào (5) ta có2 231 2a cPb a= ³+ Dấu bằng xảy ra khi 1.Vậy giá trị nhỏ nhất của là 32 đạt được khi 1.Doc24.vn