Đề thi vào 10 môn Toán - Hệ chuyên - THPT Chuyên Đại học SPHN đề A năm 2014 - 2015 - có lời giải

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc Lập -Tự Do -Hạnh PhúcĐỀ CHÍNH THỨCĐỀ THI TUYỂN SINHVào khối trung học phổ thông chuyên năm 2014Môn thi: TOÁN(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)Thời gian làm bài :150 phút----------------------------------------Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, là các số thực khác thỏa mãn0a cx z+ và1x za c+ Chứng minh rằng2 22 21x za c+ Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, thỏa mãn2 31 3x x- =Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên thì số:2.6.10....(4 2)1( 5)( 6)...(2 )nnan n-= ++ là một số chính phươngCâu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng1 32 4ab bc ca c+ £+ +Câu (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm .Gọi là trung điểm AB các điểm N, thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=45 02.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quyCâu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện có ít nhất phần tử và nếu A, A, thì 2yAx yÎ- Ghi chú Cán bộ coi thi không giải thích gì thêmHọ và tên thí sinh.................................................................số báo danh………………..Doc24.vnHướng dẫn giải đề thi chuyên Toán sư phạm Hà Nội vòng -2014Ngày thi 6/6/2014Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, là các số thực khác thỏa mãn0a cx z+ và1x za c+ Chứng minh rằng2 22 21x za c+ Hướng dẫn22 22 22 22 21 12 1(*)x xy yz xza ab bc acx cxy ayz bxza abcæ ö+ =ç ÷è ø+ +æ ö+ =ç ÷è Từ 0a ayz bxz cxyayz bxz cxyx xyz+ ++ thay vào (*) ta có2 22 21x za c+ Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, thỏa mãn2 31 3x x- =Hướng dẫnĐKXĐ 3;| 1; 2x z£ Áp dụng Bất đẳng thức2 22A BAB+£ ta có đúng với mọi A,B2 32 21 31 32 2x xx x+ -- Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy ra khi22 22 222 222 22 22222 21122331 31 31100221 3x yx yy zy zz xz xx xx xxxyyzzx xì= -ì+ =ïïï+ == -ïïÛí í+ == -ï ïï ï- =î- =ïîì=ìï==ïïÛ =í í=ï ï=îï- =î Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên thì số:2.6.10....(4 2)1( 5)( 6)...(2 )nnan n-= ++ là một số chính phươngDoc24.vnHướng dẫn2 22 .(1.3.5......(2 1).( 4)! .( 4)! ..1.2.3...( 1)( 2)( 3)( 4)!1 1(2 )! 2.4.6...2 .1.2.3.4...1 1)( 2)( 3)( 4)( 5)n nnnnn nan nn na n- += += += Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng1 32 4ab bc ca c+ £+ +Hướng dẫnĐặt, ;x za cy x= 12 2yz zx xyPab bc ca xy xz yz xy yz xz xz yz xy= ++ Thì3 12 21 13 )2 2yz zx xyPxy xz yz xy yz xz xz yz xyP xy yz xzxy xz yz xy yz xz xz yz xy- -+ +æ ö- +ç ÷+ +è Áp dụng Bất đẳng thức 9A C+ ³+ Do ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương:331 13 3A ABCA ABC+ Nhân theo vế bất đẳng thức trên, ta được:1 9( 9A CA Cæ ö+ ³ç ÷+ +è Khi đó Ta có9 33 34 4P xy yz xz Pxy yz xz- =+ Dấu “=” xảy ra khi2 211xy yz xz xy yz xz xy yz xzx zxyz+ +ìÛ =í=î Câu (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm .Gọi là trung điểm AB các điểm N, thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằngDoc24.vn1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=45 01. Đăt AB ta có AC a2 Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác NBM (g.g) suy ra2.2BM BN aBN DPDP AD= mà OB.OD 22a tam giác DOP đồng dạng BNO (c.g.c). từ đó tính được 45oNOPÐ 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.Theo ta có OB ON ODDP OP DP= góc PON góc ODP=45 0tam giác DOP đồng dạng ONP (c.g.c). suy ra góc DOP= góc ONPnên DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác OPN3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quyĐặt giao điểm cua MN và BC là Qvà AP là áp dung tính chát phân giác cho tam giác MBN; APD; (1)QM BM KP DP QM KP QM QNQN BN KA AD QN KA KP KA= ta có. Giả sử MP cắt AN tại cắt MN tại Áp dụng định lí ta lét (2)HM HNPK KA= Từ (1) và (2) Suy raHM QMHN QN= trùng H, vậy BD, PM, AN đồng quyCâu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện có ít nhất phần tử và nếu A, A, thì 2yAx yÎ- Hướng dẫnVới mỗi tập là tập con của {1;2;3;...;2014} thỏa mãn đề bài, gọi và lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của (a, S, b)Ta chứng minh 2a, thật vậy, giả sử 2aTheo giả thiết2.ac Ab a= Î- Mà 2a => => 2a aab a< =- mâu thuẫn với là phần tử nhỏ nhất của A.Vậy 2aGọi là phần tử lớn nhất của tập A\\{b}. Ta chứng minh 2d. Thật vậy giả sử 2d, theo giả thiết thìDoc24.vn2,dd Ab d< => Î- mà 2d => => 2ddd= Suy ra nhưng 22 25 (2 )db bd bd db d= => => -- (mâu thuẫn vì VP là số chính phương, VT không là số chính phương)Vậy 2d 2d 2a a. Mà (a và lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của B) nên ⇒b 2aVậy {a;2a}. Kiểm tra lại ta thấy thỏa mãn đề bài. Vì và 2a nên 2a 2014⇒ 1007Vậy số tập con thỏa mãn đề bài là 1007 tập.Doc24.vn