ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 9

HËI TON HÅC VI›T NAM BË GIO DÖC V€ €O T„OOLYMPIC TON SINH VI–N TO€N QUÈC 2009· thi: Mæn Gi£i t½ch Thíi gian i: 180 phótC¥u 1. Gi£ sû d¢y sè fxng÷ñc x¡c ành theo cæng thùc( x1 1;x2 1;x (n 1)( xn +xn 2); 3;4 :T½nh x2009 ?C¥u 2. Cho sè f: [0 ;1] Rcâ ¤o c§p hai li¶n töc f00(x 0tr¶n [0;1] Chùngminh r¬ng21Z0 f(t) dt 3 1Z0 f(t2)dt f(0) :C¥u 3. T¼m t§t c£ c¡c sè f:R Rtho£ m¢n c¡c i·u ki»n( f(x 2009 x;8x R;f (x y) f(x f(y 4; 8x; 2R:C¥u 4. Gi£ sûf(x ); (x c¡c sè li¶n töc tr¶n Rv tho£ m¢n i·u ki»nf (g (x )) g(f (x )) 8x R:Chùng minh r¬ng n¸u ph÷ìng tr¼nh f(x g(x khæng câ nghi»m thüc, th¼ ph÷ìng tr¼nhf (f (x )) g(g (x )) công khæng câ nghi»m thüc.C¥u 5. Cho hai d¢y sè fxngv fyngx¡c ành theo cæng thùcx =y1 3; xn+1 =xn +x2n yn+1 yn +p +y2n n= 2;3 :Chùng minh r¬ng xnyn 2(2;3) 2;3 limn !1 yn 0:C¥u 6. Th½ sinh mët trong hai c¥u sau:a) Cho P(x a thùc bªc nvîi h» sè thüc. Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh 2x= P(x câkhæng qu¡ n+ nghi»m thüc.b) Cho f(x ) xv f(x ) x3l nhúng sè ìn i»u t«ng tr¶n R:Chùng minh r¬ng msè f(x 32x2công ìn i»u t«ng tr¶n R: