Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm lớp 12 năm 2012 - 2013 tỉnh Gia Lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM Lớp 12 hệ Giáo dục phổ thông, Năm học 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (1,5 điểm). ì x3 + 2x - 3 khi x ¹ 1 ï tại điểm x = 1 . 1) Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = í x - 1 ï 2 khi x = 1 î x2  5  3 . x2 x 2 2) Tính lim Câu 2 (2,5 điểm). 1) Cho hàm số y  f ( x)  x3  3 x 2  2 có đồ thị (C). a) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết hệ số góc của d bằng 9. æ pö 2) Chứng minh rằng x > sin x với mọi x thuộc ç 0; ÷ . è 2ø Câu 3 (3,0 điểm). 1) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, SC vuông góc với mặt . phẳng ( ABC) , AB = a , SC = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với SB tại F và cắt SA tại E a) Chứng minh rằng AB ^ ( SAC ) và CE ^ ( SAB) . b) Tính diện tích tam giác CEF theo a . 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, SB = SC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng hai khối chóp S.ABM và S.ACM bằng nhau. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình nào chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn Câu 4A (2,0 điểm). 1) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 3x . x-2 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x 4  2 x 2  3 trên [0; 2] . Câu 5A (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi m, hàm số y = x3 - mx 2 - 2 x + 1 luôn có cực đại và cực tiểu. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 . B. Theo chương trình nâng cao Câu 4B (2,0 điểm). 1) Chứng minh rằng hàm số y = - x3 + 3 x 2 - 4 x + 2 nghịch biến trên ¡ . 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x -1 + 3 - x . Câu 5B (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số y = x 2 + mx + 1 luôn có hai điểm cực trị. x+m Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm cực trị đó. ------------------- Hết ------------------- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM Lớp 12 hệ Giáo dục phổ thông, Năm học 2012 – 2013 Môn: Toán ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang I. Hướng dẫn chung 1. Đáp án này chỉ nêu sơ lược một cách giải, trong bài làm học sinh phải trình bày chi tiết lời giải. 2. Nếu học sinh giải cách khác đáp án nhưng đúng thì vẫn được điểm tối đa. 3. Làm tròn điểm theo quy định chung của Bộ Giáo dục và Đào tạo cho Hệ Trung học Phổ thông . II. Đáp án và thang điểm Câu Đáp án Điểm 1) Tập xác định D = ¡ . Ta có f (1) = 2 x3  2 x  3 ( x - 1)( x 2 + x + 3)  lim = lim( x 2 + x + 3) = 5 ……. x ® 1 x ®1 x 1 x 1 x1 x 1 Suy ra lim f ( x)  f (1) . Vậy hàm số f ( x ) không liên tục tại x = 1 ………….. lim f ( x)  lim 1 (1,5điểm) x 1 0,50 0,50 x2  5  3 x2  4 .……………………………  lim x2 x 2 x 2 ( x  2)( x 2  5  3) 0,25 2 .… ………….……………......... 3 0,25 2) lim  lim x 2 1a) Tập xác định D = ¡ Ta có y¢ = 3 x 2 - 6 x ; x –∞ y' + y x2 x2  5  3  y ' = 0 Û x = 0 hoÆc x = 2 ……………………….. 0 0 2 − 2 0 +∞ 0,25 + −2 Hàm số đồng biến trên (-¥;0) , (2; +¥ ) và nghịch biến trên (0;2) …………… Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yC§ = f (0) = 2 ; đạt cực tiểu tại điểm x = 2 và yCT = f (2) = -2 …………………………………………………………………. 0,25 0,25 0,25 1b) Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm tiếp xúc của d và (C). Suy ra hệ số góc của d là 2 0,25 f '( x0 ) = 3 x02 - 6 x0 …………………………………………………………………. (2,5điểm) Mà hệ số góc của d bằng 9. Do đó 3 x 2 - 6 x = 9 Û x = -1 hoặc x = 3 ................. 0,25 0 0 0 0 Với x0 = -1 Þ y0 = -2 , suy ra phương trình tiếp tuyến d: 0,25 y + 2 = 9( x + 1) Û y = 9 x + 7 ...................................................................................... Với x0 = 3 Þ y0 = 2 , suy ra phương trình tiếp tuyến d: y - 2 = 9( x - 3) Û y = 9 x - 25 .................................................................................. 0,25 é pö 2) Xét hàm số f ( x ) = x - sin x trên ê 0; ÷ . Ta có f '( x ) = 1 - cos x > 0 , với mọi ë 2ø æ pö é pö 0,25 x Î ç 0; ÷ và f '( x ) = 0 Û x = 0 . Do đó hàm số f ( x ) đồng biến trên ê 0; ÷ ……. è 2ø ë 2ø æ pö æ pö Suy ra f (0) < f ( x ), "x Î ç 0; ÷ Û 0 < x - sin x, "x Î ç 0; ÷ . è 2ø è 2ø 1 æ pö Vậy x > sin x, "x Î ç 0; ÷ .………………………………………………………… è 2ø S 1a) Hình vẽ (có đường khuất)………………………… Ta có AB ^ AC (vì DABC vuông cân ở A) AB ^ SC (vì SC ^ ( ABC ) ) Suy ra AB ^ ( SAC ) ................................................. B Mà CE Ì (SAC ) . Suy ra AB ^ CE ........................ C Mặt khác SB ^ (CEF) . Suy ra SB ^ CE Suy ra CE ^ ( SAB) . …………..………………… A 0,25 0,25 F E 0,25 0,25 0,25 1b) Ta có CE ^ ( SAB) Þ CE ^ SA , mà SC = AC = AB = a (gt) Þ DSAC vuông cân tại C Þ CE = SA = 2 SC 2 + AC 2 a2 + a2 a 2 = = ....................................... 2 2 2 0,25 DABC vuông cân tại A Þ BC = AB 2 + AC 2 = a 2 + a 2 = a 2 1 1 1 DSBC vuông tại C Þ + = 2 2 SC BC CF 2 2a 2 0,25 Þ CF 2 = (vì SB ^ (CEF) Þ SB ^ CF )……………………………………… 3 3 (3,0điểm) a 0,25 CE ^ ( SAB) Þ CE ^ EF Þ DCEF vuông tại E Þ EF = CF 2 - CE 2 == ..... 6 1 a2 Þ S DCEF = CE.EF = ........................................................................................ 0,25 2 4 3 2) Gọi M là trung điểm của BC. Vì DABC cân tại A S 0,25 nên AM ^ BC ……………………………………. Ta có SB = SC (gt) Þ DSBC cân tại S, M là trung điểm của BC Þ SM ^ BC ....................................... 0,25 Suy ra BC ^ ( SAM ) tại trung điểm M của BC Þ ( SAM ) là mặt phẳng trung trực của BC ............. A 0,25 C Do đó, phép đối xứng qua ( SAM ) biến S thành S, A M thành A, B thành C, M thành M. Suy ra, phép đối xứng qua mặt phẳng ( SAM ) biến B khối chóp S.ABM thành khối chóp S.ACM. Vậy hai khối chóp S.ABM và S.ACM bằng nhau................... 0,25 1) Tập xác định D = ¡ \ {2} 3x 3x   hoặc lim y  lim   x 2 x 2 x  2 x 2 x 2 x  2 Suy ra đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số………….. 3x lim y  lim  3 . Suy ra đường thẳng y = 3 là đường tiệm cận ngang x  x x  2 lim y  lim  4A (2,0điểm)    của đồ thị hàm số….….………………………………………………………….. 2) f ( x ) xác định trên [0 ;2] và có f '( x ) = 4 x 3 - 4 x …..……………………… Þ f '( x ) = 0 Û x = 0 hoặc x = 1 .......................................................................... Ta có f (0) = 3, f (1) = 2, f (2) = 9 ........................................................................ Vì f ( x ) liên tục trên [0 ;2] nên max f ( x ) = f (2) = 9, min f ( x ) = f (1) = 2 …. [0;2] [0;2] 2 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 Tập xác định D = ¡ . Ta có y ' = 3 x 2 - 2 mx - 2 …………………….................. 0,25 Vì D ' = m + 6 > 0, "m Î ¡ nên y¢ luôn có hai nghiệm x1 , x2 . Do đó y¢ đổi dấu 2 khi x qua x1 và x2 . Vậy với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu…………………................ 1 5A Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 Þ y¢(1) = 0 Þ 1 - 2m = 0 Þ m = ......................... (1,0điểm) 2 1 Thay m = , ta có y¢ = 3 x 2 - x - 2 , y¢¢ = 6 x - 1 . Suy ra y¢(1) = 0 và y¢¢(1)=5 > 0 2 1 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 . Vậy m = ................................................. 2 1) Tập xác định D = R. Ta có y ' = -3 x 2 + 6 x - 4 ………………………………… Þ y ' = -3( x - 1) - 1 ……………………………………………………………… Suy ra y¢ < 0, "x Î ¡ ............................................................................................... Vậy hàm số nghịch biến trên ¡ …………………………………………………. 2) Hàm số xác định trên D = [1;3] ……………….………..…………………… 2 4B (2,0điểm) 1 1 2 x -1 2 3- x f '( x) = 0 Û x - 1 = 3 - x Û x = 2 ............................................................... 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có f '( x ) = f (2) = 2 ; f (1) = f (3) = 2 ................................................................................ Vì hàm số liên tục trên [1;3] nên max f ( x ) = f (2) = 2 , [1;3] min f ( x ) = f (1) = f (3) = 2 .............................................................................. 0,25 0,25 0,25 [1;3] Tập xác định D = ¡ \ {-m} …………………………………………………….. y' = 5B (1,0điểm) x 2 + 2mx + m2 - 1 é x = -m - 1 ; y' = 0 Û ê ………………………………. ë x = -m + 1 ( x + m )2 -m x -¥ -m -1 y' + 0 - 0,25 0,25 +¥ -m + 1 0 + Do đó với mọi m hàm số luôn có hai cực trị …………………………………… Gọi A(-m - 1; -m - 2); B(-m + 1; -m + 2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. uuur Ta có AB = (2; 4) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A. x + m +1 y + m + 2 Vậy phương trình d là = Û y = 2 x + m .................................. 2 4 ------------------- Hết ------------------- 3 0,25 0,25