Đề thi HSG Toán 8 thành phố Chí Linh
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO |
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang |
Câu 1 (2,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
b) x3 + y3 + z3 – 3xyz
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4
b) Tìm GTNN:
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1
b) Tìm đa thức dư của phép chia đa thức f(x) = x100 + x55 + x2 + x + 5 cho đa thức x2 -1
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F.
a) Chứng minh rằng: BM = ND.
b) EMFN là hình gì?
c) Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.
Câu 5 (1,0 điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
------------------Hết-------------------
| UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH | HƯỠNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HSG MÔN: Toán 8 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) |
| Câu | Đáp án | Điểm |
1 (2,0 điểm) |
a. (1,0 điểm) | |
a) (1 điểm) = = = |
0,5 0,25 0,25 |
|
| b. (1,0 điểm) | ||
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
|
2 (2,0 điểm) |
a. (1,0 điểm) | |
Từ a2 + b2 + c2 = 14 (a2 + b2 + c2)2 = 196 a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Ta lại có: a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 (ab + bc + ca) = -7 (ab + bc + ca)2 = 49 a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) = 49 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49 Do đó N = a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 196 – 2.49 = 98 |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
|
| b. (1 điểm) | ||
P = P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
|
3 (2,0 điểm) |
|
|
p = n3 - n2 + n - 1 - HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) - Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài - Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 - Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 - Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
|
|
||
vì đa thức chia coa bậc là 2 nên đa thức dư có dạng ax + b. Gọi thương của phép chia f(x) cho x2 -1 là Q(x) ⇒ f(x) = (x2-1).Q(x) +ax + b Thay x = 1 ⇒ a + b = 9 (1) Thay x = -1 ⇒ -a + b = 5 (2) Từ (1), (2) ⇒ a = 2, b= 7 Vậy đa thức dư là 2x + 7 |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
|
4 (3,0 điểm) |
0,25 | |
| a. (0,75 điểm) | ||
a) ABCD là hình vuông ( gt) A1 + MAD = 900 ( gt) (1) Vì AMHN là hình vuông ( gt) A2 + MAD = 900 (2) Từ (1) và (2) suy ra: A1 = A2 Ta có: ( c.g.c) B = D1 = 900 và BM= ND |
0,25 0,25 0,25 |
|
| b. (1,0 điểm) | ||
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F AH EN = EM và FM = FN (3) Tam giác vuông EOM = tam giác vuông FON ( OM= ON; N1=M3) O1 = O 2 EM = NF (4) Từ (3) và (4) EM=NE=NF=FM MENF là hinh thoi (5) |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
|
| c. (1,0 điểm) | ||
Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN Mà DN = MB ( cmt) MF=DF+BM Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông ABCD là a P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vì MF = DF+MB) = (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a Hình vuông ABCD cho trước a không đổi p không đổi |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
|
5 (1,0 điểm) |
*) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 ⇒ x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x ∈ R (1) y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 ⇒ y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y ∈ R (2) + = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) + Từ (1) ; (2) và (3) ⇒ B ≥ 2.3 + 2009 ⇒ B ≥ 2015 *) B = 2015 ⇔ x = 1 và y = -3 *) Min B = 2015 ⇔ x = 1 và y = - 3 |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
* Ghi chú: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa