Đề thi HSG Toán 8 huyện Phong Điền năm 2015-2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 5 Câu 2: (2,0 điểm) a) Tìm GTNN và GTLN: b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh: a2 + b2 + c2 < Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: (x-2)(x+2)(x2-10) =72 b) Tìm giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x2 – xy = 6x – 5y – 8 Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh OM=ON. b) Chứng minh c) Biết d) Nếu . Tính ? . Chứng minh BD > AC. ------------Hết----------- PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN Câu KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MÔN: TOÁN - LỚP 8 Đáp án Điểm a) Phân thức P xác định khi: 0,25 0,25 Câu 1 (2,0 điểm) 0,25 0,25 b) Theo đề ra P < 5  <5  < 10   Kết hợp với điều kiện : ta có Câu 2 (2,0 điểm) 0,25 và thì P < 5 0,25 0,25 0,25 a) Tìm GTNN và GTLN: Ta có : 4x +3 = x2 +4x+4 - x2 -1 = (x+ 2)2 - ( x2 +1) 0,25 0,25 Vậy GTNN của A là -1 khi x= -2 Mặt khác : Ta có 4x +3 =4x2 +4 - 4x2 +4x -1 = 4( x2 +1)- (2x -1)2 0,25 Vậy GTLN của A là 4 khi x = 1/2 0,25 b) Vì a, b,c là đọ dài 3 cạnh của tam giác nên 0,25 Do đó : 0,25 Vậy: 0,25 (1) Ta có: a+b+c =1 (2) 0,25 Từ (1) ,(2) suy ra : Vậy : : a2 + b2 + c2 < (đpcm) a) Giải phương trình: (x-2)(x+2)(x2-10) =72 Câu 3 (2,0 điểm) Đặt x2 - 7 = y, phương trình trở thành (y - 3 )(y + 3)=72  y2 - 9 = 72  y2 = 81  y = 9 hoặc y = -9 2 Với y = 9  x - 7 = 9  x = 4 hoặc x = -4 Với y = -9  x2 - 7 = -9  x2 = -2, vô nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x =4, x= - 4. b) Ta có x2 – xy = 6x – 5y - 8 x2 – 6x + 8 = y (x – 5) (1) y= (vì x =5 không là nghiệm của phương trình (1)) y=x–1+ . Vì x, y là nguyên nên x – 5 là ước của 3 x – 5 { - 1, 1, -3 , 3} x { 4, 6 , 2 , 8} Khi x = 2 thì y = 0 ; Khi x =4 thì y = 0 Khi x = 6 thì y = 8 ; Khi x= 8 thì y =8 Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x, y) là (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) ,(8, 8) Hình vẽ A Câu 4 (4,0 điểm) B M H D O N C 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Chứng minh OM = ON: Ta có MN//DC (Theo hệ quả của định lí Talet) (1) 0,25 Do MO//DC (2) (Theo hệ quả của định lí Talet) 0,25 Do ON//DC (3) (Theo hệ quả của định lí Talet) 0,25 Từ (1), (2), (3) suy ra OM=ON. b) Chứng minh 0,25 . Do MO//CD Và MO//CD 0,25 . Do đó: 0,25 (a) Tương tự: (b) 0,25 Từ (a) và (b) 0,25 c) Biết Tính ? Kẻ OH vuông góc với BD (H thuộc BD), ta có: 0,25 Tương tự ta có Mặt khác nên Chứng minh tương tự, ta có . 0,25 0,25 0,25 Vậy d) Nếu . Chứng minh BD > AC. A D . I B E K C Từ A kẻ AE//BC (E thuộc DC). Kẻ AI, BK vuông góc với CD tại I và K, ta có AI = BK Do nên I, K nằm trong đoạn CD Ta có (đồng vị), (giả thiết) AD > AE (góc và cạnh đối diện trong một tam giác) DI > EI (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).(c) Ta có: BC = AE (Vì BCEA là hình bình hành ) và nên AIE = BKC (Cạnh huyền – góc nhọn) IE = KC (d) Từ (c) và (d) DI > KC DI +IK > KC + IK Hay DK > CI. Áp dụng định lý pitago cho hai tam giác vuông BKD và ACI, ta có : (Do 0,25 0,25 0,25 0,25