UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI

TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Môn: Toán – Lớp 7

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,5 điểm).

a) Tính giá trị của biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức B = 2x² – 3x + 1 với .

c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110.

Câu 2: (4,5 điểm).

a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng:

b) Tìm x biết:

c) Tính giá trị của biểu thức:C = 2x⁵ – 5y³ + 2015 tại x, y thỏa mãn:

+ (y + 2)²⁰ = 0

Câu 3: (3,5 điểm).

a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3.

b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2^a + 37 = + b - 45.

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.

a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE.

b) Chứng minh rằng: = 60⁰.

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng ∆AMN đều.

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.

Câu 5: (1,5 điểm)

Cho 20 số nguyên khác 0 : a₁, a₂, a₃, … , a₂₀ có các tính chất sau:

* a₁ là số dương.

* Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.

* Tổng của 20 số đó là số âm.

Chứng minh rằng : a₁.a₁₄ + a₁₄a₁₂ < a₁.a₁₂.

ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

CÂU 1 (4,5đ)

a

(1,5)

=

Vậy : A = 0

0,75 đ

0,5đ

0,25đ

b

(1,5)

Vì nên x = hoặc x = -

Với x = thì: A = 2.()² – 3. + 1 = 0

Với x = - thì: A = 2.(- )² – 3.(-) + 1 = 3

Vậy : A=0 với x = và A=3 với x = -

0,75 đ

0,25đ

c

(1,5)

Từ ; . Suy ra

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

= -2

Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70.

Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70.

0,5đ

0,25đ

CÂU 2

(4,5đ)

a

(1,5)

2) Ta có:

Lạicó:

Do đó: - 5 < x < mà x ∈ Z nên x ∈{-4; -3; -2; -1}

0,5đ

b

(2,0)

a) NhËn xÐt: VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lu«n 0 nªn vÕ ph¶i 0

suy ra 11x 0 hay x 0.

víi x 0 ta cã:

suy ra x = 1- = (TM)

Vậy:x =

0,75đ

0,25đ

c

(1,0)

1) Do ≥ 0; (y + 2)²⁰ ≥ 0 ⇒ + (y + 2)²⁰ ≥ 0 với mọi x, y.

Kết hợp + (y + 2)²⁰ = 0 suy ra = 0 và (y + 2)²⁰ = 0

⇔ x = 1; y = - 2.

Giá trị của biểu thức :C=2x⁵ – 5y³ + 2015 tại x = 1; y = - 2

là:C=2.1⁵ – 5.(-2)³ + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057

Vậy C=2057

0,25 đ

0,25đ

0,25 đ

0,25đ

CÂU 3

(3,5đ)

a

(1,5)

Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Không mất tính tổng quát, giả sử a b c9.

Ta có 1 a + b + c 27 .

Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9,

do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27.

Theo đề bài ta có:

Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18.

Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9.

Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn,

vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936.

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

b

(2,0)

Nhận xét: Với x ≥ 0 thì + x = 2x

Với x < 0 thì + x = 0. Do đó + x luôn là số chẵn với ∀ x∈Z.

Áp dụng nhận xét trên thì + b – 45 là số chẵn với b ∈ Z.

Suy ra 2^a + 37 là số chẵn ⇒ 2^a lẻ ⇔ a = 0 .

Khi đó + b – 45 = 38

+ Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38 ⇔ 0 = 38 (loại)

+ Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 ⇔b – 45 = 19 ⇔ b = 64 (TM)

vậy (a; b) = (0; 64)

0,5 đ

0,25 đ

CÂU 4

(6,0đ)

a

(1,0)

Ta có: AD = AB; và AC = AE

Suy ra ∆ADC = ∆ABE (c.g.c)

0,75 đ

0,25 đ

b

(1,5)

Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a),

mà (đối đỉnh).

Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK suy ra = 60⁰ (đpcm)

0,5 đ

c

(1,5)

Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và

⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và

= 60⁰. Do đó ∆AMN đều.

0,5 đ

d

(2,0)

Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ đều ⇒ BJ = BI và = 60⁰ suy ra , kết hợp BA = BD

⇒∆IBA = ∆JBD (c.g.c) = 120⁰ mà = 60⁰

= 60⁰. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE

CÂU 5

(1,5đ)

(1,5)

Ta có : a₁ + (a₂ + a₃ + a₄) + … + (a₁₁ + a₁₂ + a₁₃) + a₁₄ + (a₁₅ + a₁₆ + a₁₇) + (a₁₈ + a₁₉ + a₂₀) < 0 ; a₁ > 0 ; a₂ + a₃ + a₄ > 0 ; … ; a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ > 0 ; a₁₅ + a₁₆ + a₁₇ > 0 ; a₁₈ + a₁₉ + a₂₀ > 0 => a₁₄ < 0.

Cũng như vậy : (a₁ + a₂ + a₃) + … + (a₁₀ + a₁₁ + a₁₂) + (a₁₃ + a₁₄) + (a₁₅ + a₁₆ + a₁₇) + (a₁₈ + a₁₉ + a₂₀) < 0 => a₁₃ + a₁₄ < 0.

Mặt khác, a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ > 0 => a₁₂ > 0.

Từ các điều kiện a₁ > 0 ; a₁₂ > 0 ; a₁₄ < 0 => a₁.a₁₄ + a₁₄a₁₂ < a₁.a₁₂ (đpcm).

0,5 đ

0,25 đ

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Đề thi HSG Toán 7 trường THCS Quảng Phú

Nội dung tài liệu

Các tài liệu liên quan

Có thể bạn quan tâm

Thông tin tài liệu