Đề thi HSG Toán 10 năm 2020 – 2021 trường THPT Diễn Châu 2 – Nghệ An

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số f(x) = ax² + bx + c. Biết đồ thị của f(x)là Parabol (P)có đỉnh (2;−2), (P)cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

a. Tìm f(x).

b. Xét phương trình: $f\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{4 - x} \right) = f\left( m \right),$ (mlà tham số thực). Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm x ∈ [0;3].

Câu 2. a. (1,5 điểm) Giải phương trình: $\sqrt{5x^{2} + 10x + 1} = 7 - x^{2} - 2x$.

b. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \& x + \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 \\ \& y + \frac{1}{\sqrt{x}} = 2. \\ \end{matrix} \right.\ $

Câu 3. a. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi E, Flà các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{\text{AE}} = 2\overrightarrow{\text{AB}},5\overrightarrow{\text{AF}} = 2\overrightarrow{\text{AC}}$. Chứng minh ba điểm G, E, Fthẳng hàng.

b. (1,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba cạnh a, b, c (với b > c), biết nửa chu vi bằng 10, góc $\widehat{\text{CAB}} = 60^{0}$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng $\sqrt{3}$. Tính độ dài đường trung tuyến m_a.

Câu 4. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABCcó A(3;4), trực tâm H(1;3)và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABClà I(2;0). Viết phương trình các đường thẳng AHvà BC.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, y₁, y₂, y₃, y₄, y₅thỏa mãn các điểu kiện: x₁² + y₁² = 1; ...; x₅² + y₅² = 1; x₁² + x₂² + x₃² + x₄² + x₅² = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $T = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{5}}{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}.$

---HẾT--