Đề thi HSG Môn toán Tỉnh hà tĩnh lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
————————–

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1.

(

1 1
4
+ =
a) Giải hệ phương trình x y√ x + y
xy = 4y − 3.
b) Cho các số thực không x,
âmy thỏa mãnx + y = 2.Chứng minh rằng
2≤

p

√
√
x2 + y2 + xy ≤ 6.

Câu 2. Với n nguyên dương
(n ≥ 2),đặt
Pn = 1 −

1
1
1
1−
... 1 −
.
1+2
1+2+3
1 + 2 + ... + n
1
là số nguyên.
Pn

Tìm tất cả các số nguyên dương
n (n ≥ 2)sao cho

Câu 3. Cho các số nguyên dương
x, y, zthỏa mãnx2 + y2 = z2.
a) Chứng minh
A = xy chia hết cho 12.
b) Chứng minhB = x3y − xy3 chia hết cho 7.
Câu 4. Cho đường tròn
(O). Lấy các điểm
A, B, C thuộc(O) sao cho tam giác
ABC nhọn
và AB > BC > CA. Đường tròn tâm
C, bán kínhCB cắt đường thẳng
AB và (O) lần
lượt tạiD và E (D, E khácB ).
a) Chứng minh đường thẳng
DE vuông góc với đường thẳng
AC.
b) Giả sử đường thẳng
DE cắt(O) tại F (khácE ); các đường thẳng
CO, AB cắt nhau
[
[
tại G và các đường thẳng
BE, CF cắt nhau tạiK. Chứng minhCKG
= CBG.
Câu 5. Bên trong hình chữ nhật kích thước
5 × 12chon điểm bất kỳ.
a) Vớin = 11,chứng minh trong số√ các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng
cách giữa hai điểm đó không lớn hơn
13.
b) Kết luận trên còn đúng khôngnkhi
= 10?Tại sao?
————————————— HẾT —————————————
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: .....................................................................; Số báo danh: ......................

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN
(Hướng dẫn giải gồm 3 trang)
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu

Hướng dẫn


1 1
4

 


x y x  y


xy  4y  3.



3
. Từ phương trình sau ta xcó 0 (do xy  0;y  0)
4
1 1
2
4
 

.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
x y
xy x  y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ xkhi
 y.
Do vậy phương trình đầu tương đương
x với
y.
Điều kiệnxy  0;y 

1.a

Khi đó phương trình sau trở thành
x2  4x  3  x4  4x  
3 (x2  1)2  2(x  1)2  0  x
Với x  1 thì y  1. Đáp số(x; y)  (1;1).
Ta có thể biển đổi phương trình (đầu
x  y)2  4xy  (x  y)2  0  x





1
4x  
3 1  0  x
2
Với x  
y 2 thì x2  y2  4 2xy.
Khi đó Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta có
Khi đó x2 

4x  3  (x  1)2 

2  4
Do đó  

2

xy  2 2xy(2 xy)  4

1.
y.

1.

xy  (2xy  
2 xy)  6.

6.

1.b
Chú ý rằngx2  y2  2xy 

xy
ta có
4

2  x2  y2  xy  2 xy( x2  y2)  x2  y2  xy  xy  4.
Do đó   2.

1

quocluatnk


1 
1



Pn  
1

1






1 
2
 1  2

k(k  1)
; k    .
2
1
2
(k  1)(k  2)
Áp dụng nhận xét trên ta 1có


1

.
1 
2 ...  k
k(k  1)
k(k  1)
Cho k  2,...,n rồi nhân các đẳng thức thu được lại với nhau ta có
1 
2
Nhận xét rằng

2




1




.
...
1




  1 

3
2 ...  n 


...  
k

Pn 

1.4 2.5 (n  1)(n  2) n  2
.
...

.
2.3 3.4
n(n  1)
3n

1
6
 3
   n 2 6  n 4 (do n  2
 4).
Pn
n 2
Vậy tất cả các giá trị
n cần tìm làn  4.
Nhận xét rằng một số chính phương chia 3,4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Thật vậy:
Nếu n  3k thì n2  9k2 chia 3 dư 0.
Nếu n  3k  1 thì n2  3(3k2  2k)  1 chia 3 dư 1.
Khi đó

3.a

Giả sửxy 3 thì x và y đều không chia hết cho 3, khi
x2 đó
 y2 chia 3 dư 2, vô lý theo
xy 
3.
nhận xét trên. Vậy
Nếu x, y đều lẻ thìx2  y2 chia 4 dư 2, vô lý theo nhận xét trên.
Nếu có đúng 1 số lẻ, chẳngxhạn
chẵn,y lẻ thìz lẻ.
Đặt x  2a; y  2b  1;z  2c  1 thay vào ta được
a2  c(c  1) b( b 
1) 2.
4.
Do đóa chẵn. Suy ra
x chia hết cho 4, do xy
đó 
Nếu x, y đều chẵn thì hiển nhiên
xy 
4.
xy 12,
 đpcm.
Vì (3, 4) 1 nên ta có
Nhận xét rằng một số chính phương chia 7 chỉ có thể dư 0,1,2 hoặc 4.
Thật vậy:
Nếu n  7k thì n2  49k2 chia 7 dư 0.
Nếu n  7k  1 thì n2  7(7k2  2k)  1 chia 7 dư 1.
Nếu n  7k  2 thì n2  7(7k2  4k)  4 chia 7 dư 4.
Nếu n  7k  3 thì n2  7(7k2  6k  1) 2 chia 7 dư 2.

3.b

Giả sửx3y  xy3 7 hay xy( x2  y2) 7.

Khi đó x2 và y2 đều không chia hết cho 7 và không có cùng số dư khi chia cho 7. Nếu c
số dư khi chia
z2 chia 7 dư 3, vô lý theo nhận xét trên.
x2, y2 cho 7 là 1,2 thì
Nếu các số dư khi chia
x2, y2 cho 7 là 1,4 thì
z2 chia 7 dư 5, vô lý theo nhận xét trên.
z2 chia 7 dư 6, vô lý theo nhận xét trên.
Nếu các số dư khi chia
x2, y2 cho 7 là 2,4 thì
Vậy x3y  xy3 7.
Kết hợp cả 2 ý a,b ta có ngay
x, y)  1 thì trong 4
B 84. Ta còn có thể chứng minh (nếu
số x, y, x  y, x  y chỉ có đúng 1 số chia hết cho 7.

2

quocluatnk

4

4.a

4.b

 có CBA
  CDA
 .
Theo tính chất của tam giác cân CEA
ta




Lại cóCED  CDE nênAED  ADE hay tam giác
ADE cân.
Từ đó AD  AE , kết hợp với
CD  CE ta đượcDE  AC , đpcm.




Áp dụng câu a) ta có
ADE  AED  ABF (góc nội tiếp chắn cung nhỏ
AF ).
F , suy raFB  FD .
Suy raFBD là tam giác cân tại
Kết hợp vớiCB  CD ta cóCF  BD hay BG  CK .
Mặt khácCB  CE nênCO  BE hayCG  BK .
Suy raG là trực tâm của tam giác
BCK .



Khi đó CKG  90  KCB  CBG , đpcm.
Chia hình chữ nhật đã cho thành 10 hình chữ
2nhật
3 như hình dưới

5.a

Theo nguyên lý Đi-rich-lê, 10 hình chữ nhật nhỏ chứa 11 điểm nên luôn tồn tại
cùng thuộc một hình chữ nhật nhỏ, khoảng cách giữa chúng hiển nhiên


22  32 

13, đpcm.

Khi n  10 kết luận vẫn đúng.
Chia hình chữ nhật đã cho thành 9 hình như hình dưới

5.b

Theo nguyên lý Đi-rich-lê, 9 hình nhỏ chứa 10 điểm nên luôn tồn tại 2 điểm cùng thuộ
một hình nhỏ, khoảng cách giữa chúng
 22  32 

3

13, đpcm.

quocluatnk