Đề thi HSG Môn toán lớp 11

TRƯỜNG THPT YJUT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHÓI 11 NĂM HỌC 2012-2013 TỔ TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1(4đ): cho số 1 4, ...... 0;1na a Chứng minh rằng: 21 4(1 ...... 4( ....... )n na a Bài 2(4đ):Giải phương trình 2012 2012 2014 20143sin os 2(sin os os22x x Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho trong khai triển (1 )nxcó hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 715 Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, là trung điểm của AB, là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm khác H. CMR: a) )AC SHK. b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH). Bài 5(4đ) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng và0\' \' 60B BA BC ABC Chứng minh A’B’CD là hình vuông.HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 2013. Bài Nội dung Điểm Bài (4đ) Xét tam thức 21 4( (1 ...... ....... )n nf a Ta có 21 41 4(1) ...... .......(1) 1) 1) 1) 1) ..... 1)n nn nf af a  Mặt khác 1 4, ...... 0;1na a nên 12 23 3( 1) 0( 1) 0( 1) (1) 0...........( 1) 0n na aa aa fa a     Mà 21 4(0) ....... (1). (0) 0nf f Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên 0;1vậy 21 42 21 4(1 ...... 4( ....... 0(1 ...... 4( ....... )n nn na aa a  0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài (4đ) 2012 2012 2014 20142012 2012 212 122012 20122012 203sin os 2(sin os os223os (2 cos 1) sin (1 sin os2 02os2 0(1)3os2 os sin 032os sin 0(2)2* os2 )4 23* os sin2x xc xc xc xc xc Zc xxx       120x Ta nhận thấy 20122012 20122012os 03* os sin 032sin 02c Rc Rx R    Vậy pt(2) vô nghiệm Phương trình có nghiệm là: )4 2x Z  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5Bài (4đ) 0(1 )nn knkx x số hạng liên tiếp là 1;k kn nC C ta có 17 17 22 15 215 15 7knknCk kn kC k   Do ,n k¥ đặt 17kt khi đó 22 1n t đế là số nguyên dương bé nhất thì cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì 0knên 17 17t t (vì là số nguyên dương bé nhất) vậy 22.1 21n Bài 4: (4đ) IADBCSHK a) Cm: )AC SHK Vì H, lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD nên HK//BD mà (1)AC BD HK AC Mặt khác (2)SH ABCD SH AC từ (1);(2) ta có )AC SHK b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) Ta có ··( )CDK DAH CKD DHA mà ·····0 090 90 90 )HDA DHA CKD HDA KID CK DH I hay CK DH(1)mặt khác (2)SH ABCD SH CK từ (1); (2) ta có )CK SDH hay góc giữa CK và mặt phẳng (SDH) bằng 900 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5Bài 5: (4đ) A\'D\'B\'C\'BCDA Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi 1\' \' \'. 02 2\'CB CD BB BC BA BB BA BC BA aCB CD  uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur Hay A’B’CD là hình vuông 1Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.