Đề thi HSG Môn toán lớp 11

ĐỀ THI HSG NĂM 2011- 2012 Môn Thi Toán 11 Thời gian làm bài 180 phút Câu I( điểm): Giải phương trình (sin sin 4) cos 202 sin 3x xx  Câu II(2 điểm): 1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3. 2/ Tìm số nguyên dương sao cho: 12 22 12.2 3.2 ... (2 1).2 2011nnn nnC C  Câu III(2 điểm) Cho hàm số: 23 2y x (C) 1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2011y x . 2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ). Câu IV(2 điểm): 1/ Chứng minh phương trình 22 2011 0x mx nx px có ít nhất nghiệm với m,n,pR 2/ Tính 213 2011 20091xx xLimx  Câu V( điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD=600 SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); 34aSO. Gọi là trung điểm của AD, là trung điểm của DE. 1/ Chứng minh (SOF)(SAD). 2/ Tính khoảng cách từ và đến mặt phẳng (SAD). 3/ Gọi là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . Tính diện tích của thiết diện này. .........................Hết…………….Đáp án đề thi HSG môn toán lớp 11 lần (2010-2011) Câu Nội dung Điểm Xét phương trình: sin 4) cos 202 sin 3Sin xx  (1) Điều kiện: 3sin2x Phương trình (1) sin2x.cosx-12sin2x+4cosx-2=0 sin2x(cosx-12)+4(cosx-12)=0 (cosx-12)(sin2x+4)=0 x=23k Đối chiếu với điều kiện: x=23k Vậy phương trình có nghiệm: x=23k 0,25 0,5 0,25 II .Đặt A= {1;2;3;4;5;6} .Các tập hợp con của gồm có phần tử và tổng của các phần tử đó chia hết cho là: {1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5}, {4;5;6}. 0,5 Có tập Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được 3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy có 8.6=48 số cần tìm 0,5 Ta có 12 1(1 .... .n nn nx x   (1) 0,25 Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo ta được 22 1(2 1)(1 1) 3. .... (2 1). .n nn nn x  2 22 1(2 1)(1 3. .... (2 1). .n nn nn x  (2) 0,5 Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được: 22 12 ...... (2 1). .2n nn nn c  Khi đó: 2n+1=2011 n=1005. Vậy n=1005. 0,25 Đường thẳng song song với đường thẳng y=-9x+2011 có phương trình dạng y= -9x+m (m2011) 0,25 Đường thẳng là tiếp tuyến của (c hệ phương trình 223 93 9x mx x   có nghiệm 0,25Giải (2): 13xx  Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn). phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7. Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn) phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25 Vậy có phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25. 0,5 Goi M(x0,f(x0) (c ); f(x0)= 20 03 2x x . Đường thẳng với hệ số góc đi qua điểm M(x0,f(x0) có phương trình là: y= k(x-x0)+ f(x0) 0,25 là tiếp tuyến của (c hệ phương trình 20 023 )3 1x xx x  có nghiệm 0,25 (x-x0)[-2x2+(x0+3)x+x02-3x0]=0 02 20 0( 3) 0x xg x  = (x0+3)2+8(x02-3x0)=9x02-18x0+9=9(x0-1)2>0 Yêu cầu bài toán g(x)=0 có nghiệm kép x=x0 00034xx   x0=1M(1;0) Vậy M(1;0) 0,5 IV Xét phương trình: 22 2011 0x mx nx px (1) Xét hàm số: 2( 2011f mx nx px 2lim lim 2011)x xf mx nx px   b>0 sao cho f(b) 0 Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [a;0] và [o;b]; ). (0) 0(0). 0f ff b phương trình có ít nhất nghiệm x1 (a;0) và ít nhất nghiệm x2 (0;b). Vậy phương trình có ít nhất nghiệm. 0,5 22 21 113 2011( 1) 4lim lim 2011]1( 1)( 2)1 4021lim( 2011)23 2x xxx xxx xxx      Tam giác ABD đều nên BE AD; OF//BE OFAD (1) )SO ABCD SO AD (2) Từ (1) và (2) OF) OF)AD SAD S 1,0 Kẻ OH SF tại H( )OH SAD ( ))d SAD OH 22 21 649 3OF 916 1638a aOH SO aaOH  là trung điểm của AC nên 3( )) ))4ad SAD SAD 0,25 0,5 0.25 Gọi là hình chiếu của trên mp(SAD) H là trung điểm của AK )mp mp BCK ;BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD.Từ kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại và .Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN 22 222212 12OF16 43.4a aSF SO SFSH SOSO SH SFSF SF  MN cắt SF tại trung điểm MN là đường trung bình của tam giác SAD 22 23( )( 92 42 16tdAD aMNa aaMN BC CK aS 