Đề thi chọn HSG Toán 8 huyện Cẩm Giàng

Câu 1 (3 điểm)

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)

b)

2. Giải phương trình:

3. Cho . Tính A =

Câu 2 (2 điểm)

Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm giá trị của x để A < 0.

c. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3 (1 điểm)

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số ban đầu.

Câu 4 (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.

a. Chứng minh:

b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương và a+b+c = 1.

Chứng minh rằng:

------- Hết ------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (3 điểm) 1. a) x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2+2)2 – (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) = (x2 + 2x + 2).(x2 - 2x + 2) b) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 0,5 điểm 0,5 điểm 2. <=> (*) Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 nên (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 điểm 3. Nhân cả 2 vế của: với a + b + c; rồi rút gọn A = 0. 1 điểm Câu 2 (2 điểm) Biểu thức: a. Rút gọn được kết quả: với 1,0 điểm b. 0,5 điểm c. 0,5 điểm Câu 3 (1 điểm) Gọi tử số của phân số cần tìm là x ( Thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11) Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số (x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình = Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) Từ đó tìm được phân số 1 điểm Câu 4 (3 điểm) 0,25 điểm a. Chứng minh: đpcm 1 điểm b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm 1 điểm c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi không đổi lớn nhất (AEMF là hình vuông) là trung điểm của BD. 0,75 điểm Câu 5 (1 điểm) Chứng minh bài toán 1: với x, y >0 Áp dụng bài toán 1: Áp dụng bài toán 1: (2) (vì a+b+c = 1) Từ (1) và (2) suy ra Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1/3 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ