Đề khảo sát chất lượng HSG Toán 11 lần 1 năm học 2019-2020, trường THPT Ngô Gia Tự - Đắk Lắk.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK

Trường THPT Ngô Gia Tự

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 11 – Lần thứ nhất

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Năm học: 2019 – 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK

Trường THPT Ngô Gia Tự

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 10 – Lần thứ nhất

Năm học: 2019 – 2020

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1 (2 điểm)

a(1 điểm)

Ta nhận thấy

Vậy pt(2) vô nghiệm. Phương trình có nghiệm là:

b(1 điểm)

Xét tập A trong 2019 tập hợp.

Xem mỗi phần tử của A là một ngăn kéo, ta có:

2019 = 45.44+39 nên theo Đirichlê mỗi phần tử của A là phần tử chung ít nhất 45 tập hợp

Gọi a là phần tử chung của 46 tập hợp .Theo giả thiết hai tập bất kì trong 46 tập hợp này không có phần tử chung khác a.

Ta chứng minh a thuộc tập B bất kì trong 1973 tập hợp còn lại

Thật vậy, nếu thì tập B cùng với mỗi tập sẽ có một phần tử chung khác a. Suy ra tập B có ít nhất 46 phần tử ( Vô lý)

Vậy tồn tại một phần tử thuộc tất cả 2019 tập hợp trên (đpcm)

Câu2

(2 điểm)

a)

PT:

Vì >0 và >0 với mọi x

Nên (2)

b)

ĐK:

Bình phương hai vế phương trình (2) ta được:

Ta có:

Kết hợp với (3) và (4) ta có phương trình:

Với thay vào (3) ta được

Với thay vào (3) ta được

Thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện.

Vậy hệ có hai nghiệm

Câu 3

a)

Gọi là nghiệm của phương trình ( )

Ta có:

Suy ra: với

Mặt khác: (đúng do ).

Vậy .

Dấu bằng xảy ra khi (ứng với )

(ứng với )

b)

(*)Ta có:

Thật vậy, .

Giả sử ta có

.

Vậy theo quy nạp ta chứng minh được , hơn nữa dãy số là dãy tăng.

(*)Nếu dãy số bị chặn trên thì lim =L . Khi đó

( Vô lý) . Suy ra:

(*) Ta có:

Do đó

Suy ra

Câu 4

a)

Ta có: (1)

Khi đó hoặc

Nếu thì p<q

( vô lý )

Nếu (2)

Từ (1) ta được: p -1 = k.(q-1) (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

Ta có

Với thì .Vì là số chính phương nên

( vô nghiệm)

Vậy

Nhận xét k=3 thỏa là số chính phương. KL: q=7, p=19

b)

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là:

Ta có chia hết cho 7 khi và chỉ khi chia hết cho 7. Đặt là số nguyên khi và chỉ khi

Khi đó ta được:

suy ra số cách chọn ra t sao cho số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286.

Vậy xác suất cần tìm là:

Câu 5

a)

Đặt f(0) = a. ta có ( 1) tương đương với

Trường hợp 1: f(y) = 0. Dễ thấy f(x) = 0, thỏa mãn (1)

Trường hợp 2: Tồn tại . Khi đó trong (2) thay y bởi ta được

Vế phải của (3) có tập giá trị R nên vế trái có tập giá trị R. Suy ra với tồn tại u, v sao cho .

Trong (1) thay x =0 ta được:

Trong (1) thay x bởi ta được:

Từ đó ta có:

Thử lại ta thấy hàm số thỏa mãn

Vậy hàm số cần tìm là: ( a là hằng số bất kì)

b)

*)Gọi Q là giao điểm của AP và BC, suy ra P là trung điểm của AQ, tam giác ACQ cân tại C. suy ra .

suy ra cùng phương với do đó P, M, N thẳng hàng.