Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Đề khảo sát chất lượng HSG Toán 10 lần 1 năm học 2019-2020, trường THPT Ngô Gia Tự - Đắk Lắk

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm

Thông tin tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK

Trường THPT Ngô Gia Tự

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 10 – Lần thứ nhất

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Năm học: 2019 – 2020

Câu 1 (3 điểm). Giải phương trình sau:

Câu 2 (4 điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đường cao . Chứng minh rằng: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 3 (4 điểm). Xét các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4 (3 điểm). Cho tập . Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà là một số nguyên tố.

Câu 5 (3 điểm). Với n là số tự nhiên chẵn. Chứng minh rằng chia hết cho 323.

Câu 6. (3 điểm). Tìm tất cả các hàm thõa mãn đồng thời các điều kiện:

a)

b)

…………………………. Hết ………………………….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK

Trường THPT Ngô Gia Tự

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 10 – Lần thứ nhất

Năm học: 2019 – 2020

HƯỚNG DẪN CHẤM

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa.

Câu

ĐÁP ÁN

Điểm

Câu 1

Giải phương trình sau:

3,0

Điều kiện:

1,0

1,0

1,0

Đặt

Phương trình trở thành:

* Với thì ta có

* Với thì ta có

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất .

Câu 2

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đường cao . Chứng minh rằng: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

4,0

Giả sử diện tích các tam giác ABC; HBC; HAC; HAB lần lượt là: , khi đó ta có

Mà

2,0

Ta có: với là các số dương thì .

Đẳng thức xảy ra khi

Từ đó suy ra . Đẳng thức xảy ra khi . Tức là tam giác ABC là tam giác đều.

2,0

Câu 3

Xét các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

4,0

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2,0

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được (1)

Mặt khác, do nên (chia hai vế cho 4) (2)

1,0

Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức L bằng 13, đạt được khi

1,0

Câu 4

Cho tập . Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà là một số nguyên tố.

3,0

Nếu a, b chẵn thì là hợp số. Do đó nếu tập con X của A có hai phần tử phân biệt a, b mà là một số nguyên tố thì X không chỉ chứa các số chẵn. Suy ra: .

1,0

Ta chứng tỏ là giá trị nhỏ nhất cần tìm. Điều đó có ý nghĩa là với mọi tập con X gồm 9 phần tử bất kì của A luôn tồn tại hai phần tử phân biệt a, b mà là một số nguyên tố. Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các cặp hai phần tử phân biệt a, b mà là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp: , , , , , , , .

1,0

Theo nguyên lí Dirichlet thì 9 phần tử của X có hai phần tử cùng thuộc một cặp và ta có điều phải chứng minh.

1,0

Câu 5

Với n là số tự nhiên chẵn. Chứng minh rằng chia hết cho 323.

3,0

Ta có 323=17.19

+

Vì và do n chẵn .

1,0

+

Vì và do n chẵn.

1,0

Mặt khác (17;19)=1

1,0

Câu 6

Tìm tất cả các hàm thõa mãn đồng thời các điều kiện:

a)

b)

3,0

Cho m = 1, Từ b) ta có

, (*)

.(c)

1,0

Ta tính vài giá trị đầu của f(n):

- Cho n = 1, từ a) ta có

- Cho n = 2, từ (c) ta có

- Cho n = 3, từ (c) ta có

- Cho n = 4, từ (c) ta có

Ta chứng minh , , (d)

1,0

- Với n = 1 thì (d) đúng

- Giả sử (d) đúng với n = k . Tức là

- Cần chứng minh (d) cũng đúng với n = k + 1. Tức là

Thật vậy, Theo (c) ta có

Vậy (d) đúng . Mặt khác do có (*) nên nếu f thoả mãn đề bài thì f được xác định duy nhất. Vậy hàm số cần tìm là , .

1,0