Đề giao lưu HSG toán lớp 7 năm 2019 - 2020 thị xã Chí Linh - Hải Dương

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2019-2020
MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)
Tìm x biết:
2

1
1

a)  x   
0
3  16


b) x 

3 1
  2017
4 2

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho

a
b
c
ab bc ca
. Tính : P 
.




bc ca ab
c
a
b

b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2
Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm.
b) Cho đa thức A  x 2  10 xy  2017 y 2  2 y và B  5 x 2  8 xy  2017 y 2  3 y  2018 .
Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM  BC và MA = MC.
b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD
tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.
c) Chứng minh: MD + ME  AD + AE.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a  b  c  d  25 .
c
b

d
a

Tìm giá trị lớn nhất của M   .
–––––––– Hết ––––––––
Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………….
Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:…………………………..

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu Ý

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG
NĂM HỌC 2019-2020
MÔN: TOÁN - LỚP 7
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang)
Nội dung

1 1
1


x


x



3 4
12
1
1


a x   

3  16  x  1   1
 x  7



3
4
12
2

x

1
b

3 1
3 1
4035
  2017  x    2017 
4 2
4 2
2

3 4035
8067


x


x



4
2
4


 x  3  4035
 x  8073


4
2
4
Ta có:

a

0,5
0,25

0,5

+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b
Khi đó P  (1)  (1)  (1)  3

0,25
0,25

+ Nếu a  b  c  0 thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c

a  b b  c c  a 2c 2a 2b





6
c
a
b
c
a
b

Vậy : P = - 3 hoặc P = 6.

0,25
0,25

Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z.
Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z 

x y z
 
6 4 3

b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau



x y z xyz
  
6 4 3 643

26
2
13

 x = 12, y = 8, z = 6.
3

0,5

0,25

a
b
c
abc



b  c c  a a  b 2(a  b  c)

Khi đó P 
2

Điểm

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm.
a  f(-1) = 0  a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0  a - b -2 = 0  a = b + 2.
Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm.

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

 f(2)=0  a.(2)2 +b.(2) -2 =0  4a + 2b -2 = 0
0,25

 4(b +2) + 2b - 2 = 0  4b +8 + 2b - 2 = 0  6b +6 = 0
 b = -1  a = 1. Vậy a = 1; b = -1

0,25

C=A–B



 

 x 2  10 xy  2017 y 2  2 y  5 x 2  8 xy  2017 y 2  3 y  2018



 x 2  10xy  2017y2  2y  5x 2  8xy  2017y 2  3y  2018
b  4x 2  2xy  y  2018
C  4x2  2xy  y  2018  2x(2x  y)  y  2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được C  2x  y  2018  (2x  y)  2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được C  1  2018  2017

0,25
0,25
0,25
0,25

A
H

E

0,25

D
1
B

2 3
M

4

5

C
F

Xét  ABM và  ACM có:
AM chung; AB = AC (  ABC vuông cân); MB = MC (gt)

0,25

  ABM =  ACM (c.c.c)
4

a

  AMC
 . Mà AMB
  AMC
  1800  AMB
  AMC
  900
 AMB

 AM  BC
  900 ; ACM
  450 (  ABC vuông cân tại A)
-  AMC có AMC
  AMC vuông cân tại M  MA = MC (1)

M
  900 (MD  ME) và M
 M
  900 (AM  BC)
Ta có: M
2
3
3
4
 M
 (2)
 M
2
4


  MAC
  BAC  450
Do

ABM
=

ACM

MAB
b
2
Xét  AMD và  CME có:
 M
 (theo (2)); MAD
  ACM
  450
AM = CM (theo (1)); M
2
4

  AMD =  CME (g.c.g)  MD = ME

0,25
0,5

0,25

0,25

0,5

Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB tại H.
- Chứng minh  MDB =  MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC  AC.
- Chứng minh  HAC =  CFH từ đó suy ra HF = AC
c

0,25
0,25

Do  AMD =  CME  AD = CE  AD + AE = AC.
Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF
Mặt khác DF  HF  DF  AC hay MD + ME  AD + AE

0,25

- Dấu “=” khi MD  AB.
Vì a + b = c + d = 25 nên 1  a, b, c, d  24
Nếu cả hai phân số

c
d
và
đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái giả thiết.
b
a

Vậy có một phân số không vượt quá 1.
Không mất tính tổng quát giả sử
+ Nếu d  23 thì
5

c
1
b

d
c d
 23 (vì a  1 )  M    1  23  24 (1)
a
b a
1
b

+ Nếu d  24 thì c = 1  M  
- Nếu a > 1 thì  M  1 

0,25

24
a

24
 13
2

- Nếu a = 1 thì b = 24  M 

0,25

(2)

1 24 577


24 1
24

Từ (1), (2) và (3) suy ra Max( M ) 

577
24

Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24
hoặc a = c = 24; b = d = 1.
Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25

(3)

0,25