Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân

GVGVGVGV. TRTRTRTRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHC NGHĨAĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)p)p)p) 1111 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1. PH ƯƠ NG PHÁP QUY ẠP TOÁN ỌC Để ch ứng minh nh ững ệnh đề liên quan đến nhiên nℕ là đúng ới ọi mà không th th tr ực ti ếp đượ c, ta có th dùng ph ương pháp quy ạp toán ọc (hay ọi ắc là phươ ng pháp quy ạp) nh sau: Bướ Ki ểm tra ằng ệnh đề úng ới 1. ước Gi ệnh đề úng ới 1n ất kì (g ọi là gi thi ết quy ạp) ước Ch ứng minh ằng nó ũng đúng ới 1. Các ki ến th ức ần nh ớ: Cách vi ết nhiên: Các số nhiên liên ti ếp: 1; 2;n n+ +… Các nhiên ch ẵn liên ti ếp: 2; 4;n n+ +… Các nhiên liên ti ếp: 1; 3; 5;n n+ +… Tính ch ất chia ết: Các ch ẵn thì chia ết cho 2. Các ận cùng ằng ho ặc thì chia ết cho 5. Các có ổng các ch chia ết cho thì chia ết cho 3. Các có ổng các ch chia ết cho thì chia ết cho 9. ạo ởi hai ch ận cùng chia ết cho thì chia ết cho 4. ạo ởi hai ch ận cùng chia ết cho 25 thì chia ết cho 25. ạo ởi ch ận cùng chia ết cho thì chia ết cho 8. ạo ởi ch ận cùng chia ết cho 125 thì chia ết cho 125. ột ừa chia ết cho ừa chia ết cho thì chia ết cho 6. Tích ủa hai nhiên liên ti ếp luôn chia ết cho 2. Tích ủa ba nhiên liên ti ếp luôn chia ết cho 2, và 6. Tích ủa ốn nhiên liên ti ếp luôn chia ết cho 2,3,4,6,8. Tính ch ất ũy th ừa: .m na a+= –:m na a= ).nn nab b= ().nm na a= nnna bab = mn mna a= Phân tích đa th ức 2ax bx thành nhân ử: ếu ph ương trình 20ax bx c+ có nghi ện phân bi ệt 2,x thì: ()()21 2– –ax bx x+ Dạng Ch ứng minh đẳng th ức ằng ph ương pháp quy ạp A. PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢI Nắm rõ nguyên lý quy ạp ồm ba ước trong ph ần tóm ắt lý thuy ết ChủđềTÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11TOÁN 11TOÁN 11TOÁN 11 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 B. BÀI ẬP ẪU Ví 1. Ch ứng minh ằng )()()22 22 12 ... 23n nn+ ++ với. nℕ. .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ Ví dụ 2. Chứng minh rằng )()3 12 ... 12n nn++ với nℕ. .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................GVGVGVGV. TRTRTRTRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHC NGHĨAĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)p)p)p) 3333 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 C. BÀI ẬP ẢN Bài 1. Chứng minh rằng: Với mọi nℕ: a) ()11 ...2n nn++ b) )223 311 ...4n nn ++ c) ()2 ... 1n n+ d) ()21 ... 1n n+ e) )()3 11 ... 22n nn+ f) 31 3...3 4.3n nn++ g) 1...2 2nn n+ h) )113 27 ... 32n n++ i) ()1 1n n+ +…. j) )()3 12 ... 12n nn++ k) ()()2 21 11 ...6n nn+ ++ l) )1 1...1.2 2.3 1nn n+ =+ n) )21.4 2.7 ... 1n n+ p) )()()22 22 12 ... 23n nn+ ++ q) )()222 24 11 ... 13n nn+ r)()()()1 21 10 ...2 6n n+ ++ s) ()()21.2 2.5 3.8 1n n+ m) )()( )31 1...1.2.3 2.3.4 2n nn ++ =+ o) )()()1 21.2 2.3 3.4 ... 13n nn n+ ++ với 2n. Bài 2. Chứng minh ằng đườ ng chéo ủa ột đa giác ồi ạnh là ()32n n. Bài 3. Cho tổng )1 1...1.3 3.5 5.7 1nSn n= + +, với nℕ. a) Tính 1S, 2S, 3S, 4S. b) Hãy oán công th ức tính nS và ch ứng minh ằng quy ạp. Bài 4. Cho tổng )1 1...1.2 2.3 3.5 1nSn n= ++, với nℕ. a) Tính 1S, 2S, 3S, 4S. b) Hãy oán công th ức tính nS và ch ứng minh ằng quy ạp. Bài 5. Cho( )1 1...1.5 5.9 9.13 1nSn n= + +, với nℕ. a) Tính 1S, 2S, 3S, 4S. b) Hãy oán công th ức tính nS và ch ứng minh ằng quy ạp.TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11TOÁN 11TOÁN 11TOÁN 11 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 ạng Ch ứng minh các bài toán chia ết ằng ph ươ ng pháp quy ạp A. PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢI Nắm rõ nguyên lý quy ạp trong ph ần tóm ắt lý thuy ết Nắm rõ ki ến th ức chi ết B. BÀI ẬP ẪU Ví 3. Ch ứng minh ằng: 15 1nnu n= chia ết cho 9, ới nℕ. .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ Ví dụ 4. Ch ứng minh ằng: 13 1n chia ết cho 12. .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................................................................ C. BÀI TẬP LUY ỆN Bài 6. Chứng minh ằng: ới ọi nℕ: a) 5– 5n n⋮ b) 7– 7n n⋮ c) 13 6n⋮ d) 32 3n n+⋮ e) 4nn+⋮ f) 23 8n⋮ g) 13 7n n ++⋮ h) 24.3 32 36 64nn++⋮GVGVGVGV. TRTRTRTRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHC NGHĨAĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)p)p)p) 5555 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 ạng [NC] Ch ứng minh các bài toán ất đẳ ng thức ằng ph ương pháp quy ạp A. PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢI Nắm rõ nguyên lý quy ạp trong ph ần tóm ắt lý thuy ết Lưu ý: Nguyên lý quy ạp toán ọc, áp ụng vào ất đẳ ng th ức ph thu ộc vào nhiên n: Nếu ất đẳ ng th ức đượ kiểm tra đúng ới nhiên 0n. Gi thi ết ằng ất đẳ ng th ức đúng khi 0n n= , là ch ứng minh được rằng ất đẳ ng th ức đúng khi 1n k= +. Th thì ất đẳ ng thúc đúng cho ọi nhiên 0n n. B. BÀI ẬP ẪU Ví 5. Ch ứng minh ằng ới ọi *n ℕ, ta có a) 1nn> ới 3n. b) 11 ... 22nn+ <. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... .............................................................TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11TOÁN 11TOÁN 11TOÁN 11 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 C. BÀI ẬP LUY ỆN Bài 7. Chứng minh ằng: ới ọi nℕ: a) 1nn+ ới 3n b) 22nn> với 5n c) )–11nnn + d) –1! 2nn> với 3n e) 23 5nn n> với 3n f) 22 5nn+> g) 2sin cos 1n n + h) ()–13 2nn n> với 4n i) 32 1nn> với 8n j) 1nn> ới 2n. Bài 8. Chứng minh ằng ới ọi *n ℕ, ta có a) 21 11 ... 22n n+ ới 2n. b) 1.2 22 1nn n<+⋯ Bài 9. CMR: 2nn na b+ +   , trong đó 0a b> và nℕ. Bài 10. CMR ếu ABC vuông ại A, có các ạnh là a, b, thì ới ọi nhiên 2n, ta có ất đẳ ng th ức: nb a+. Bài 11. Với giá tr nào ủa nguyên ương n, ta có: a) 22 3nn n+> b) 1nn> c) 22 5nn n> d) 7n nn> Bài 12. Cho số th ực 3, ,na a… thỏa –1 0ia< ới 1,i n= Bài 13. Chứng minh ằng: n ℕ ta có: ()()()1 21 1n na a+ +. Bài 14. CMR ới các th ực 3, ,na a… ()nℕ, ta có: ...n na a+ + .GVGVGVGV. TRTRTRTRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHC NGHĨAĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)p)p)p) 7777 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 ấn đề 2. DÃY Đị nh ngh ĩa Đị nh ngh ĩa ột hàm đượ xác định trên ập ℕ các nguyên ương đượ gọi là ột dãy vô ạn (hay còn ọi ắt là dãy ố). Kí hi ệu: ()nu hay ạng khai tri ển 2, ,nu u… Cách cho ột dãy ố: Cách Dãy xác định ởi ột công th ức cho ạng ổng quát nu. Cách 2. Dãy xác định ởi ột công th ức truy ồi (hay còn nói cho dãy ằng quy ạp), tứ là: Tr ướ tiên, cho ạng đầu (ho ặc vài ạng đầu). Cho công th ức bi ểu th ạng th qua ạng (hay vài ạng) đứng tr ước nó. Cách 3. Dãy xác định ởi ột ệnh đề mô các ạng liên ti ếp ủa nó. Dãy ăng, dãy gi ảm Đị nh ngh ĩa a. Dãy ()nu đượ gọi là dãy ăng ếu n ℕ, 1n nu u+<. b. Dãy ()nu đượ gọi là dãy gi ảm ếu n ℕ, 1n nu u+>. ậy, ta th ấy: Với dãy ()nu tăng, ta có: nu u< Với dãy ()nu gi ảm, ta có: nu u> >>… Dãy ch ặn Đị nh ngh ĩa a. Dãy ()nu đượ gọi là ch ặn trên ếu nM M ℝ, n ℕ. b. Dãy ()nu đượ gọi là ch ặn ưới nếu nmm u ℝ, n ℕ. c. Dãy ()nu đượ gọi là ch ặn ếu nó ừa ch ặn trên ứa ch ặn ưới tức là: nm M ℝ, n ℕ. ạng đầ dãy A. PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢI ới gi thi ết cho dãy ()nu ướ dạng công th ức ổng quát ho ặc bi ểu th ức truy ồi và câu ỏi th ường ặp là: a. Hãy vi ết ạng đầu ủa dãy ho ặc tìm ku. Câu ỏi này được thực hi ện ằng cách th ế. b. Xác định xem là ạng th ấy ủa dãy ố. Câu ỏi này được thực hi ện ằng vi ệc gi ải ph ương trình ẩn :nn a=. B. BÀI ẬP ẪUTÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11TOÁN 11TOÁN 11TOÁN 11 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 Ví 6. Cho dãy ()nu, ới )1 1nnun +=. a) Tìm 9u, 12u, 2nu, 1nu+. b) Tìm xem là số ạng th ấy ủa dãy .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. Ví dụ 7. Tìm ạng th và ạng th ủa ỗi dãy sau: a) Dãy ()mu xác định ởi: 10u= và 2121nnuu=+ với 2n. b) Dãy ()nu xác định ởi: 21, 2u u= và 22n nu u = với 3n. c) Dãy ()nv xác định ởi: 11u= và 12n nu u+= với nℕ .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. C. BÀI TẬP LUY ỆN Bài 15. Viết ạng đầu ủa ỗi dãy ()nu, bi ết a) 1nnnu= b) 12 1nn nu=+ c) 11nnun = +  d) 21nnun=+ e) 22 3nnun= f) 22sin cos4 3nn nu = g) )1 4nnnu= Bài 16. Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số ()nu cho bởi a) 222 11nnun=+ b) )12 1nnnun+ =+ c) 2cosnu n= d) ()1 !2n nnu+= Bài 17. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số ()nu cho bởi a) )112113n nu u+= = + b) 11 2021nnu uu+ = =+ c) 22 115, 9n nu uu u+ += = =  d) 22 11, 22n nu uu u+ +=   .GVGVGVGV. TRTRTRTRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHC NGHĨAĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)p)p)p) 9999 File word liên ệ: [email protected] MS: GT11-C3 ạng Xác định công th ức ủa dãy (((())))nu A. PHƯƠ NG PHÁP GI ẢI Cách Sử ụng bi ến đổ đạ số để thu ọn và đơn gi ản bi ểu th ức ủa un. Cách Sử ụng ph ương pháp quy ạp ằng vi ệc th ực hi ện theo các ước: ướ 1. Vi ết ột vài ạng đầu ủa dãy, oán công th ức cho nu. ướ 2. Ch ứng minh công th ức oán ằng pp quy ạp. B. BÀI ẬP ẪU Ví 8. Cho dãy ()nu, ới 11u= và 13n nu u+= với 2n. a) Vi ết ạng đầu ủa dãy. b) Tìm công th ức ổng quát ủa dãy. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. Ví dụ 9. Cho dãy ()nu xác định ởi: 12017u= và 12018n nu u+ với nℕ. Tìm nu. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. Ví dụ 10. [NC] Cho dãy ()nu xác định ởi: )11nun n=+ n ℕ và dãy số ()nv xác định ởi: 1v u=, 1n nv u+ += +. Xác định công th ức ủa nv theo n. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... ............................................................. .................................................. ................................................... .............................................................