Đáp án đề thi chọn HSG môn toán học 9

UBND NH NINHỈ ẮS GIÁO VÀ ĐÀO OỞ NG CH ƯỚ ẤTHI CH TUY NỌ ỂD THI SINH GI QU GIA THPT NĂM 2018Ự ỐMôn thi: ToánCâu Đáp án Điểm1Cho dãy ô()nx xác nh i: ơ()10020172017; .-== ³ånn kkx nn Tìm gi nớ ạ2017202. 5lim2018 3=+=- -åkkkn xLn n. 4,0*) Tính 201702==åkkkS Ta có 210 02017 1) 2017- --= == -å åk kk ii ikx 12017 1( 1) 2017 1) (*)- -- +Þ " ³k kkkx kk 1,0T (*) suy ra ư1 22017 21- -- += --k kkx xk 11 02017 122017 01-= --= -x xx ()()()()()()()020172017 2017 22017 01 ...1 12017!1 .2017 2017. 1! 2017 !é ùé ùé ù- --ê úê úê úÞ -ê úê úê ú-ê úê úë ûë ûë û= " ³-kkk kkk kx xk kC kk ()()()2017 201720172017 20170 02017 2017 2017 2017= =Þ -å åk kk kk kS 2,0*) Do đó: 222017 2017lim .20182018 3- += =- -nLn n1,02Tìm các hàm ô:f®R th mãn đi ki nỏ ệ2( ), .xf xy xf y+ " ÎR4,0Trong (1) cho 0x y= ta ượ(0) 0.f= Trong (1) cho 1y= ta có 2( 1) (0) 0, .xf xf x+ " ÎR (2)Trong (2) cho 1x= ta có (1) 1) 1) 1) 0ff ff- ho ặ(1) 1.f= 0,5- ế( 1) 0f- thì (2) ta suy ra ư( 0xf x= " ÎR đó suy ra ư( 0, .f xº " ÎR 0,5- ế(1) 1f= trong (2) cho 1x ta thu ượ( 1) 1.f- đó (2) tr thànhư ơ2( ), (3)f xf x= " ÎR Trong (1) ta cho 1y ta có 2(2 (1), (2 ), .xf xf x= " " ÎR 0,5 (1) và (3) ta ượ( ), (4)f xy y+ " ÎR Trong (4) ấ1x ta có (1 ), .f y+ " ÎR Trong (4) ấ1x= ta có ), .f y- " ÎR Do đó (1 )f y- " ÎR hay là hàm .ô ẻTrong (4) thay y- và ng tính hàm ta cóử ô( ), (5)f xy y- " ÎR ng theo (4), (5) ta có ế( (2 ), .f xy xy y+ " ÎR Hay R( (6).f b+ " Th y: (6) hi nhiên đúng ớ0.a b+ ,a mà 0a b+ ta có xy ax xy bìï+ =ïíï- =ïî có nghi là ệ2a bxa bya bìï+ï=ïïïí-ïï=ïï+ïî đó ư( )f b+ +. Do đó (6) đúng. Ta có 2(( 1) 1) 1) 1)( 1)f x+ Và 2(( 1) 1) (2 (1) 1.f xf x+ hai đi trên ta có ề( 1) 1xf x+ " ÎR hay( .f x= " ÎR 2,0Th ta có ạ( 0= " ÎRf ho ặ( )f x= " ÎR là các hàm tìm.ấ ầ0,53Cho tam giác ABC ti ng tròn ườ O, có tr tâm ựH ,M là trung đi mể 5,0c ủ, .BC CA AB ng tròn ng kính ườ ườAH và ng tròn ườ nhau ạ.T A¹AT ắBC Q. NP ti tuy ạA ng tròn ườ ạ.R a/ Ch ng minh ng QR vuông góc .OH b/ ng th ng ng ườ ớHM qua phân giác trong góc ·BHC đo th ng ẳBC iạ.I ọK là hình chi ủA trên .HI Ch ng minh ng ng tròn ngo ti tam giácứ ườ ếMIKti xúc ng tròn ườ ). Oa/ ọ1 1, ,A là chân ng ườvuông góc A, B, tam giácủABC .Khi đó AT, BC, 1B ng quy do tính ch tâm ng ph ng ươ ủba ng tròn ườ( ),( ),( ).O BC (kí hi ệ( ),( )A BC là ng tròn ườđ ng kính ườ AH, BC 1,0Ta có 2.RA RP RN= và 1. .QT QA QB QC= do đó ,R có cùng ph ng tích ươ ớđ ng tròn (ườ và ng tròn Euler ng tròn đi qua ườ ườ P, 1, )B 1,0Ta đã bi tâm ng tròn Euler là trung đi ườ OH nên .RQ OH^1,0b/ Ta ch ng minh bài toán trong tr ng nh hình các tr ng khác ch ng minhứ ườ ườ ứt ng .ươ ựG AH (ắ khác AE là ng kính (ườ ).Tr tiên ta có ướ và ng nhau qua BC và giác HBEC là hình bình hành ng th iồ ờcác đi T, H, M, th ng hàng.ẳTa có ····1HI HA M= do đó T, I, M, cùng thu ng tròn.ộ ườTa ch ng minh T, I, th ng hàng. Th TD BC J. Khi đó do tính ng thìô ứ······BHJ BDJ BDT BET BEH EHC= do đó trùng .G Tx là ti tuy (ủ ). Khi đó ···xT ED MI= do đó Tx cũng là ti tuy nế ếc ng tròn ngo ti tam giác ườ TMI hay Tx là ti tuy ng tròn ngo ti tamế ườ ếgiác MIK .Hay Tx là ti tuy chung hai ng tròn (ế ườ và ng tròn ngo tam giác ườ MIK ,ta có đi ph ch ng minh.ề 2,0 4Tìm các giá tr nhiên bi th ứ(3 )!!( 1)!( 2)!nAn n=+ có giá tr nguyên.ị 3,0Rõ ràng 0,1,2, 3n= không th mãn.ỏXét 4n ³, là nguyên kì, ta có ấ3((3 )!)pknv npé ùê ú=ê úë ûå 2( !( 1)!( 2)!) )pk kkn nv np pé ù+ +ê ú+ +ê úë ûå 0,5+) ng, ỗ3m³ ta có ề3 2n nm mé ù+ +ê ú³ +ê úë (1) Th y:ậ ậĐ ặn mk r= ,k là th ng và trong phép chia ươ cho Khi đó ế3r m£ thì VP(1)3 k= và VT(1)=3 33 3r rk km mé ùê ú+ +ê úë ế2r m= thì VP(1)3 1k= và VT(1)=3 63 1m mk km mé ù- -ê ú+ +ê úë û* ế1r m= thì VP(1) =3 2k+ và VT(1)=3 33 2m mk km mé ù- -ê ú+ +ê úë Do 3m³ nên tr ng trên cho ta VT(1)ỗ ườ ề³ VP(1).Nh nguyên p>2 và 1k ta cóề3 2k kn np pé ù+ +ê ú³ +ê úë ûV 2p và 2k ta cũng có 22 2k kn né ù+ +ê ú³ +ê úë 1,5+) Xét riêng ớ2p= th ấ3 212 2n né ù+ +ê ú+ +ê úë ûL ọ0k là nhiên nh mà ấ022kné ù+ê úê úë khác 0. Nói cách khác, ta có0 012 2k kn+£ .Khi đó 013 2( 2) 2kn n+= do 4n ³.V nên ta có ậ0312kk kn>é ùê ú³ê úë ûå còn 01 22 2k kk kn n>æ öé ù+ +÷çê ú÷ç +÷çê ú÷÷çè øë ûå =0.Tóm ta có ạ((3 !) !( 1)!( 2)!)p pv n³ nguyên và ọ4n³ .V nhiên tìm là ầ4n³ 1,05a/ Cho là 2017 nguyên phân bi và ệM là 2018 nhiên phânậ ựbi sao cho trong ôM không là chính ph ng và ch có nguyên thu cề ươ ướ ộS Ch ng minh ng có th ch ra trong ọM có tích là chính ph ng.ộ ươ 4,0b/ Có 32 sinh tham gia 33 câu sinh có th tham gia nhi câu vàọ ộm câu có đúng sinh tham gia. Bi ng không có câu nào có cỗ ọsinh gi ng nhau. Ch ng minh ng có câu chung nhau đúng sinh.ô ọa/ con phân bi khác ng ủM là 20182 1.- các con đó là ậ20181 22 1, ...,M M- và ia là tích ph .iM Gi các ph ủS là 2017... .p p< Ta vi các tích ếia ng ướ ạ20171 221 2017...ii ikk ki ia p= trong đó {}0;1 .jikÎ Ta có 20182 ộ1 2017( ..., ),i ik và do {}0;1jikÎ nên có đa 20172 phân bi t.ộ 0.5Do đó trùng nhau, gi đó ng hai tích ,m na a.Khi đó tích .m na là chính ph ng. Bây gi ta ch các ph thu giao ươ ủmMvà nM ta còn các ph khác nhau mà tích là chính ph ng. ươDo đó bài toán ch ng minh.ượ 1,0b/ Gi không có câu nào chung nhau đúng sinhả ọN sinh tham gia đúng câu thì có 32 câu mâu thu n.ế ẫSuy ra có sinh tham gia nhi câu gi là tham gia câu th 1, 2,ọ ứ3 và 0,5Xét câu tiên có A, và C.ạ ầCâu th có đúng trong ho C, gi là A, và D.ạ ửN câu th không có thì ph có và D, nghĩa là có A, và D.ế ảKhi đó không cách ch câu th 4.ồ ứSuy ra câu th có B, khi đó có A, và E.ạ ứL lu ng ta suy ra câu có thì có và ng có thì có A.ậ ươ ượ 1,0Gi tham gia câu thì cũng tham gia câu .ạ ộM sinh còn ch tham gia nhi nh trong câu này và sinh đóạ ọcùng câu A, thì không tham gia câu nào (n tham gia câu bạ ộkhác thì câu đó chung A, B, đúng sinh C, trái gi ).ạ ửLúc này còn 30 sinh tham gia 33 câu .ạ ộL lu (do 30 nh 33 ), sinh tham gia nhi câuồ ơl Quá trình di ra vô n, đi này là vô lí do ta có sinh và câuạ ạl .ạ ộBài toán có th ng quát: Có sinh tham gia câu sinh có thể ểtham gia nhi câu và câu có đúng sinh tham gia. Bi ng khôngề ằcó câu nào có sinh gi ng nhau. Ch ng minh ng có câu chung nhauạ ộđúng sinh.ọ 1,01. ng ch này ch trình bày cách gi i. Bài làm sinh ph chi ti t, pướ ượ ậlu ch ch tính toán chính xác tính đi đa.ậ ượ ô2. các cách gi đúng nh ng khác đáp án, ch trao và th ng nh đi chi ti nh ngớ ưkhông quá đi dành cho bài ho ph đó. phát sinh trong quá trình ch ph iượ ượ ảđ trao trong ch và ch cho đi theo th ng nh .ượ ổ3. Đi toàn bài là ng đi các ph đã ch m, không làm tròn đi m.ể