Công thức giải nhanh trắc nghiệm Toán THPT Quốc gia

CHUY–N TON 10-11-12-LTHPh¤m Thanh Tó (Xem chi ti¸t m°t trong) TÂM TT LÞ THUY˜T „I SÈ GIƒI TCH1 Cæng thùc l÷ñng gi¡c1.1 H» thùc cì b£n sin 2x cos 2x 1 tan 2x cos2x 1 cot 2x sin2x tan x= sinx cosx cot x= cosx sinx tan x:cot x= 11.2 Cæng thùc cëng sin( a b) sin acos b sin bcos tan( a b) tana tan 1 tan atan b cos( a b) cos acos b sin asin b1.3 Cæng thùc nh¥n æi sin x= sin xcos tan x= tanx 1 tan 2x cos x= cos 2x sin 2x cos 2x 2 sin 2x1.4 Cæng thùc nh¥n ba cos x= cos 3x cos sin x= sin x sin 3x1.5 Cæng thùc h¤ bªc cos 2x cos 2x 2sin 2x 1 cos 211.6 Cæng thùc t½nh theot= tan 2 sin x= 2t +t2 cos x= 1 t2 +t2 tan x= 2t 1 t21.7 Cæng thùc têng th nh t½ch sin a+ sin b= sin a+ 2cosa 2sin a sin b= cos a+ 2sina 2 cos a+ cos b= cos a+ 2cosa 2cos a cos b= 2 sin a+ 2sina 21.8 Cæng thùc t½ch th nh têng cos acos b= 2[cos(a b) cos( a+ b)] sin asin b= 2[cos(a b) cos( a+ b)] sin acos b= 2[sin(a b) sin( a+ b)]1.9 Mët sè cæng thùc kh¡c sin x+ cos x= cosx 4sin x cos x= sinx 4 (sin x cos x)2= sin sin 4x cos 4x sin22x 2 sin 6x cos 6x 3 sin22x 42 C¡c lþ thuy¸t v· ¤o m2.1 ành ngh¾a c¡c t½nh ch§t 1. ành ngh¾a. Cho sèy= f(x x¡c ành tr¶n kho£ng (a; ); x02(a; ); x0+
(a; ), n¸u tçn t¤i giîi h¤n (húu h¤n)lim
x! 0f(x0
x) f(x0)
x÷ñc gåi ¤o cõa f(x t¤i x0, k½ hi»u f0( x0)hay y0( x0), khi âf 0( x0) lim
x! 0f(x0
x) f(x0)
x limx! x0 f(x f(x0) x x02. C¡c qui t­c t½nh ¤o m.(a) [f (x g(x )] 0= f0( g0( ).2(b)[f (x ):g (x )] 0= f0( )g (x f(x )g 0( ).(c) [kf (x ]0= kf 0( vîi k2 R.(d) f(x g(x )0= f0( )g (x f(x )g 0( [g (x )] vîig(x 6= .(e) y0x =y0u :u 0x vîiy= y(u ); =u(x ).2.2 B£ng c¡c ¤o cì b£n ¤o cõa sì c§p ¤o cõa hñpu= u(x (c )0= vîic2 (x )0= :x (u )0= :u 1u 1 x0= x2 1 u0= u0 u2 (p x)0= 2p (p u)0= u0 2p u(e x)0= ex (e u)0= eu:u (a x)0= axln (a u)0= au:ln a:u (sin x)0= cos (sin u)0= u0: cos (cos x)0= sin (cos u)0= u0: sin (tan x)0= cos2x (tan u)0= u0 cos2u (cot x)0= sin2x (cot u)0= u0: sin2u 2.3 Vi ph¥nCho sè y= f(x x¡c ành tr¶n (a; )v câ ¤o t¤i x2 (a; ). Gi£ sû
x sè gia cõa xsao cho x+ x2 (a; ). T½ch f0( )
x÷ñc gåi vi ph¥n cõa sè3f(x t¤i x, ùng vîi sè gia
x, kþ hi»u df(x hay dy. Nh÷ vªy dy=df(x f0( )dx .3 Lþ thuy¸t kh£o s¡t sè3.1 T½nh çng bi¸n nghàch bi¸n cõa sèGi£ sû f(x câ ¤o tr¶n kho£ng (a ;b), khi â:1. f0( 0; 8x (a; )th¼ f(x çng bi¸n tr¶n kho£ng (a; ).2. f0( 0; 8x (a; )th¼ f(x nghàch bi¸n tr¶n kho£ng (a; ).3. f(x çng bi¸n tr¶n kho£ng (a; )th¼ f0( 0; 8x (a; ).4. f(x nghàch bi¸n tr¶n kho£ng (a; )th¼ f0( 0; 8x (a; ).3.2 Cüc trà cõa sèGi£ sû f(x câ ¤o tr¶n kho£ng (a ;b) x0 2(a ;b)1.N¸u (f0( 0;8 (x0 h;x0)f 0( 0;8 (x0;x0 +h) th¼x0 iºm cüc ¤i cõaf(x ).2.N¸u (f0( 0;8 (x0 h;x0)f 0( 0;8 (x0;x0 +h) th¼x0 iºm cüc tiºu cõaf(x ).3.N¸u (f0( x0) 0f 00(x0)> th¼x0 iºm cüc ¤i cõaf(x ).4.N¸u (f0( x0) 0f 00(x0)< th¼x0 iºm cüc tiºu cõaf(x ).3.3 Gi¡ trà lîn nh§t nhä nh§t cõa sè 1.X²t tr¶n mët o¤n:(a)T¼m xi 2[a; ]; ;2 c¡c iºm t¤i â câ ¤o b¬ng ho°ckhæng x¡c ành.(b)T½nh f(a ); (b ); (xi); vîi i= ;2 .(c)So s¡nh º suy ra gi¡ trà lîn nh§t gi¡ trà nhä nh§t.2.X²t tr¶n mët kho£ng Dòng b£ng bi¸n thi¶n º kh£o s¡t sè.43.4 ÷íng ti»m cªnK½ hi»u (C ç thà cõa sè y= f(x ).1. ÷íng ti»m cªn ùng.N¸u mët trong c¡c i·u ki»n sau x£y ra 266666664 limx x+0 f(x 1limx x+0 f(x 1limx x0 f(x 1limx x0 f(x 1th¼ ÷íng th¯ng x= x0 ti»m cªn ùng cõa(C ).2. ÷íng ti»m cªn ngang.N¸u limx +1 f(x y0 ho°climx !1 f(x y0 th¼ ÷íng th¯ngy= y0 ti»mcªn ngang cõa (C ).3.5 C¡c b÷îc kh£o s¡t sè y= f(x )1.T¼m tªp x¡c ành cõa sè.2.Sü bi¸n thi¶n(a)Chi·u bi¸n thi¶n i.T½nh y0.ii.T¼m c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh y0= c¡c iºm t¤i â y0khængx¡c ành.iii.X²t d§u y0v suy ra chi·u bi¸n thi¶n cõa sè.(b)T¼m c¡c iºm cüc trà (n¸u câ). (c)T¼m c¡c giîi h¤n væ cüc, c¡c giîi h¤n t¤i +1 ;1 t¤i c¡c iºm sè khæng x¡c ành. Suy ra c¡c ÷íng ti»m cªn ùng ngang (n¸ucâ).(d)Lªp b£ng bi¸n thi¶n3.V³ ç thà: T½nh th¶m tåa ë mët sè iºm °c bi»t, lªp b£ng gi¡ trà düa b£ng bi¸n thi¶n º v³ ç thà.53.6 T÷ìng giao cõa hai ç thà1. Bi»n luªn sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ç thà.Gi£ sû (C1)l ç thà cõa sè y= f(x (C2)l ç thà cõa sè y= g(x ).Khi â sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh f(x g(x t÷ìng ùng vîi sè giao iºmcõa (C1)v (C2).2. Ti¸p tuy¸n vîi ç thà cõa sè.(a) D¤ng 1.Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa ç thà sè y= f(x ):i.T¤i mët iºm (x0;y0)tr¶n ç thà.ii.T¤i iºm câ ho nh ë x0 tr¶n ç thà.iii.T¤i iºm câ tung ë y0 tr¶n ç thà.iv.T¤i giao iºm cõa ç thà vîi tröc tung. v.T¤i giao iºm cõa ç thà vîi tröc ho nh.Ph÷ìng ph¡p gi£i: T¼m õ c¡c gi¡ trà x0;y0 =f(x0)v f0( x0). Khi â,ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa ç thà sè y= f(x t¤i (x0;y0)l y0 =f0( x0)(x x0) (b)D¤ng 2.Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa ç thà sè y= f(x bi¸t ti¸p tuy¸nsong song ho°c vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng y= ax +b. Ph÷ìng ph¡p gi£inh÷ saui.T½nh y0= f0( ).ii.N¸u ti¸p tuy¸n song song vîi ÷íng th¯ng y= ax +bth¼ h» sè gâccõa ti¸p tuy¸n b¬ng a, tùc gi£i ph÷ìng tr¼nh f0( aº t¼m x0.N¸u ti¸p tuy¸n vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng y= ax +bth¼ h» sè gâccõa ti¸p tuy¸n b¬ng 1 a, tùc gi£i ph÷ìng tr¼nhf0( 1 aº t¼mx 0.iii.T½nh y0 =f(x0).iv.Thay ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n y y0 =f0( x0)(x x0).(c) D¤ng 3.Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n i qua mët iºm cho tr÷îc ¸n ç thà msè y= f(x ). Ph÷ìng ph¡p sû döng i·u ki»n ti¸p xóc: ç thà sèy f(x ÷íng th¯ng y= g(x ti¸p xóc t¤i iºm câ ho nh ë x0 khix nghi»m cõa h»(f(x g(x )f 0( g0( )64 C¡c lþ thuy¸t v· nguy¶n m4.1 Nguy¶n c¡c t½nh ch§t 1.Cho sè f(x x¡c ành tr¶n kho£ng KR. sè F(x gåi nguy¶nh cõa f(x tr¶n kho£ng Kn¸uF 0( f(x ); K:2.Måi sè li¶n töc tr¶n kho£ng KR·u câ nguy¶n tr¶n o¤n â.3.N¸u F(x mët nguy¶n cõa sè f(x tr¶n kho£ng KRth¼ vîi méih¬ng sè C, sè G(x F(x Ccông mët nguy¶n cõa f(x tr¶nK Ng÷ñc l¤i, n¸u F(x mët nguy¶n cõa sè f(x tr¶n Kth¼ måinguy¶n cõa f(x tr¶n K·u câ d¤ng F(x Cvîi Cl mët h¬ng sè. K½hi»u hå t§t c£ c¡c nguy¶n cõa sè f(x Rf(x )d åc t½ch ph¥nb§t ành cõa f(x ). Khi â Rf(x )d F(x Cvîi C2R.4. C¡c t½nh ch§t cì b£n(a) Rf0( )d f(x Cvîi Cl h¬ng sè thüc.(b) Rkf (x )d kRf(x )d vîi kl h¬ng sè thüc.(c) R[f (x g(x )] dx Rf(x )d Rg(x )d .4.2 Ph÷ìng ph¡p t½nh nguy¶n 1. Ph÷ìng ph¡p êi bi¸n sè. N¸uRf(u )d F(u Cv u= u(x msè câ ¤o li¶n töc th¼ Rf(u (x )) u0( )d F(u (x )) C.2. Ph÷ìng ph¡p t½ch ph¥n tøng ph¦n. N¸u hai sèu= u(x v= v(x )câ ¤o li¶n töc tr¶n Kth¼ Ru(x )v 0( )d u(x )v (x Ru0( )v (x )d .4.3 B£ng c¡c nguy¶n cì b£n Nguy¶n cõa sì c§p Nguy¶n cõa hñpu= u(x R0d R0d Rdx x+ Rdu u+ 7Rx dx +1 +C Ru du +1 +C R1 xdx ln jx j+ R1 udu ln ju j+ Rexd ex+ Reud eu+ Raxd ax lna+C Raud au lna+C Rcos xdx sin x+ Rcos udx sin u+ Rsin xdx cos x+ Rsin udu cos u+ R1 cos2x dx tan x+ R1 cos2u du tan u+ R1 sin2x dx cot x+ R1 sin2u du cot u+ C¡c lþ thuy¸t v· t½ch ph¥n5.1 T½ch ph¥n c¡c t½nh ch§t 1. ành ngh¾a. Cho sèf(x li¶n töc tr¶n o¤n [a; ]. Gi£ sû F(x mëtnguy¶n cõa f(x tr¶n o¤n [a; ]. Hi»u sè F(b F(a ÷ñc gåi t½chph¥n tø a¸n b(hay t½ch ph¥n x¡c ành tr¶n [a; ]) cõa sè f(x ). Kþ hi»ul Zba f(x )d Khi âZba f(x )d F(x ba =F(b F(a Tr÷íng hñpa= bta ành ngh¾a Zaa f(x )d Tr÷íng hñp bta ànhngh¾a Zba f(x )d Zab f(x )d .82.C¡c t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n.(a) Zba kf(x )d kZba f(x )d vîi kl h¬ng sè.(b) Zba [f (x g(x )] dx Zba f(x )d Zba g(x )d .(c) Zba f(x )d Zca f(x )d Zbc f(x )d vîi .(d)T½ch ph¥n khæng phö thuëc chú dòng bi¸n sè trong d§u t½ch ph¥n, tùc Zba f(x )d Zba f(t)
5.2 Ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n 1. Ph÷ìng ph¡p êi bi¸n sè(a)Gi£ sû sè x= \'(t) câ ¤o li¶n töc tr¶n o¤n ]sao cho\' a; \' bv a6 \'(t) b;8t ]. Khi âZ ba f(x )d Zba f(\' (t)) \'0( t) t.(b)Gi£ sû sè u= u(x câ ¤o li¶n töc tr¶n o¤n [a; ]sao cho u(x ;8x [a; ]. N¸u f(x g(u (x )) u0( ); [a; ], trong âg (u li¶n töc tr¶n o¤n ]th¼Z ba f(x )d Zu(b )u (a g(u )d u.2. Ph÷ìng ph¡p t½ch ph¥n tøng ph¦n N¸uu= u(x v= v(x hai msè câ ¤o li¶n töc tr¶n o¤n [a; ]th¼Z ba u(x )v 0( )d u(x )v (x )] ba Zba u0( )v (x )d xho°c Zba udv uv] ba Zba vd .95.3 Ùng döng cõa t½ch ph¥n1. T½nh di»n t½ch cõa h¼nh ph¯ng(a)Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà cõa sè y= f(x ), hai ÷íngth¯ng x= a; =bv tröc Oxl Zba jf (x )jd xyabO Zba jf (x )jdx y= f(x (b)Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà cõa hai sèy= f(x ); =g(x )v hai ÷íng th¯ng x= a; =bl Zba jf (x g(x )jd xyabO y= f(x y= g(x 2.T½nh thº t½ch cõa vªt thº trán xoay(a)Gi£ sû h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng y= f(x ); tröc Ox); =a; =bkhi quay quanh tröc Oxt¤o th nh mët vªt thº trán xoay. Thºt½ch cõa vªt thº â V=Zba [f (x )] 2d .(b)X²t ÷íng cong câ ph÷ìng tr¼nh x= g(y li¶n töc vîi måi y2 [a ;b]. N¸uh¼nh giîi h¤n bði c¡c ÷íng x= g(y ); tröcOy); =a; =bquayquanh tröc Oyth¼ thº t½ch cõa vªt thº trán xoay t¤o th nh x¡c ành bðiV =Zba [g (y )] 2d y.10