Chuyên đề Đơn điệu 2 - Nguyễn Bảo Vương

NGUYỄN BẢO VƯƠNG TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP PHIẾU HỌC TẬP VÀ GIẢNG DẠY BÀI 1. ĐƠN ĐIỆU PHIẾU 4. VẬN DỤNG CAO GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ. 0946798489 BÀI 1. ĐƠN ĐIỆU PHIẾU SỐ 4. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng xác định. Phương pháp . Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x)  ax3  bx2  cx  d đơn điệu trên khoảng ( ;  ) . Hàm số đã cho xác định D  Ta có: y  f (x)  3ax2  2bx  c . 1. Hàm số f đồng biến trên ( ;  )  y  0, x  ( ;  ) và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ;  ) . Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f (x)  0  h(m)  g(x) (*) thì f đồng biến trên ( ;  )  h(m)  maxg(x) ( ;  )  Nếu bất phương trình f (x)  0  h(m)  g(x) (**) thì f đồng biến trên ( ;  )  h(m)  min g(x) ( ;  ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f (x)  0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t  x   . Khi đó ta có: y  g(t)  3at 2  2(3a  b)t  3a2  2b  c . a  0  a  0   0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng (;a)  g(t)  0, t  0   hoặc    0 S  0 P  0  a  0  a  0   0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; )  g(t)  0, t  0   hoặc    0 S  0 P  0  2.Hàm số f nghịch biến trên ( ;  )  y  0, x  ( ;  ) và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ;  ) . Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f (x)  0  h(m)  g(x) (*) thì f nghịch biến trên ( ;  )  h(m)  maxg(x) ( ;  )  Nếu bất phương trình f (x)  0  h(m)  g(x) (**) thì f nghịch biến trên ( ;  )  h(m)  min g(x) ( ;  ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f (x)  0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t  x   . Khi đó ta có: y  g(t)  3at 2  2(3a  b)t  3a2  2b  c . 1 a  0  a  0   0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (;a)  g(t)  0, t  0   hoặc    0 S  0 P  0  a  0  a  0   0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; )  g(t)  0, t  0   hoặc    0 S  0 P  0  Chú ý: 1. Phương trình f  x   ax2  bx  c  0 (a  0) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  0  x2  P  0 . x1  0  x2  P  0 .   0  0  x1  x2  P  0 S  0  0  x1  x2    0   P  0   x1  x2  0 Trong đó : S  x1  x2     0  x1  x2  0  P  0 S  0  b c , P  x1 .x2  . a a 2. Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D ,thế thì: x  D,f(x)  0  min f(x)  0 . xD 3. Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì x  D,f(x)  0  maxf(x)  0 . xD 4. Cho hàm số y  f(x) liên tục trên D * f(x)  k x  D  min f(x)  k ( nếu tồn tại min f(x) ) D D * f(x)  k x  D  maxf(x)  k ( nếu tồn tại max f(x) ). D D Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K   ;   ,  ;   ,  ;  , ;   . Phương pháp . Chú ý 1: * Hàm số y  f  x,m  tăng trên * Hàm số y  f  x,m  giảm trên  y'  0 x   y'  0 x   min y'  0 . x  max y'  0 . x Chú ý 2: Đặt f  x   ax  bx  c  a  0  . 2  f  x   0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn : x1    x2 . Đặt t  x   , khi đó g  t   f  t    . Bài toán trở thành g  t   0 có hai nghiệm trái dấu tức t1  0  t 2  P  0 .  f  x   0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn : x1  x2   . Đặt t  x   , khi đó g  t   f  t    . Bài toán trở thành g  t   0 có hai nghiệm cùng âm nghĩa là t1  t 2  0    0, S  0, P  0 . 2  f  x   0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn   x1  x2 . Đặt t  x   , khi đó g  t   f  t    . Bài toán trở thành g  t   0 có hai nghiệm cùng dương nghĩa là 0  t1  t 2    0, S  0, P  0 .  Để ý f  x   0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn: x1    x2   x1    x2     0  x1 .x2    x1  x2   2  0   0    x1  x2  x1  x2  2  x  x  0  2   1   0  x1  x2    x1  x2  2  x  x  0  2   1   x1  x2      0, 2  x1  x2  2,  x1    x2     0,  x1   x2    0 . Ví dụ Ví dụ . (m  1)x2  2mx  6m . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: x 1 1. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; 2. Đồng biến trên khoảng  4;   Cho hàm số y  Lời giải. TXĐ: D  \1 1. Xét hai trường hợp. TH1: Khi m  1 , ta có hàm số y  2x  6 4 và y'  > 0 với mọi x  D x 1 (x  1)2 Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định . Vậy, m  1 thỏa yêu cầu bài toán. TH2: Khi m  1 , ta có y'  (m  1)x2  2(m  1)x  4m (x  1)2 Đặt g(x)  (m  1)x2  2(m  1)x  4m và ta có y' cùng dấu với g(x) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định  x  D, y'  0  x  D,g(x)  0 .  '  (m  1)2  4m(m  1)  0 (m  1)(5m  1)  0 1     1  m   . 5 m  1  0 m  1   1   Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là  1;   . 5 2. Theo câu trên m  1 thỏa mãn đề bài. Với m  1 Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng  4;    x  (4; ) ,g(x)  0  x  (4; ) , 2x  x2 2 x  2x  4 Xét hàm h  x    m (do x2  2x  4  0 x  (4; )) 2x  x2 x2  2x  4 , khi đó (1)  x  (4; ) ,h(x)  m ta lập bảng biến thiên của h  x  trên (4; ) . h'(x)  8x  8 2 (x  2x  4)2  0 x  (4; ). 3 2  2 x2   1  1 x    lim x lim h(x)  lim  1. 2 4 x x 2  2 4  x 1  x 1    x x2 x x2   Dựa vào bảng biến thiên của h  x  suy ra x  (4; ) , h(x)  m  1  m . Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là [1; ) . Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH ;  , ;  .   Phương pháp . Ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y  x3  3x2  (m  1)x  4m nghịch biến trong   1;1 Lời giải. Hàm số đã cho xác định D  Ta có: y'  3x2  6x  m  1 Cách 1: Hàm số nghịch biến trong khoảng   1;1  y'  0 và x1  1  1  x2  m  4  x1  1 x2  1  0    m  8 m   8 x  1 x  1  0      1 2  Vậy, với m  8 thì hàm số luôn nghịch biến trong khoảng   1;1 Cách 2: Hàm số nghịch biến trong khoảng   1;1  y'  0 , x    1;1 tức là phải có: m  3x2  6x  1 , x    1;1 Xét hàm số g  x   3x2  6x  1 , x    1;1 và có g'  x   6  x  1 Với x    1;1  x  1  0  g'(x)  0 , x    1;1 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m  g(x) với x    1;1  m  8 Vậy, với m  8 thì hàm số luôn nghịch biến trong khoảng   1;1 Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước. Phương pháp . + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng đồng biến ( hoặc nghịch biến )  y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 đồng thời x2  x1  k Chú ý: ax2  bx  c  0 có 2 nghiệm x1 ,x2 (giả sử x1  x2 ) thỏa x1   x2  x1  b   b   , x2  2a 2a 2  , trong đó   b2  4ac x2  x1  k   x1  x2   4x1.x2  k2 ( a  0 ) 2a Các ví dụ 4 Ví dụ 1 : Định m để hàm số y  x3  3x2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D  Ta có: y'  3x2  6x  m Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1  y'  0 và x1  x2  1  m  3 3 9  3m  0  2   m3 4  4m  1 4 S  4P  1   3  m  3 thì hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 4 Vậy, với Ví dụ 2. Tìm m để hàm số: y  x3  mx2   m  36  x  5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: y'  3x2  2mx  m  36 và  '  m2  3m  108 Dễ thấy a y'  3  0 , do đó hàm số đã cho không nghịch biến trên . Nếu m  9 hoặc m  12 tức  '  0 thì y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 . Lập bảng xét dấu, ta thấy y'  0 với x   x1 ; x2  suy ra hàm số nghịch biến với x  x1 ; x2  . Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 khi x1  x2  4 2 tức 2 m 2  3m  108  4 2 , bình phương hai vế và rút gọn ta được phương trình: 3 m2  3m  180  0  m  12 hoặc m  15 ( thỏa điều kiện ) . Vậy, với m  12 hoặc m  15 yêu cầu bài toán được thỏa mãn. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Tìm tham số m để hàm số f x A. m C. m 12 7 12 7 B. m D. m B. m D. m 2 2 2 2 m m 1 1 3)x tăng trên khoảng 0;3 mx 4 tăng trên khoảng 2; x m 0 0 mx 4 giảm trên khoảng x m 1 B. 2 m 1 D. 2 m Câu 3. Tìm tham số m để hàm số f x A. C. (m 1)x2 +(m 12 7 12 7 Câu 2. Tìm tham số m để hàm số f x A. m C. m x3 3 ;1 5 x3 3 Câu 4. Tìm tham số m để hàm số y (m 2)x 2 m(m 3)x 1 nghịch biến trên 3 khoảng 1; m 4 A. m 5 m B. 5 4 C. 4 D. 5 5 2 m 5 m 5 m 2 m 4 5 m 5 2 2 3 Câu 5. Tìm tham số m để hàm số y x 3x2 mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 9 9 9 9 A. m B. m C. m D. m 4 4 4 4 3 2 x 2mx m 15 x 2 đồng biến trên 1;3 ? Câu 6: Với giá trị nào của m thì hàm số y A. m 3 C. 3 m 18 5 D. m Câu 7: Tìm m để hàm số y x3 A. m 1 Câu 9: Hàm số y A. m 2 Câu 11: Cho hàm số y 2x3 trên đoạn có đồ dài bằng 4 A. m 5 hoặc m 3 C. m 5 hoặc m 3 Câu 12. Hàm số y x3 3x2 9 4 Câu 13. Hàm số y 3mx 1 nghịchbiến trên khoảng 0; C. m  1 D. m  2 mx 1 nghịch biến trên từng khoảng xác định khi giá trị của m bằng x m B. m 1 C. m R D. 1 m 1 x 2 đồng biến trên khoảng (2; ) khi x m 2 B. m 2 C. m 2 D. m Câu 10: Tìm m để hàm số y x3 A. 1  m  1 B. m A. m 3x2 B. m  1 0 Câu 8: Hàm số y A. m 18 5 18 5 B. m B. m 1 (m 1)x3 3 3m2 x nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2 C. 2  m   D. m 1 3 3m 1 x2 mx 9 4 6 2m2 m x 3 . Tìm m để hàm số nghịch biến B. m 5 hoặc m 3 D. m 5 hoặc m 3 m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 khi: C. m mx2 2 9 2 D. m 9 2 (3m 2)x luôn đồng biến trên tập xác định khi: 6 1 2 A. m B. m Câu 14. Hàm số y A. 8 m 1 Câu 15. Hàm số y A. m 0 C. m 2 2 mx 7m 8 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi: x m B. 8 m 1 C. 4 m 1 D. 4 m x 3 6x B. m mx 1 đồng biến trên khoảng 0; 2 0 C. m Câu 16. Với giá trị nào của m thì hàm số y x2 2; A. m 2 B. m 2 D. m 1 Câu 17. Cho hàm số y C. m 2 x3 m 1 x2 2m2 3m khi: D. m 0 2mx 1 m2 0 3 đồng biến trên khoảng D. m 0 2 x 1 . Kết luận nào sau đây đúng A. Hàm số luôn đồng biến trên B. Hàm số luôn đồng biến trên C. Hàm số không đơn điệu trên D. Hàm số có hai cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 1 với mọi m Câu 18. Với giá trị nào của m thì hàm số y biến là 2 5 A. m 2; 4 B. m 1 3 x 3 m 1 x2 2;4 4x 2 có độ dài khoảng đồng C. m 1;3 D. m 3;1 𝑚𝑥+1 Câu 19: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥+𝑚 đồng biến trên khoảng (1; + ) khi: A.-1<m<1 B. m>1 C. 𝑚 ∈ 𝑅\[−1; 1] D. 𝑚 ≥ 1 3 Câu 20.Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y x 3x2 3mx 1 đồng biến trên R. Chọn kết quả đúng: A. m B. m 1 1 C. m 1 D. m Câu 21. Tìm tất cả các gía trị của tham số m để hàm số ` y x3 3 1 m 1 x2 4x 5 đồng biến trên R. Chọn kết quả đúng: A. 3 m 1 B. m 3 hoặc m 1 C. 2 Câu 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y khoảng (1; A. m 2 m 2 D. 2 m 2 1 3 m 2 x x x 1 đồng biến trên 3 2 ) . Chọn kết quả đúng: B. 2 m 2 C. 2 m 2 D. m 2 7 Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch biến trên tập xác định của nó 4; 1 A. m B. m C. m 4; 1 D. m m 1 3 x 3 (m 1)x 2 x3 mx 3x 1 4; 1 4 hoặc m 1 Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 3x2 4 nghịch biến trên khoảng 0; A. m ;0 B. m 0; C. m 0; D. m ; 1 x2 2x m với m là tham số . Hàm số luôn đồng biến trên các x 1 khoảng xác định của nó khi và chỉ khi: 6 3 A. m B. m 3 C. m D. m 1 Câu 26 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 3x2 3mx 1 Câu 25: Cho hàm số y nghịch biến trên khoảng 0; 1 B. m A. m . C. m 1 1 D. m 0. Câu 27Giá trị của tham số m để hàm số y x3 3mx2 3(2m 3)x 2 đồng biến trên khoảng (2;+ ) là 1 1 1 A. m . B. m C. m > D. m 2 2 2 2 x 4x Câu 28 : Tìm m để hàm số y đồng biến trên nửa khoảng 1; 2x m 1 1 A. m B. m ; ; 3 3 1 1 C. m D. m ; ; \ 0 3 3 Câu 29. Hàm số y x3 6x2 mx 1 đồng biến trên khoảng 0 ; . Giá trị của m là: A. m Câu 30. Hàm số y đây: A. ( 1; ) B. m 12 1 3 x 3 x2 0 C. 0 m 12 mx đồng biến trên khoảng (1; B. ( 1;3) C. ( ;3] D. m 0 ) thì m thuộc khoảng nào sau D. [3; )” 2 Câu 31. Tìm m để hàm số y A. m C. m 1 ; 3 1 ; 3 x 4x đồng biến trên nửa khoảng 1; 2x m 1 B. m ; 3 1 D. m ; \ 0 ” 3 8 Câu 32. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y A. m 1 C. m 1 mx 1 tăng trên khoảng 1; x m B. m 1 D. một kết quả khác Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 1 3 x 3 m 1 x2 m . 3 x 10 đồng biến trên khoảng 0;3 . 12 7 7 C. m 12 A. m B. m D. m mx Câu 34. Cho hàm số y trên trên khoảng 0; A. C. 8 8 12 7 m m 7m 8 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến x m . 0. 0 B. D. Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y biến trên 2; A. m m 3 x 3 8 8 m 1 m 0 (m 1)x 2 B. m 2 ; 3 2 2 D. m ; 3 3 Câu 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số y trên khoảng 0; A. m 1. C. m 2 . 1 đồng 3 . 2 ; 3 C. m 3(m 2)x ; x3 3x2 3mx 1 nghịch biến . B. m 1. D. m 2. Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y sin x 3 nghịch biến sin x m trên khoảng 0; . 2 1 hoặc 0 m 3 . B. m 1. A. m C. 0 m 3 . D. m 3 . Câu 38. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y x3 3x2 3mx 1 nghịch biến trên 0; 1 A. m B. m 1 C. m 1 D. 0 m 1 9