Các dạng toán nón trụ cầu thường gặp trong kỳ thi Thptqg
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
CHUYÊN
ĐỀ 14
HÌNH NÓN, KHỐI NÓN
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện ............................................. 1
Dạng 2. Thể tích ........................................................................................................................................................... 3
Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện ................................................................................................... 6
Dạng 4. Bài toán thực tế ............................................................................................................................................... 8
Dạng 5. Bài toán cực trị................................................................................................................................................ 9
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO ............................................................................................................................. 10
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện ........................................... 10
Dạng 2. Thể tích ......................................................................................................................................................... 17
Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện ................................................................................................. 24
Dạng 4. Bài toán thực tế ............................................................................................................................................. 29
Dạng 5. Bài toán cực trị.............................................................................................................................................. 32
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu 1.
(KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi l , h, r lần lượt là độ dài đường sinh,
chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của hình nón là:
A. S xq
Câu 2.
1 2
r h .
3
B. S xq rl .
C. S xq rh .
D. S xq 2 rl .
(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình nón có bán kính đáy bằng a , đường cao là
2a . Tính diện tích xung quanh hình nón?
A. 2 5 a 2 .
B. 5 a 2 .
C. 2a 2 .
D. 5a 2 .
Câu 3.
(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình nón có bán kính đáy r 3 và độ dài đường sinh l 4 . Tính
diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
A. S xq 8 3
B. S xq 12
C. S xq 4 3
D. S xq 39
Câu 4.
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a 2 và bán kính
đáy bằng a . Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.
A. l 3a .
Câu 5.
B. l 2 2a .
C. l
3a
.
2
D. l
5a
.
2
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a 2 và có bán kính
đáy bằng a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng:
A. 3a
B. 2a
C.
3a
2
D. 2 2a
1
Câu 6.
(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian, cho tam giác vuông ABC tại A , AB a và
AC a 3 . Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục
AB .
A. l a 3
B. l 2a
C. l a
D. l a 2
Câu 7.
(THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình nón có thiết diện qua trục là một
tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
2 a 2 2
A.
.
3
B.
a2 2
4
C. a
.
2
2.
D.
a2 2
2
.
Câu 8.
(THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và
độ dài đường sinh bằng 2a . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
A. 4 a 2 .
B. 3 a 2 .
C. 2 a 2 .
D. 2a 2 .
Câu 9.
(SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hình nón có diện tích xung
quanh bằng 3 a 2 , bán kính đáy bằng a . Tính độ dài đường sinh của hình nón đó
A. 2a 2 .
Câu 10.
B.
3a
.
2
C. 2a .
D. 3a .
(THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho khối nón N có thể tích bằng 4 và chiều
cao là 3 .Tính bán kính đường tròn đáy của khối nón N .
A. 2 .
Câu 11.
B.
2 3
.
3
C. 1 .
D.
4
.
3
(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho một hình nón có chiều cao h a và bán kính đáy r 2a . Mặt
phẳng ( P ) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB 2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của
đường tròn đáy đến ( P ) .
A. d
Câu 12.
3a
2
B. d
5a
5
C. d
2a
2
D. d a
(KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, A
và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến
SAB
a 3
và
3
bằng
300 , SAB
600 . Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng
SAO
A. a 2
Câu 13.
C. 2a 3
D. a 5
(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho một hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng
60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
2
A. S xq 4 a .
Câu 14.
B. a 3
B. S xq
2 3 a 2
.
3
C. S xq
4 3 a 2
.
3
2
D. S xq 2 a .
(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a , vẽ tia Ax về phía điểm
B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax , khi tam
giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh
bằng:
3 2 a 2
A.
.
2
3 3 a
B.
2
2
.
1 3 a
C.
2
2
.
2 2 a
D.
2
2
.
2
Câu 15.
(HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình nón có chiều cao h 20 , bán kính đáy r 25 . Một thiết
diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 . Tính
diện tích S của thiết diện đó.
A. S 500
B. S 400
C. S 300
D. S 406
Câu 16.
(LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cắt hình nón N đỉnh
S
cho trước bởi
mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a 2. Biết
BC
là một
dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một
0
góc 60 . Tính diện tích tam giác
A.
Câu 17.
4a 2 2
3
B.
SBC .
4a 2 2
9
C.
C. 2 6 .
D. 2 3 .
2
(đvdt).
B. 4 2a 2 (đvdt).
C. a 2
2 1 (đvdt). D. 2 2a 2 (đvdt).
(CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Tính diện
tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA ' C quanh trục AA ' .
A.
Câu 20.
2a 2 2
9
(CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta
được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a 2 . Tính diện tích toàn phần của hình nón.
A. 4a
Câu 19.
D.
(SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng
3. Mặt phẳng P đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh
đáy bằng 2 . Diện tích của thiết diện bằng.
A. 6 .
B. 19 .
Câu 18.
2a 2 2
3
3 2 a2 .
B. 2
2 1 a2 .
C. 2
6 1 a2 .
D.
6 2 a2 .
Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1 . Mặt phẳng P qua đỉnh của hình nón và cắt đáy
theo dây cung có độ dài bằng 1 . Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng P bằng
A.
Câu 21.
7
.
7
B.
2
.
2
C.
3
.
3
D.
21
7
(PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Cho hình nón đỉnh S , đáy là đường tròn O;5 .Một
mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA AB 8 . Tính
khoảng cách từ O đến SAB .
A. 2 2 .
B.
3 3
.
4
C.
3 2
.
7
D.
13
.
2
Dạng 2. Thể tích
Câu 22.
(Mã 103 - BGD - 2019) Thể tích của khối nón có chiều cao h và có bán kính đáy r là
2
A. 2 r h .
Câu 23.
B.
1 2
r h .
3
C.
r 2h .
D.
4 2
r h .
3
(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho khối nón có bán kính đáy r 3 và chiều cao h 4 . Tính thể tích
V của khối nón đã cho.
3
A. V 12
Câu 24.
4 2
r h .
3
B. 2 r 2 h .
C.
1 2
r h.
3
16 3
3
D. r 2 h .
1 2
r h .
3
B.
4 2
r h .
3
2
C. 2 r h .
D.
(Mã 102 - BGD - 2019) Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy
A.
Câu 27.
D. V
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
A.
Câu 26.
C. V 16 3
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
A.
Câu 25.
B. V 4
4 2
r h .
3
B.
r 2h .
2
C. 2 r h .
r 2h .
r là
D.
1 2
r h .
3
(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho khối nón có bán kính đáy r 3 , chiều cao
h 2 . Tính thể tích V của khối nón.
A. V
Câu 28.
B. V 3 11
C. V
9 2
3
D. V 9 2
(CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB c, AC b
. Quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta được một hình nón có thể tích bằng
A.
Câu 29.
3 2
3
1
bc 2 .
3
B.
1 2
bc .
3
C.
1 2
b c.
3
D.
1 2
b c .
3
Cho khối N có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15 . Tính thể tích V của khối nón
N
A. V 12 .
B. V 20 .
C. V 36 .
D. V 60 .
Câu 30.
(CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình nón có độ dài đường
sinh bằng 25 và bán kính đường tròn đáy bằng 15. Tính thể tích của khối nón đó.
A. 1500 .
B. 4500 .
C. 375 .
D. 1875 .
Câu 31.
(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và
ACB 30 o . Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC .
3
A. V a
Câu 32.
C. V
3a 3
9
D. V
3a 3
3
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính
đáy bằng a . Thể tích của khối nón đã cho bằng
A.
Câu 33.
B. V 3a 3
3 a 3
.
3
B.
3 a 3
.
2
2 a 3
C.
.
3
D.
a3
3
(THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối nón có bán kính đáy r 2, chiều
cao h 3. Thể tích của khối nón là
A.
Câu 34.
4 3
.
3
B.
4
.
3
C.
2 3
.
3
D. 4 3.
(KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho khối nón tròn xoay có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng a .
Khi đó thể tích khối nón là
4
A.
Câu 35.
4 3
a .
3
C. a 3 .
D.
1 3
a .
3
B. V
16 3
3
C. V 12
D. V 4
(KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Tính thể tích của hình nón có góc ở đỉnh
bằng 60 o và diện tích xung quanh bằng 6 a 2 .
A. V
Câu 37.
2 3
a .
3
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho khối nón có bán kính đáy r 3 và chiều
cao h 4 . Tính thể tích V của khối nón đã cho.
A. V 16 3
Câu 36.
B.
3 a 3 2
4
B. V 3 a 3
C. V
3 a 3 2
4
D. V a 3
(THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh
AB 6 , AC 8 và M là trung điểm của cạnh AC . Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC
quanh quanh AB là
A. 86
Câu 38.
C. 96
D. 98
(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2
cm, góc ở đỉnh bằng 60 . Tính thể tích của khối nón đó.
A.
Câu 39.
B. 106
8 3
cm3 .
9
B. 8 3 cm 3 .
C.
8 3
cm3 .
3
D.
8
cm3 .
3
(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A ,
AB 6cm, AC 8cm . Gọi V1 là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và
V2 là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC . Khi đó, tỷ số
A.
Câu 40.
3
.
4
B.
4
.
3
C.
16
.
9
D.
V1
bằng:
V2
9
.
16
(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình nón N1 đỉnh S đáy là đường tròn C O ; R ,
đường cao SO 40cm . Người ta cắt nón bằng mặt phẳng vuông góc với trục để được nón nhỏ N 2 có đỉnh
S và đáy là đường tròn C O ; R . Biết rằng tỷ số thể tích
A. 20 cm .
Câu 41.
B. 5cm .
VN2
1
. Tính độ dài đường cao nón N 2 .
VN1 8
C. 10cm .
D. 49cm .
(THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho một đồng hồ cát như bên dưới (gồm
hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 . Biết
rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm 3 . Hỏi nếu cho đầy lượng
cát vào phần bên trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỷ số thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía
dưới là bao nhiêu?
5
A.
Câu 42.
1
.
64
B.
1
.
8
C.
1
.
27
D.
1
3 3
.
Cho hinh chữ nhật ABCD có AB 2, AD 2 3 và nằm trong măt phẳng P . Quay P một vòng
quanh đường thẳng BD . Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng
A.
Câu 43.
28
9
B.
28
3
C.
56
9
D.
56
3
(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chữ nhật ABCD có
AB 2 , AD 2 3 và nằm trong mặt phẳng P . Quay P một vòng quanh đường thẳng BD . Khối
tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng
A.
Câu 44.
B.
28
.
3
C.
56
.
9
D.
56
.
3
90 , AB BC a ,
A B
(CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1) Cho hình thang ABCD có
AD 2a . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD .
A.
Câu 45.
28
.
9
7 2 a3
.
6
B.
7 2 a3
.
12
C.
7 a 3
.
6
D.
(KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Cho hình tứ diện ABCD có
7 a 3
.
12
AD ABC
, ABC
là tam giác vuông tại B . Biết BC 2(cm ) , AB 2 3(cm ), AD 6(cm ) . Quay các tam giác ABC
và ABD ( bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn
xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng
3
5 3
(cm 3 )
B. 2
A. 3(cm )
Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
3 3
(cm 3 )
C. 2
.
64 3
(cm 3 )
D. 3
.
6
Câu 46.
(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng a 2 . Tính
thể tích V của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD
2 a 3
A. V
2
Câu 47.
a 3
B. V
2
2 a 3
D. V
6
a 3
C. V
6
(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a . Hình nón N có đỉnh
A có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính diện tích xung quanh S xq của N .
A. S xq 12 a
Câu 48.
2
C. S xq 3 3 a 2
D. S xq 6 3 a 2
a2
2
32 .
B. Stp
a2
4
5 1 . C. Stp
a2
4
5 2 . D. Stp
a2
2
3 1 .
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh
đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S , đáy
là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
A.
Câu 50.
B. Sxq 6 a
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D có cạnh a . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội
tiếp hình vuông ABCD . Diện tích toàn phần của khối nón đó là
A. Stp
Câu 49.
2
a2 3
3
B.
a2 7
6
(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình nón
qua trục của
C.
a2 7
4
D.
a 2 10
8
N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 . Mặt phẳng
N cắt N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 . Tính
thể tích V của khối nón giới hạn bởi
N .
A. V 9
Câu 51.
V 3 3
C.
V 9 3
D. V 3
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh
đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S , đáy
là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A.
Câu 52.
B.
a 2 3
3
B.
a 2 7
6
C.
a 2 7
4
D.
a 2 10
8
(THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có
độ dài cạnh đáy là a và N là hình nón có đỉnh là S với đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD . Tỉ
số thể tích của khối chóp S. ABCD và khối nón N là
A.
Câu 53.
B.
2
.
2
C.
2
.
D.
2 2
.
(THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp đều S. ABCD có đáy là
hình vuông cạnh 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 45 . Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp trên là:
A.
Câu 54.
.
4
8 3
πa 3
3
B.
2 3
πa 3
3
3
C. 2πa 2
D.
2 3
πa 2
3
(SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt
phẳng ABCD , tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD, BC . AD 3CB 3a , AB a
7
, SA a 3 . Điểm I thỏa mãn AD 3 AI , M là trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi
E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại
tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng ABCD .
A. V
a3
5 5
B. V
.
a3
2 5
C. V
.
a3
5
D. V
.
a3
10 5
.
Dạng 4. Bài toán thực tế
Câu 55.
Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng
(CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02)
40cm . Người ta cắt vật N1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ N 2
có thể tích bằng
1
8
thể tích N1 .Tính chiều cao h của hình nón N 2 ?
A. 10cm
Câu 56.
C. 40cm
D. 5cm
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho một tấm bìa hình dạng tam giác vuông, biết b
và c là độ dài cạnh tam giác vuông của tấm một khối tròn xoay. Hỏi thể tích V của khối tròn xoay sinh ra
bởi tấm bìa bằng bao nhiêu?
A. V
Câu 57.
B. 20cm
b2c 2
3 b2 c2
.
B. V
b 2c 2
3 b2 c2
.
C. V
2 b 2 c 2
3 b2 c2
.
D. V
b 2c 2
3 2(b2 c 2 )
.
Một chiếc thùng chứa đầy nước có hình một khối lập phương. Đặt vào trong thùng đó một khối nón sao cho
đỉnh khối nón trùng với tâm một mặt của khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối
diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng.
A.
12
.
B.
1
.
11
C.
12
.
D.
11
.
12
8
Câu 58.
(THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một
lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng
1
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt
3
kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều
cao của phễu là 15cm.
A. 0,501 cm .
B. 0,302 cm .
C. 0,216 cm .
D. 0,188 cm .
Câu 59.
(CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hai hình nón bằng nhau có chiều cao
bằng 2 dm được đặt như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình
nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới
thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm
khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.
A.
3
7.
B.
1
.
3
C.
3
5.
D.
1
.
2
Câu 60.
(CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tại trung tâm thành phố người ta
tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l 10 m , bán kính
đáy R 5m . Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của SB . Trang
trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón. Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn
điện tử.
A. 15 m.
B. 10 m.
C. 5 3 m .
D. 5 5 m .
Câu 61.
(ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Một cái phểu có dạng hình nón, chiều cao của phểu là 20cm . Người ta
đổ một lượng nước vào phểu sao cho chiều cao của cột nước trong phểu là 10cm . Nếu bịt kím miêng phểu
rồi lật ngược lên chiều cao của cột nước trong phểu gần nhất với giá trị nào sau đây.
A. 1,07cm .
B. 0,97cm .
C. 0, 67cm .
D. 0,87cm .
Dạng 5. Bài toán cực trị
Câu 62.
Giả sử đồ thị hàm số y m 2 1 x 4 2mx 2 m 2 1 có 3 điểm cực trị là A, B , C mà x A xB xC .
Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích của khối
tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây:
A. 4;6 .
B. 2;4 .
C. 2;0 .
D. 0; 2 .
Câu 63.
Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường
sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây?
A. 170 .
B. 260 .
C. 294 .
D. 208 .
Câu 64.
Một hình nón tròn xoay có đường sinh 2a . Thể tích lớn nhất của khối nón đó là
16 a 3
A.
.
3 3
16 a 3
B.
.
9 3
4 a 3
C.
.
3 3
8 a3
D.
.
3 3
9
Câu 65.
(CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Huyền có một tấm bìa như hình vẽ, Huyền
muốn biến đường tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi
dán OA , OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phểu lớn
nhất?
A.
Câu 66.
Câu 1.
2 6
3
B.
C.
3
2
D.
4
(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng
cột trang trí hình nón có kích thước như sau: đường sinh l 10 m, bán kính đáy R 5m. Biết rằng tam giác
SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của SB. Trang trí một hệ thống đèn điện tử
chạy từ A đến C trên mặt nón. Định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử.
A. 15 m .
B. 10 m .
C. 5 3 m .
D. 5 5 m .
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình nón là S xq rl .
Câu 2.
Ta có S xq Rl a a 2 4 a 2 5 a 2 (đvdt).
Câu 3.
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq rl 4 3 .
Câu 4.
Chọn A
2
Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq rl al 3 a l 3a .
Câu 5.
Lời giải
Chọn A
Diện tích xung quanh hình nón: S xq rl với r a .a.l 3 a 2 l 3a .
Câu 6.
Chọn B
10
B
C
A
Câu 7.
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có BC 2 AC 2 AB 2 4a 2 BC 2 a
Đường sinh của hình nón cũng chính là cạnh huyền của tam giác l BC 2a .
Chọn D
Ta có tam giác SAB vuông cân tại S có SA a.
Khi đó: R OA
a 2
a 2
a2 2
, l SA a. Nên S xq Rl .
.a
.
2
2
2
A
2a
O
a
Câu 8.
2
Ta có: S xq rl .a.2a 2 a .
S xq
3 a 2
3a .
a
Câu 9.
S xq Rl l
Câu 10.
Thể tích của khối nón được tính bởi công thức V R 2 h ( R là bán kính đáy, h là độ dài đường cao
R
1
3
của khối chóp).
1
3
Theo bài ra: V 4 , h 3 nên ta có 4 R 2 .3 R 2 4 R 2 .
Câu 11.
Vậy R 2 .
Chọn C
11
Có P SAB .
Ta có SO a h , OA OB r 2 a , AB 2 a 3 , gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M là
trung điểm AB , gọi K là hình chiếu của O lên SM suy ra d O; SAB
OK .
2
2
Ta tính được OM OA MA a suy ra SOM là tam giác vuông cân tại O , suy ra K là trung
điểm của SM nên OK
Câu 12.
SM a 2
2
2
Chọn A
S
H
O
B
K
A
Gọi K là trung điểm của AB ta có OK AB vì tam giác OAB cân tại O
Mà SO AB nên AB SOK SOK SAB mà SOK SAB SK nên từ O dựng
OH SK thì OH SAB OH d O, SAB
Xét tam giác SAO ta có: sin SAO
SO
SA
SO
SA
2
Xét tam giác SAB ta có: sin SAB
SK
SA 3
SK
SA
2
12
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
OH
OK
OS
SK SO
SO 2
1
1
1
4
2
6
3
2 2 2 2 SA 2a 2 SA a 2
2
2
2
2
SA
3SA SA
OH
SA SA
SA
a
4
4
4
S
60
Xét tam giác SOK ta có:
O
a
A
B
Câu 13.
Giả sử hình nón có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy và AB là một đường kính của đáy.
r OA a ,
ASB 60
ASO 30 .
OA
Độ dài đường sinh là l SA
2a .
sin 30
2
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S xq rl .a.2a 2 a .
A
H
I
x
Câu 14.
Xét tam giác AHB vuông tại H . Ta có AH =
B
AB 2 HB 2 a 3
AH .HB a 3.a a 3
AB
2a
2
Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có diện tích
xung quanh là S ) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2).
Xét tam giác AHB vuông tại H , HI AB tại I ta có HI =
Trong đó:
(N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là
S1 = π.HI.AH = .
a 3
3 a 2
.a 3
2
2
(N2) là hình nón có được do quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh là
a 3
3 a 2
S 2 = π.HI.BH = .
.a
2
2
13
Câu 15.
3 3 a2
3 a 2
3 a 2
S = S1 + S 2
.
2
2
2
Giả sử hình nón đỉnh S , tâm đáy O và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là SAB (hình
vẽ).
S
H
O
B
I
A
Ta có SO là đường cao của hình nón. Gọi I là trung điểm của AB OI AB .
Gọi H là hình chiếu của O lên SI OH SI .
Ta chứng minh được OH SAB OH 12 .
Xét tam giác vuông SOI có
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2
2 2
.
2
2
2
2
OH
OS
OI
OI
OH
OS
12 20
225
OI 2 225 OI 15 .
Xét tam giác vuông SOI có SI OS 2 OI 2 20 2 152 25 .
Xét tam giác vuông OIA có IA OA2 OI 2 252 152 20 AB 40 .
Ta có S S ABC
1
1
AB.SI .40.25 500 .
2
2
Câu 16.
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra r SO a 2
Ta có góc giữa mặt phẳng SBC tạo với đáy bằng góc
Trong tam giác
SIO
vuông tại O có SI
600
SIO
SO
2 6
6a
a và OI SI . cos SIO
3
3
sin SIO
14
2
Mà BC 2 r OI
Diện tích tam giác
SBC
2
4 3
a
3
là S
1
4a 2 2
SI .BC
2
3
Câu 17.
Ta có: h OI 4, R IA IB 3, AB 2 .
Gọi M là trung điểm AB MI AB AB SMI AB SM .
Lại có: SB OI 2 IB 2
Vậy: SSAB
Câu 18.
4 2 32 5 ; SM SB 2 MB 2 52 12 2 6 .
1
1
.SM . AB .2 6.2 2 6 .
2
2
Giả sử hình nón đã cho có độ dài đường sinh l , bán kính đáy là R .
Thiết diện của hình nón qua trục là tam giác OAB vuông cân tại O và OA a 2 .
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông cân OAB ta có:
AB2 OA2 OB2 4a 2 AB 2a .
Vậy: l a 2, R a .
Diện tích toàn phần của hình nón là:
STP Sxq S§¸ y Rl R 2 a 2
2 1 (đvdt).
Câu 19.
A'
D'
A'
B'
C'
a
A
D
A a 2
B
a
C
C
15
Quay tam giác AA ' C một vòng quanh trục AA ' tạo thành hình nón có chiều cao AA ' a , bán kính đáy
r AC a 2 , đường sinh l A ' C AA '2 AC 2 a 3 .
Diện tích toàn phần của hình nón: S r r l a 2 a 2 a 3
Câu 20.
6 2 a2 .
Chọn D
Ta có l h 1
Mặt phẳng P qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung AB có độ dài bằng 1 . I , K là hình
chiếu O lên AB ; SI . Ta có AB SIO OK SAB
2
3
1
ta có IO R OA 1
.
2
2
2
2
2
OI .SO
1
1
1
21
.
2
OK
2
2
2
2
OK
OI
OS
7
OI OS
Câu 21.
Chọn B
Gọi I là trung điểm AB .
AB SO
AB SOI SAB SOI .
AB OI
Ta có
Trong SOI , kẻ OH SI thì OH SAB .
d O; SAB OH .
16
2
8.5
2
Ta có: SO SA OA
5 39 .
5
2
2
2
4.5
Ta có: OI OA AI 5
3.
5
2
2
Tam giác vuông SOI có:
2
1
1
1
3 13
2
OH
.
2
2
OH
OI
SO
4
Vậy d O; SAB OH
Câu 22.
3 13
.
4
Dạng 2. Thể tích
Chọn B
1
3
2
Thể tích của khối nón có chiều cao h và có bán kính đáy r là V r h .
Câu 23.
Chọn B
1
3
1
3
Ta có V .r 2 .h
Câu 24.
2
3 .4 4 .
Chọn C
1
3
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là: V r 2 h .
Câu 25.
Chọn A
Lý thuyết thể tích khối nón.
Câu 26.
Lời giải
Chọn D
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy
1
3
r là V r 2 h
Câu 27.
1
3
2
Thể tích khối nón: V .r .h
9 2
3
Câu 28.
17
1
1
V r 2 h b 2c .
3
3
Câu 29.
Chọn A
Ta có Sxq 15 rl 15 l 5 h 4.
1
3
2
Vậy V r h 12 .
Câu 30.
2
2
2
2
Gọi h là chiều cao khối nón h l r 25 15 20 .
1
1
V r 2 h . .152.20 1500 .
3
3
Câu 31.
Chọn D
Ta có AC AB.cot 30 o a 3 . Vậy thể tích khối nón là : V
Câu 32.
1 2
a 3 3
a .a 3
.
3
3
Chọn A
2
2
Chiều cao khối nón đã cho là h l r a 3
1 2
1 2
3 a 3
Thể tích khối nón đã cho là: V r h a .a 3
.
3
3
3
Câu 33.
Chọn A
1
3
Khối nón có thể tích là V r 2 h
Câu 34.
4 3
3
Chọn D
1
3
Khối nón có bán kính đáy R a . Diện tích đáy S a 2 . Thể tích khối nón là V a 3 .
Câu 35.
Chọn D
1
1
V r 2 h .3.4 4 .
3
3
Câu 36.
Chọn B
Khối nón có góc ở đỉnh bằng 60 o nên góc tạo bởi đường sinh và đáy bằng 60 o.
l
2
2
2
; lại có S xq Rl R.2 R 6 a nên R a 3 ; vậy h l R R 3 3a
2
1
Vậy V R 2 h 3 a 3 .
3
Vậy R
18
Câu 37.
Khi tam giác BMC quanh quanh trục AB thì thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu của thể tích khối
nón có đường cao AB , đường sinh BC và khối nón có đường cao AB , đường sinh BM . Nên
V
1
1
1
AB. . AC 2 AB. . AM 2 AB. . AC 2 96 . Đáp án C
3
3
4
A
B
H
C
Câu 38.
Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục, ta được thiết diện là tam giác ABC cân tại đỉnh A của hình
nón.
60 , suy ra HAC
30 . Bán kính đáy R HC 2 cm.
Do góc ở đỉnh của hình nón là BAC
Xét AHC vuông tại H , ta có AH
HC
2
2 3 cm.
1
tan 30
3
1
3
2
Thể tích của khối nón: V R . AH
8 3
cm3 .
3
B
C
l
l
h=8
h=6
r=6=
r=8
A
C
B
A
Câu 39.
Ta có công thức tính thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính
1
3
r là V r 2 h
+ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB thì:
19
1
h AB 6cm và r AC 8cm thì V1 .82.6 128
3
+ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC thì:
1
h AC 8cm và r AB 6cm thì V2 .62.8 96
3
V
4
Vậy: 1 đáp án B.
V2 3
S
R'
A
O'
R
B
O
Câu 40.
1
3
1
3
Ta có: VN1 R 2 .SO , VN 2 R2 .SO .
Mặt khác, SO A và SOB đồng dạng nên
Suy ra:
Suy ra
Câu 41.
VN 2
VN1
R SO
.
R SO
3
R 2 .SO SO 1
R 2 .SO SO 8
SO 1
1
SO .40 20 cm . Do đó chọn
SO 2
2
A.
Chọn B
Gọi r1 , h1 , r2 , h2 lần lượt là bán kính, đường cao của hình nón trên và hình nón dưới.
Do đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 .
OBI
60 , khi đó ta có mối liên hệ: h 3r , h 3r .
Suy ra: OAI
1
1
2
2
1
3
Theo đề ta có: V V1 V2 h1r12 h2 r22
1
h13 h23 1000 .
9
3
Mà: h13 h23 h1 h2 3 h1 h2 .h1h2 h1 .h2 200 .
h1 10
.
h2 20
Kết hợp giả thiết: h1 h2 30 ta được
2
10 3 .h1 1 1 1
V
. .
Từ đó tỉ lệ cần tìm là 1
V2 20 3 2 .h
4 2 8
2
Câu 42.
Chọn C
20
A
B
E
C'
J
A'
I
E'
D
C
Khối nón đỉnh D , tâm đáy I có thể tích V1
Ta có BD 4 mà IC '.BD BC '.C'D IC' 3
DC '2
1
1 nên V1 .IC '2 .ID
BD
3
Khối nón cụt có tâm đáy J , I có thể tích V2
ID
JE DJ 2
2 3
JE
IC ' DI 3
3
1
19
V2 IC '2 .DI JE 2 .DJ
3
9
56
. Đáp án
Vậy thể tích cần tìm là V 2 V1 V2
9
Ta có DI 3, DJ 2 ,
Câu 43.
C.
Cách 1:
Gọi A ' , C lần lượt đối xứng với A , C qua BD , G BC ' AD , G đối xứng với G qua BD .
E AA ' BD , F GG ' BD F là trung điểm BD .
Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng BD .
21
V1 là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác BAD quanh cạnh BD (cũng là thể tích của
khối tròn xoay khi quay tam giác BCD quanh cạnh BD ).
V1 , V1 lần lượt là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay BAE , EAD quanh cạnh
BD .
V2 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay BGD quanh cạnh BD .
V2 là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay BGF quanh cạnh BD .
Ta có V1 là thể tích của khối nón đỉnh B , bán kính đáy AE .
Tính được AE
AB. AD
2
AB AD
1
1
V1 . AE 2 .BE
3
3
2
2.2 3
2
2 2 3
3
2
2
3 , BD 4 , BE 1 , DE 3 .
.
Ta có V1 là thể tích của khối nón đỉnh D , bán kính đáy AE .
1
1
V1 . AE 2 .DE
3
3
2
3 .3 3 .
Suy ra V1 V1 V1 3 4 .
Ta có V2 là thể tích của khối nón đỉnh B , bán kính đáy GF .
Ta chứng minh được BGF ~ BDC (g – g).
4.2
2
GF
BF
BF .DC BD.DC
.
GF
DC BC
BC
2 BC
2.2 3
3
2
1 2
1
8
.2
.
V2 .GF 2 .BF .
3
9
3 3
16
Ta có V2 2V2
.
9
16 56
Vậy V 2V1 V2 2.4
.
9
9
Cách 2: Lưu Thêm
Gọi điểm như hình vẽ
22
V1 , V2 lần lượt là thể tích khói nón, nón cụt nhận được khi quay tam giác ABH và tứ giác AHLT quay
BD .
2
, BH HL 1 .
3
1
1
Ta có: V 2 V1 V2 2 BH . . AH 2 HL. . IL2 IL. AH AH 2
3
3
Ta có: AH 3, I L
1
1
4
56
.
2 .1. .3 .1. . 2 3
3
9
3
3`
Câu 44.
Gọi E là giao điểm của AB và CD . Gọi F là hình chiếu vuông góc của B trên CE .
Ta có: BCF BEF nên tam giác BCF và BEF quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón
bằng nhau có thể tích V1 .
ADC AEC nên tam giác ADC và AEC quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón bằng
nhau có thể tích V .
Nên thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD bằng:
2
1
2V 2V1 2. CD. AC 2 CF .BF 2
3
3
a 2
3
3
a 7 2 a3
.
6
2
23
Câu 45.
Chọn C
Dễ thấy AD ABC AD R1
Gọi M BD AC và N là hình chiếu của M trên AB. Dễ dàng chứng minh được tỉ lệ:
MN AN
MN BN
AN 3 BN 1
(1) AD AN
(1) ; và
(2)
3
;
(2) BC BN
AB 4 AB 4
BC AB
AD AB
AN
3 3
3
3
; BN
; MN
2
2
2
Phần thể tích chung của 2 khối tròn xoay là phần thể tích khi quay tam giác AMB xung quanh trục AB.
Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác BMN xung quanh AB
Và V2 là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác AMN xung quanh AB
Dễ tính được: V1
Câu 46.
3 3
9 3
3 3
( dvtt ) và V2
( dvtt ) V1 V2
( dvtt ) . Chọn
8
8
2
C.
Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
Chọn C
Gọi O AC BD SO ABCD . Lại có OC
AC
a
2
SO SA2 OC 2 a .
Bán kính r
AB
a
. Suy thể tích khối nón là:
2
2
2
1 a
a3
V
.
a
.
3 2
6
Câu 47.
Chọn C
24
A
B
O
M
D
C
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD .
Ta có BM
3a 3
2
2 3a 3
; r BM .
a 3.
2
3
3 2
S xq .r.l r. AB a 3.3a 3 3. a 2 .
Câu 48.
Chọn B
A
D
O
B
C
a
A
B
Bán kính của đường tròn đáy là r
Diện tích đáy nón là: S1 r 2
Độ dài đường sinh là l
D
O
a
C
a
.
2
a2
4
a2 r2
.
a 5
.
2
Diện tích xung quanh của khối nón là: S 2 rl
a2 5
4
.
Vây, diện tích toàn phần của khối nón đó là: Stp S1 S 2
a2
4
5 1 .
25
S
A
C
O
M
Câu 49.
B
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điêmt cạnh BC , ta có OM
OA
a 3
,
6
a 3
60
và SMO
3
Trong tam giác vuông SMO : SO OM . tan 600
a 3
a
a2 a2
a 7
.
. 3 SA
6
2
4
3
2 3
a 3 a 7 a2 7
.
Vậy S xq .OA.SA .
.
3 2 3
6
Câu 50.
Chọn D
60
Hình nón N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 nên SAH
60 nên SAB đều. Do đó tâm I của đường tròn nội tiếp SAB cũng
Ta có SAB cân tại S có A
là trọng tâm của SAB .
Suy ra SH 3IH 3. Mặt khác SH
Do đó
Câu 51.
AB 3
AB 2 3 R 3 SĐáy R2 3.
2
1
1
V SH.SĐáy 3.3 3.
3
3
Chọn B
26
600 .
Gọi E là trung điểm BC . Theo giả thiết SEA
Suy ra: SA
a 7
l.
2 3
S xq Rl .
Câu 52.
a 3 a 7 a 2 7
.
3 2 3
6
Gọi h là chiều cao của khối chóp và đồng thời là đường cao của khối nón.
Thể tích của khối chóp là V1
1 2
a h.
3
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD là r
1
3
Thể tích của khối nón là V2 .
AC a 2
.
2
2
a2
.h .
2
Tỉ số thể tích của khối chóp S. ABCD và khối nón N là
Câu 53.
V1 2
.
V2
Chọn D
S
A
D
45
B
2a
O
C
Ta có S. ABCD là hình chóp đều, gọi O AC BD
45
Góc giữa cạnh bên với mặt đáy là SBO
27
ABCD là hình vuông cạnh 2a BD 2 2a
Khối nón ngoại tiếp hình chóp S. ABCD có bán kính đường tròn đáy R
BD
a 2
2
SOB vuông cân tại O
Chiều cao khối nón h SO OB 2a
2
1
1
2
Thể tích khối nón là: V πR 2 h π a 2 .a 2 πa 3 2 .
3
3
3
Câu 54.
Nhận xét: Tứ giác ABCI là hình vuông. Dễ chứng minh BC SAB và BI SC .
EA SB
EA SBC EA SC .
EA BC
EA SC
SC AEF .
FA SC
SE SA2 3
.
SB SB 2 4
HS AI MD
HS
SH 3
Trong tam giác SAD có
.
.
1
3
.
HI AD MS
HI
SI
4
SE SH 3
Trong tam giác SBI có
EH //BI . Do BI SC nên EH SC .
SB SI 4
Suy ra các điểm A, E , F , H cùng thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC .
Gọi K là trung điểm AF .
EA EF
K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH .
Vì
AH FH
Trong tam giác vuông SAB có
Ta có: AF
a 3.a 2
a 6
SA. AC
.
SC
a 5
5
Suy ra bán kính đáy của khối nón là R
1
a 6
AF
.
2
2 5
Gọi O là tâm hình vuông ABCI .
28
SC EFH
OK EFH O là đỉnh của khối nón.
OK //SC
Do
Chiều cao của khối nón là h
1
6
1
1
a
2a 2 a 2
.
FC
AC 2 AF 2
2
5
2
2
5
2
a3
1
1 a 6 a
Vậy thể tích khối nón là V . R 2 .h . .
.
.
3
3 2 5
5 10 5
Dạng 4. Bài toán thực tế
Chọn B
Câu 55.
Gọi r1 BE , h1 AB lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón N1
Gọi r2 CD , h AC lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón N 2
Khi đó thể tích của hai khối nón lần lượt là
1
V1 r12 h1
3
1
V2 r22 h
3
Theo đề bài ta có
1 2
r h 2
V2 3 2
r
h 1
2 . 1
V1 1 r 2 h r1 h1 8
1 1
3
Xét hai tam giác đồng dạng ACD , ABE có:
AC CD
r
h
2
2
AB BE
r1 h1
3
h 1
h 1
1
Từ 1 và 2 suy ra h h1 20
h1 2
2
h1 8
29
C
b
A
H
c
B
Câu 56.
Gọi tam giác vuông là ABC , kẻ AH BC , H là chân đường cao.
Khi đó
1
1
1
bc
AH
2
2
2
2
AH
AB
AC
b c2
Thể tích khối tròn xoay cần tính bằng tổng thể tích 2 khối nón tạo bởi hai tam giác vuông ACH và ABH
khi quay quanh trục BC .
1
3
1
Khối nón tạo bởi tam giác vuông ABH khi quay quanh trục BC có thể tích V2 BH . AH 2
3
Khối nón tạo bởi tam giác vuông ACH khi quay quanh trục BC có thể tích V1 CH . AH 2
Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
1
1
V V1 V2 CH . AH 2 BH . AH 2
3
3
1
1
bc
b2c2
BC. AH 2 b 2 c 2 .(
)2
3
3
b2 c 2
3 b2 c2
Câu 57.
Chọn A
Coi khối lập phương có cạnh 1 . Thể tích khối lập phường là V 1 .
Từ giả thiết ta suy ra khối nón có chiều cao h 1 , bán kính đáy r
1
.
2
Thể tích lượng nước trào ra ngoài là thể tích V1 của khối nón.
1
3
1
3
1
4
Ta có: V1 r 2 h . .1
12
.
Thể tích lượng nước còn lại trong thùng là: V2 V V1 1
Do đó:
12
12
.
12
V1
.
V2 12
Câu 58.
30
Gọi h1 là chiều cao của nước ta có h1
có:
1
h . Từ hình vẽ ta
3
h
h
h1 r1
1
h
r
r
r1 r ; 2 2 2 h2 r2 .
h r
3
h
r
h
r2 r
Ta có thể tích của nước trước và sau khi lôn ngược là như nhau:
2
2
h1. r1 h. r h2 . r2
2
h r 2 h1 r12
hr 2 h1.r12
hr 2 h1.r12
h2
h2
h2 2 2
r2 2
r2 2
r2
r2
1
1
1
h1.
5. .152
h1. r 2
3
3
h
15
1
h3
9 h
9 2 h23 153 5. .152
h2 2 2 9 h2 2
2
2
1 2
r
h2
h2
h2
9
h2
h
h2
2 2
2 2
h
h
h23 3250 h2 3 3250 Vậy bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực
nước xấp xỉ bằng: 0,188 cm .
Câu 59.
Gọi a là bán kính đáy hình nón;
V1 ,V2 lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và khi chiều cao của nước bằng 1 dm;
h, V3 lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên
bằng 1 dm;
R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của
nước trong hình nón trên bằng 1 dm.
Ta có:
R 1
a
R .
a 2
2
2
Thể tích nước của hình nón trên khi chiều cao bằng 1 là V2 13 .1. 12 a
Mặt khác:
a2
12
.
r h
ah
r .
a 2
2
31
2
Do đó thể tích nước hình nón dưới V3 13 .h. 2h a
a 2 h3
12
Thể tích nước của hình nón trên khi đầy nước V1 13 .2. a 2 .
Lại có: V3 V1 V2
Câu 60.
a 2 h3
12
13 .2. a 2
a2
12
.
1 h3 8 h 3 7.
• Cắt hình nón theo hai đường sinh SA, SB rồi trải ra ta được hình (H2) như sau:
S
5m
C
10m
A
B
H2
Khi đó, chiều dài dây đèn ngắn nhất là độ dài đoạn thẳng AC trên hình H2.
1
AB : C .2 .5 5 .
• Chu vi cung tròn
2
SAC vuông tại S.
AC SA2 SC 2 10 2 55 5 5 m .
Câu 61.
Chọn D
Gọi R là bán kính đáy của cái phểu ta có
R
là bán kính của đáy chứa cột nước
2
2
1
1 R
35 2
2
R .
Ta có thể tích phần nón không chứa nước là V R .20 .10
3
3 2
6
Khi lật ngược phểu Gọi h chiều cao của cột nước trong phểu.phần thể tích phần nón không chứa nước là
2
R 20 h
1
1
3
V 20 h
20 h R 2 .
3
20
1200
1
35
3
3
20 h R 2 R 2 20 h 7000 h 0,87
1200
6
Câu 62.
Dạng 5. Bài toán cực trị
Chọn B
y 4(m2 1) x3 4mx 4 x (m2 1) x2 - m
x 0
+ y 0 4 x (m 2 1) x 2 - m 0
m
x
(m 0)
2
m 1
+ Với m 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với x A xB xC ) là:
32
m
m2
m
m2
2
2
m
C
m 2 1) .
;
1)
(
;
B
(0;
m
1)
;
;
2
2
2
2
m 1 m 1
m 1 m 1
+ Quay ABC quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
A(
B
r
A
I
C
h
2
1
2
2 m2
m
2
V 2. . r 2 h BI 2 . IC 2
.
2
3
3
3 m 1
m 1 3
+ Xét hàm số f ( x)
Có: f '( x)
2
m2 1
5
.
m9
m
2
m8 (9 - m 2 )
m
m9
1
6
1
5
; f ( x ) 0 m 3 ( m 0) .
Ta có BBT:
3
–
max
Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m 3 .
Câu 63.
Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện là một
parabol.
33
Xét dây cung bất kỳ chứa đoạn KH như hình vẽ, suy ra tồn tại đường kính AB KH , trong tam giác
SAB , KE / / SA, E SB , Suy ra Parabol nhận KE làm trục như hình vẽ chính là một thiết diện thỏa yêu
cầu bài toán. (Thiết diện này song song với đường sinh SA )
Đặt BK x (với 0 x 24 ).
2
Trong tam giác ABH có: HK BK . AK x 24 x .
Trong tam giác SAB có:
KE BK
BK
5x
.
KE
.SA KE
SA BA
BA
6
Thiết diện thu được là một parabol có diện tích: S
4
KH .KE .
3
16
16
25 x 2 100
10
2
2
KH .KE .x 24 x .
. 24 x3 x 4 S . 24 x3 x 4
Ta có: S
9
9
36
81
9
2
3
4
Đặt f x 24 x x , với 0 x 24 .
x 0
.
x 18
2
3
2
3
Ta có: f ' x 72 x 4 x . Suy ra f ' x 0 72 x 4 x 0
Bảng biến thiên:
Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất là:
10
34992 207,8 cm 2
9
Câu 64.
Fb: Bi Trần
Gọi hình nón tròn xoay có đường sinh l 2a có bán kính đáy là R và đường cao là h .
1
3
Thể tích khối nón: V R 2 h . Ta có: R 2 h 2 4 a 2 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 4a 2 R 2 h 2
R2 R2
R4 h2
.
h2 3 3
2
2
4
R 4 h 2 64 6
1
16 3 3
a R2h
a .
4
27
3
27
2 3
R2
h
a
2
h
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2
.
h 2 R 2 4a 2
R 2 6 a
3
Khi đó Vmax
Câu 65.
16 3 3
a .
27
Chọn A
34
O
O
R
R
B
h
A
B;A
Ta có diện tích của hình phểu S xq
R2 x
xR
2 r
r
là bán kính của đáy phểu; x
2
2
R
1
1
1
V r 2 h r 2 R 2 r 2 r 4 .R 2 r 6 là thể tích của phểu
3
3
3
4
2
6
3
2
5
Xét hàm số phụ y r .R r y 4r .R 6r
y 0 2.R 2 3r 2 0 r
6
R
3
Vậy y max thì V và V max khi r
R 6
2 r
2 R 6
2 6
x
x
x
R
3
3R
3
Câu 66.
Ta có: SAB cân và SB AB SAB đều
35
Diện tích xung quanh hình nón là S xq Rl 50 m 2
Vẽ P đi qua C và vuông góc với AB. Mặt phẳng P cắt hình nón theo thiết diện là một Elip
Khi đó, chiều dài dây đèn điện tử ngắn nhất chính là chiều dài dây cung AC trên Elip.
* Ta dùng phương pháp trải hình ra sẽ thấy ngay như sau
Hình trải dài là một hình quạt với AB là độ dài nửa đường tròn và AB R. 5 m
S ABS
1
ASB.R12
360.25
S 25
25
ASB
90 0
2
2
360
.10
2
2
Vậy SAC vuông tại S và AC SA SC 5 5.
36
CHUYÊN
ĐỀ 15
HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện ............................................. 1
Dạng 2. Thể tích ........................................................................................................................................................... 3
Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện ................................................................................................... 4
Dạng 4. Bài toán thực tế ............................................................................................................................................... 5
Dạng 5. Bài toán cực trị................................................................................................................................................ 8
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO ................................................................................................................................. 9
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện ............................................. 9
Dạng 2. Thể tích ......................................................................................................................................................... 14
Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện ................................................................................................. 15
Dạng 4. Bài toán thực tế ............................................................................................................................................. 19
Dạng 5. Bài toán cực trị.............................................................................................................................................. 23
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu 1.
(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và độ
dài đường sinh l bằng
A. 4rl
Câu 2.
B. 2rl
C.
4
rl
3
D. rl
(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 1 và
AD 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục
MN , ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S tp của hình trụ đó.
A. Stp 10
Câu 3.
C. Stp 6
D. Stp 4
(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh
bằng đường kính của đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy.
A. r 5
Câu 4.
B. Stp 2
B. r 5
C. r
5 2
2
D. r
5 2
2
(THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối trụ T có bán kính đáy
R 1 , thể tích V 5 . Tính diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng
A. S 12
Câu 5.
B. S 11
C. S 10
D. S 7
(THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết
hình trụ có bán kính đáy là a và đường cao là a 3 .
37
A. 2 a 2
Câu 6.
C. a 2 3
B. a 2
D. 2 a 2 3
(THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của
nó ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a . Tính diện tích toàn phần của khối trụ.
13a 2
A. S tp
.
6
2
B. Stp a 3 .
a 2 3
C. Stp
.
2
27 a 2
D. Stp
.
2
Câu 7.
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình trụ có diện tích
xung quanh bằng 4 a 2 và bán kính đáy là a . Tính độ dài đường cao của hình trụ đó.
A. a .
B. 2a .
C. 3a .
D. 4a .
Câu 8.
(THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm
và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là
3
3
A. 8p cm
Câu 9.
3
C. 32p cm
3
D. 16p cm
(THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục
của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A.
Câu 10.
B. 4p cm
13 a 2
.
6
B.
27 a 2
.
2
C. 9 a 2 .
D.
9 a 2
.
2
(THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD có AB 1, AD 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó
xung quanh trục MN ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
A. Stp 4 .
Câu 11.
B. Stp 6 .
C. Stp 2 .
D. Stp 10 .
(Mã 103 - BGD - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song
với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 12 2 . Diện tích xung quanh
của hình trụ đã cho bằng
A. 6 10 .
B. 6 34 .
C. 3 10 .
D. 3 34 .
Câu 12.
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song
song với trục và cách trục một khoảng bằng 1 , thiết diện thu được có diện tích bằng 30 . Diện tích xung
quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 10 3 .
B. 5 39 .
C. 20 3 .
D. 10 39 .
Câu 13.
(Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
song với trục và cách trục một khoảng bằng 2 , thiết diện thu được có diện tích bằng 16 . Diện tích xung
quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 16 2 .
Câu 14.
B. 8 2 .
C. 12 2 .
D. 24 2 .
Cắt hình trụ T bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng
30 cm 2 và chu vi bằng 26 cm . Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ
T . Diện tích toàn phần của T là:
A. 23 cm 2 .
Câu 15.
B.
23
cm2 .
2
C.
69
cm 2 .
2
D. 69 cm 2 .
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao là 50 cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là
100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình
trụ.
38
B. d 50 3 cm.
A. d 50 cm.
Câu 16.
D. d 25 3 cm.
C. d 25 cm.
(THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai
đường tròn O, R và O, R . Biết rằng tồn tại dây
cung AB của đường tròn O, R sao cho tam giác OAB đều và góc giữa hai mặt phẳng
OAB
và mặt phẳng chứa đường tròn O, R bằng 60 . Tính diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho.
B. 2 3R 2
A. 4R 2
Câu 17.
C.
3 7
R 2
7
D.
6 7 2
R
7
(THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 4 cm và chiều
cao 5 cm . Gọi AB là một dây cung đáy dưới sao cho AB 4 3 cm . Người ta dựng mặt phẳng P
đi qua hai điểm A , B và tạo với mặt phẳng đáy hình trụ một góc 60 như hình vẽ. Tính diện tích thiết diện
của hình trụ cắt bởi mặt phẳng P .
8 4 3 3
A.
3
cm .
2
4 4 3
B.
3
cm .
2
4 4 3 3
C.
3
cm . D.
2
8 4 3
3
cm .
2
Dạng 2. Thể tích
Câu 18.
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
A.
Câu 19.
1
Bh .
3
C. 3Bh .
D. Bh .
4 2
r h
3
B. r 2 h
C.
1 2
r h
3
D. 2 rh
(Mã 102 - BGD - 2019) Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
A.
Câu 21.
B.
(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h
bằng
A.
Câu 20.
4
Bh .
3
4
Bh .
3
B.
1
Bh .
3
C. 3Bh .
D. Bh .
(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tính thể tích V của khối trụ có bán kính r 4 và chiều cao h 4 2
.
A. V 32
B. V 64 2
C. V 128
D. V 32 2
39
Câu 22.
(CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Thể tích khối trụ có bán kính đáy
r a và chiều cao h a 2 bằng
A. 4 a
Câu 23.
3
2.
B. a
3
2.
3
C. 2 a .
D.
a3 2
3
.
(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Thiết diện qua trục của một hình trụ là
một hình vuông có cạnh bằng 2a . Tính theo a thể tích khối trụ đó.
A. a 3 .
B. 2a 3 .
C. 4a 3 .
D.
2 3
a .
3
Câu 24.
(THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC 2a.
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ABCD quanh trục AD.
A. 4 a 3 .
B. 2 a 3 .
C. 8 a 3 .
D. a 3 .
Câu 25.
(THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4 và
có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ?
A.
Câu 26.
6
12
B.
6
9
C.
4
9
D.
4 6
9
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1 , H 2 xếp
1
r1 , h2 2h1
2
(tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30cm 3 , thể tích khối trụ H1 bằng
chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r2
A. 24cm3
B. 15cm3
3
C. 20cm
3
D. 10cm
Câu 27.
(LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Một khối trụ có thể tích bằng 6 . Nếu
giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao
nhiêu?
A. V 162
B. V 27
C. V 18
D. V 54
Câu 28.
(SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó
lên 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu?
A. 36 .
B. 6 .
C. 18 .
D. 12 .
Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
Câu 29.
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh
S xq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao
của tứ diện ABCD .
A. S xq 8 3
B. S xq 8 2
C. S xq
16 3
3
D. S xq
16 2
3
40
Câu 30.
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có
cạnh bằng a .
A. V
Câu 31.
a3
B. V
6
B. V a 2 h .
a3
D. V a 3
4
C. V
a2h
9
.
D. V
a2h
3
.
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông,
2
diện tích xung quanh bằng 36 a . Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.
3
3
A. 27 3a .
Câu 33.
2
C. V
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Tính thể
tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A. V 3 a 2 h .
Câu 32.
a3
B. 24 3a .
3
C. 36 3a .
3
D. 81 3a .
(CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình trụ T chiều cao bằng 2a , hai đường tròn đáy
của T có tâm lần lượt là O và O1 , bán kính bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường
tròn đáy tâm O1 lấy điểm B sao cho AB 5a . Thể tích khối tứ diện OO1 AB bằng
3a 3
A.
.
12
Câu 34.
B.
3a 3
.
4
C.
3a 3
.
6
3a 3
3
D.
(THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho khối trụ có đáy là các đường tròn tâm O , O có
bán kính là R và chiều cao h R 2 . Gọi A , B lần lượt là các điểm thuộc O và O sao cho OA
vuông góc với OB. Tỉ số thể tích của khối tứ diện OOAB với thể tích khối trụ là:
A.
Câu 35.
2
.
3
B.
C.
1
.
6
D.
1
.
4
(THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều
cao và bằng a . Một hình vuông ABCD có đáy AB , CD là hai dây cung của hai đường tròn đáy và
ABCD
không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó bằng
5a 2
A.
.
4
Câu 36.
1
.
3
2
B. 5a .
5a 2 2
C.
.
2
D.
5a 2
.
2
(ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ đều ABC . ABC , biết góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và ABC bằng 45 , diện tích tam giác ABC bằng a 2 6 . Tính diện tích xung quanh của hình
trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC . ABC .
A.
Câu 37.
4 a 2 3
.
3
B. 2 a 2 .
C. 4 a 2 .
D.
8 a 2 3
.
3
(THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao 3R .
Hai điểm A , B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục d của hình trụ bằng
30 . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ:
A. d AB, d
R 3
.
2
B. d AB, d R .
C. d AB, d R 3 .
D. d AB, d
R
.
2
Dạng 4. Bài toán thực tế
41
Câu 38.
(ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả
đều có chiều cao 4, 2 m. Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính 40 cm và 6 cây cột còn lại bên
thân nhà có đường kính 26 cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại
sơn giả đá là 380.000 đồng/m2 (gồm cả tiền thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn
10 cây cột đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn).
A. 14.647.000 (đồng). B. 13.627.000 (đồng). C. 16.459.000 (đồng). D. 15.844.000 (đồng).
Câu 39.
Mặt tiền của nhà văn hóa huyện Quỳnh Lưu có 17 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4, 2
m. Trong số các cây đó có 3 cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, 14 cây cột còn lại phân bố
đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26 cm. Chủ đầu tư thuê nhân công để sơn các cây
2
cột bằng loại sơn giả gỗ, biết giá thuê là 360.000 / m (kể cả vật liệu sơn và phần thi công). Hỏi chủ đầu tư
phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy 3,14159 )
A. 22990405
B. 5473906
C. 5473907
D. 22990407
Câu 40.
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm
và chiều cao bằng 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi
có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm
. Giả định 1 m3 gỗ có giá a triệu đồng, 1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng. Khi đó giá nguyên vật liệu làm
một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 8, 45.a đồng
B. 7,82.a đồng
C. 84,5.a đồng
D. 78, 2.a đồng
Câu 41.
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính
đáy lần lượt bằng 1 m và 1,5 m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và thể
trích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả
nào dưới đây?
A. 1,8 m.
B. 2,1 m.
C. 1,6 m.
D. 2,5 m.
Câu 42.
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính
đáy lần lượt bằng 1m và 1, 2m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có
thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả
nào dưới đây?
A. 2, 2m .
B. 1, 6 m .
C. 1,8m .
D. 1, 4 m .
Câu 43.
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm
và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi
có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính đáy 1 mm. Giả định 1
m 3 gỗ có giá a (triệu đồng), 1 m 3 than chì có giá 8a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên liệu làm một chiếc
bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 9, 07a (đồng)
B. 97, 03a (đồng)
C. 90, 7a (đồng)
D. 9, 7a (đồng)
Câu 44.
(Mã 102 - BGD - 2019) Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy
lần lượt bằng 1m và 1, 4 m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể
tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào
dưới đây?
A. 1,7 m .
B. 1,5 m .
C. 1,9 m .
D. 2, 4 m .
Câu 45.
(Mã 103 - BGD - 2019) Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy
lần lượt bằng 1m và 1,8m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể
tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào
dưới đây?
A. 2,8m .
B. 2, 6m .
C. 2,1m .
D. 2,3m .
42
Câu 46.
(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm , người
ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới
đây):.
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một
thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách
2. Tính tỉ số
A.
V1 1
V2 2
V1
.
V2
B.
V1
1
V2
C.
V1
2
V2
D.
V1
4
V2
Câu 47.
(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm
và chiều cao 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng
khối trụ có chiều cao bằng chiều cao của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm . Giã định 1 m 3 gỗ có
giá a (triệu đồng), 1 m 3 than chì có giá 7a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì
như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 85, 5.a (đồng)
B. 9, 07.a (đồng)
C. 8, 45.a (đồng)
D. 90, 07.a (đồng)
Câu 48.
(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy
bằng 3 mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi có dạng khối trụ có chiều
cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 mm. Giả định 1m 3 gỗ có giá a (triệu
đồng). 1m 3 than chì có giá 9a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần
nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 103,3a đồng
B. 97, 03a đồng
C. 10,33a đồng
D. 9, 7a đồng
Câu 49.
(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Người ta làm tạ tập cơ tay như hình
vẽ với hai đầu là hai khối trụ bằng nhau và tay cầm cũng là khối trụ. Biết hai đầu là hai khối trụ đường kính
đáy bằng 12 , chiều cao bằng 6 , chiều dài tạ bằng 30 và bán kính tay cầm là 2 . Hãy tính thể tích vật liệu
làm nên tạ tay đó.
A. 108 .
Câu 50.
B. 6480 .
C. 502 .
D. 504 .
(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Để làm cống thoát nước cho một con
đường người ta cần đúc 200 ống hình trụ bằng bê tông có đường kính trong lòng ống là 1m và chiều cao
43
của mỗi ống bằng 2 m , độ dày của thành ống là 8 cm . Biết rằng 1 m 3 bê tông thì cần đúng 10 bao ximăng. Hỏi cần bao nhiêu bao xi-măng để đúc 200 ống trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
A. 1086 bao.
B. 1025 bao.
C. 2091 bao.
D. 523 bao.
Câu 51.
(THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ
hai đường kính MN , PQ của hai đáy sao cho MN PQ . Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt đi qua 3
trong 4 điểm M , N , P, Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ . Biết MN 60 cm và thể tích khối tứ diện
MNPQ 30 dm 3 . Hãy tính thể tích lượng đá cắt bỏ (làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy).
A. 101,3dm3
B. 111, 4dm3
C. 121,3dm3
D. 141,3dm3
Câu 52.
(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Công ty X định làm một téc nước hình
trụ bằng inox (gồm cả nắp) có dung tích 1m 3 . Để tiết kiệm chi phí công ty X chọn loại téc nước có diện
tích toàn phần nhỏ nhất. Hỏi diện tích toàn phần của téc nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến
2 chữ số sau dấu phẩy)?
A. 5, 59 m 2
B. 5, 54 m 2
C. 5, 57 m 2
D. 5, 52 m 2
Câu 53.
(CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Một cái trục lăn sơn nước có
dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều dài lăn là 23cm (hình bên). Sau khi lăn
trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích là
A. 2300 cm 2 .
B. 1150 cm 2 .
C. 862, 5 cm 2 .
D. 5230 cm 2 .
Dạng 5. Bài toán cực trị
Câu 54.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Một hình trụ có độ dài đường cao bằng 3 , các
đường tròn đáy lần lượt là O;1 và O ';1 . Giả sử AB là đường kính cố định của O;1 và CD là đường
kính thay đổi trên O ';1 . Tìm giá trị lớn nhất Vmax của thể tích khối tứ diện ABCD.
A. Vmax 2.
Câu 55.
B. Vmax 6.
C. Vmax
1
.
2
D. Vmax 1.
(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình
trụ có thể tích V cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng
A.
3
V
.
2
B.
3
V
.
2
C.
3
V
.
D.
3
V
.
3
Câu 56.
Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12 cm . Giá trị lớn
nhất của thể tích khối trụ là:
A. 64 cm3 .
B. 16 cm3 .
C. 8 cm3 .
D. 32 cm3 .
Câu 57.
(THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trên một mảnh đất hình vuông có diện
2
tích 81m người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với
tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết
44
khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là x m . Giả sử chiều sâu của ao cũng là x m .
Tính thể tích lớn nhất V của ao.
A. V 13,5 m 3 .
Câu 58.
C. V 36 m 3 .
D. V 72 m 3 .
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và
O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn
tâm O lấy điểm B . Đặt là góc giữa AB và đáy. Tính tan khi thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá
trị lớn nhất.
A. tan 2
Câu 59.
B. V 27 m 3 .
B. tan
1
2
C. tan
1
2
D. tan 1
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và
O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , D sao cho
AD 2 3a ; gọi C là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng chứa đường tròn O ' ; trên đường tròn
tâm O lấy điểm B ( AB chéo với CD ). Đặt là góc giữa AB và đáy. Tính tan khi thể tích khối tứ
diện CDAB đạt giá trị lớn nhất.
3
1
A. tan 3
B. tan
C. tan 1
D. tan
3
2
Câu 60.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và
O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , D trên đường
tròn tâm O lấy điểm B , C sao cho AB //CD và AB không cắt OO ' . Tính AD để thể tích khối chóp
O '. ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. AD 2 2a
Câu 1.
B. AD 4a
C. AD
4 3
a
3
D. AD 2a
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay: S xq 2rl .
Câu 2.
Chọn D
Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN nên hình trụ có bán kính r AM
AD
1
2
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ Stp 2 r. AB 2 r 2 2 2 4 .
Câu 3.
Chọn D
45
Diện tích xung quanh của hình trụ: 2rl ( l : độ dài đường sinh) Có l 2r
Sxq 2rl 2rl 50 2r 2r 50 r
Câu 4.
5 2
2
Chọn A
V
5.
S
2
Diện tích toàn phần của trụ tương ứng là: Stp 2 Rh 2 R 2 .1.5 2 .12 12 .
Ta có V S .h với S r 2 nên h
Câu 5.
Chọn D
Diện tích xung quanh của hình trụ là: S xq 2 rl 2 rh 2 .a.a 3 2 a 2 3 .
Câu 6.
Thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 3a nên ta có độ dài đường sinh l 3a và bán kính
đường tròn đáy là r
3a
.
2
2
Từ đó ta tính được Stp 2 rl 2 r 2 2 .
Câu 7.
3a
27 a 2
3a
.
.3a 2 .
2
2
2
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy a và chiều cao h là
Sxq 2 ah h
Sxq
2 a
4 a 2
2a .
2 a
Vậy độ dài đường cao của hình trụ đó là h 2a .
Câu 8.
Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h là S xq = 2 p rh
2
Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy R , chiều cao h là V = p R h
46
3
Vì thiết diện qua trục là hình vuông nên ta có h = 2r = 4cm . S xq = 2p rh = 2p .2.4 = 16 p cm
Câu 9.
Gọi thiết diện qua trục là hình vuông ABCD . Theo đề thì AB AD 3a .
AB 3a
.
2
2
Đường sinh của hình trụ là l AD 3a .
Bán kính đáy của hình trụ là R
Áp dụng công thức diện tích toàn phần của hình trụ, ta có
2
3a
27 a 2
3a
Stp 2 Rl 2 R 2 . .3a 2
.
2
2
2
2
Câu 10.
Hình trụ đã cho có chiều cao là AB và đáy là hình tròn tâm N bán kính BN .
Do đó: Stp S xq 2 S đáy AB.2 .BN 2 .BN 2 1.2 .1 2 .12 4 .
Câu 11.
Chọn A
B
O'
A
C
1
I
O
D
Ta có:
S ABCD 12 2 3 2.CD
CD 4
CI 2
.
CO CI 2 IO 2 5 r
S xq 2 rl 6 10
Câu 12.
Chọn C
47
Gọi O, O lần lượt là tâm của hai đáy và ABCD là thiết diện song song với trục với A, B O ;
C , D O . Gọi H là trung điểm của AB OH d OO, ABCD 1 .
Vì S ABCD 30 AB.BC 30 AB
30
2 3 HA HB 3 .
5 3
Bán kính của đáy là r OH 2 HA2 3 1 2 .
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng S xq 2 rh 2 .2.5 3 20 3 .
Câu 13.
Chọn A
Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục, ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD (với
AB là dây cung của hình tròn đáy tâm O ).
Do hình trụ có chiều cao là h OO 4 2 hình trụ có độ dài đường sinh l AD 4 2 .
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng AB.CD 16 AB
16
16
2 2.
AD 4 2
Gọi K là trung điểm đoạn AB thì OK AB , lại có mp( ABCD) vuông góc với mặt phẳng đáy của hình
trụ OK mp( ABCD) khoảng cách giữa OO và mp( ABCD) là OK 2 .
2
AB
Xét tam giác vuông AOK R OA OK AK OK
2
2
Câu 14.
2
2
2
2 2
2
2.
Diện tích xung quanh của hình trụ là S 2 R.l 2 .2.4 2 16 2 .
Chọn C
48