Các dạng toán giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục - Nguyễn Bảo Vương

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1D4-1 PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ...................................................................................................................... 2 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ................................................................................................................. 2 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................... 4 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu ................................................................................................................ 8 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ....................................................................................................................................... 9 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC......................................................................................................................... 9 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 11 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 13 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 13 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 16 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 16 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC .................................................................................................................... 17 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ............................................................................................................... 17 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................. 20 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu .............................................................................................................. 25 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ..................................................................................................................................... 26 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC....................................................................................................................... 26 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 31 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 33 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 34 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?. A. Nếu lim un   và limv n  a  0 thì lim  un vn    . u  B. Nếu lim un  a  0 và limv n   thì lim  n   0 .  vn  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 u C. Nếu lim un  a  0 và limv n  0 thì lim  n  vn     .  u D. Nếu lim un  a  0 và limv n  0 và vn  0 với mọi n thì lim  n  vn Câu 2. Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P  2,13131313... , A. P  Câu 3.     .  212 99 B. P  213 . 100 C. P  211 . 100 D. P  211 . 99 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Ta nói dãy số  un  có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n   , nếu lim  un  a   0 . n  B. Ta nói dãy số  un  có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu 4. Cho các dãy số  un  ,  vn  và lim un  a, lim vn   thì lim A. 1. Câu 5. B. 0 . un bằng vn C.  . D.  . Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng? (I) lim n k   với k nguyên dương. (II) lim q n   nếu q  1 . (III) lim q n   nếu q  1 B. 1 . A. 0 . Câu 6. Câu 7. C. 3 . 1 với mọi n   * . Khi đó n3 A. lim un không tồn tại. B. lim un  1 . C. lim un  0 . D. 2 . Cho dãy số  un  thỏa un  2  D. lim un  2 . (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai? A. lim un  c ( un  c là hằng số ). C. lim 1  0. n D. lim B. lim q n  0  q  1 . 1  0  k  1 . nk DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 8. 1 . 7 1 . 2 1 . 5 1 bằng 2n  7 1 C. . 2 1 . 5 D. 0 . 1 bằng 2n  5 B. 0 . B. 0 . D. C.  . D. 1 bằng 5n  2 1 C. . 2 1 . 5 D.  . (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I  lim A. Câu 14.  . C.  . (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim A. Câu 13. B. D. L  2. 1 bằng 5n  3 1 . 3 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A. Câu 12. B. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A. Câu 11. B. L  0. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A. 0 . Câu 10. n 1 . n3  3 C. L  3. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L  lim A. L  1. Câu 9. ĐT:0946798489 7 . 3 2 B.  . 3 7 n 2  2n 3  1 . 3n3  2n 2  1 D. 1 . C. 0 . 2n 2  3 bằng: n 6  5n 5 3 C. . 5 (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim A. 2 . B. 0 . 2018 n bằng Câu 15. A.  . B. 0 . D. 3 . lim Câu 16. D.  . C. 1 . 2n  1 ? 2  n  n2 D. L  0 . (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L  lim A. L   . B. L  2 . C. L  1 . Câu 17. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 1  2n n2  2 n 2  2n 1  2n 2 u  A. un  . B. u  . C. . D. u  . n n n 5n  3n2 5n  3n 2 5n  3n 2 5n  3n 2 Câu 18. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I  lim A. I   . B. I  0 . C. I   . Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2n  3 2n  3n  1 D. I  1 . 2 3 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 19. Tìm lim un biết un  A. Câu 20. Câu 21. 3 . 4 ĐT:0946798489 1 1 1  2  ...  2 . 2 1 3 1 n 1 3 2 B. . C. 5 3 2 D. 4 . 3  1 1 1 1    ...  (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim   . 1.2 2.3 3.4 n n  1     3 A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. . 2 (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN 1 1 1  L  lim    ...   1  2  ...  n  1 1 2 5 A. L  . B. L   . 2 Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt Sn  CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Tìm 3 D. L  . 2 C. L  2 . 1 1 1   ...  . Khi đó 1 2 2 1 2 3 3 2 n n  1   n  1 n lim Sn bằng 1 2 1 A. Câu 23. B. 1 . 2 1 1 . 3 C. . B. 2 . C. 1 . 1 B.  . 3 B. I  1 . 2n bằng n 1 D. 0 . C. 2 . (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I  lim 2 A. I   . 3 Câu 27. cos n  sin n . n2  1 D. . (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim A. Câu 26. 1 . 22 (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của lim A. 1 . Câu 25. D. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim A. 1. B. 0. Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Câu 24. C. 1 . n2 bằng: 3n  1 D. 1 . 3n  2 . n3 C. I  3 . D. k   . (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn lim A. 2 . 3 B. 1 . 3 C. 1 . Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1  2n bằng? 3n  1 2 D.  . 3 4 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 28. ĐT:0946798489 2n  2017 . 3n  2018 2017 C. I  . 2018 (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I  lim A. I  2 . 3 B. I  3 . 2 lim Câu 29. Câu 30. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) 19 1 A. . B. . 18 18 1  19n 18n  19 bằng C.  . D. 1 . 19 (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? 1 n 1 1 sin n A. . B. . C. . D. . n n n n 1  n2 Câu 31. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim 2 bằng 2n  1 1 1 B. . C. . A. 0 . 2 3 Câu 32. D. I  1 . (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim A. 1 . 2 B. 4 . D.  1 . 2 4n  2018 . 2n  1 C. 2 . D. 2018 . 8n5  2n3  1 Câu 33. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim 5 . 4n  2 n 2  1 B. 8 . C. 1 . D. 4 . A. 2 . Câu 34. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim B. 0 . A. 2 . Câu 35. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) lim A. 2 . 11 B. 1 . 2 C. 2n  1 được kết quả là 1 n 1 . 2 D. 1. 2n 4  2 n  2 bằng 4n 4  2n  5 C.  . D. 0 . 2n 2  3 Câu 36. (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim bằng 1  2n 2 A.  3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . n2  n A  lim 12n 2  1 bằng Câu 37. Giá trị 1 A. . B. 0 . 12 lim Câu 38. Tính C. 1 . 6 D. 1 . 24 5n  3 2n  1 . Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A. 1. ĐT:0946798489 B.  . C. 2 . D. 5 . 2 1 . 4 D. 1 . 2 D. 1 . 2 n 3  4n  5 lim 3 3n  n2  7 bằng Câu 39. A. 1 . B. 1 . 3 C. n 2  3n3 Câu 40. Tính giới hạn lim 3 . 2n  5n  2 1 A. . B. 0 . 5 3 C.  . 2 Câu 41. Giới hạn của dãy số  un  với un  A. 2 . B. Câu 42. Tính giới hạn I  lim A. I   10 . 3 2n  1 , n  * là: 3 n 2 . 3 C. 1 . 10n  3 ta được kết quả: 3n  15 10 3 B. I  . C. I  . 3 10 2n  1 n  1 bằng Câu 43. A. 1 . 1 D.  . 3 2 D. I   . 5 lim lim Câu 44. B. 2 . C. 2 . B. 0 . C. 1 . 2 1 D.  . 2 1 B.  . 2 C. 4 . 1 D.  . 4 D.  . 3n2  1 n 2  2 bằng: A. 3 . lim Câu 45. Tính 8n 2  3n  1 4  5n  2 n 2 . A. 2 . Câu 46. Cho hai dãy số  un  và  vn  có un  A. 0 . B. 3 . C. 8n5  2n3  1 lim 2 2n  4n5  2019 bằng Câu 47. Giới hạn A. 2 . B. 4 . Câu 48. Giá trị của B  lim 4n 2  3n  1  3n  1 2 u 1 3 ; vn  . Tính lim n . vn n 1 n3 1 . 3 C.  . D.  . D. 0 . bằng: Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A. Câu 49. 4 . 9 ĐT:0946798489 B. 4 . 3 D. 4 C. 0 . (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L  lim A. 1 . 2018 C.  . B. 3 . n3  n 2  1  2018  3n3 1 D.  . 3 Câu 50. (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa  3n  2   a 2  4a   0 . Tổng các phần tử của S bằng mãn lim   n2  A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Câu 51. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a   sao cho giới hạn lim .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? 1 A. 0  a  2 . B. 0  a  . 2 Câu 52.  3n  1 3  n  Dãy số  un  với un  3  4n  5  A. 192 an 2  a 2 n  1  n  1 2 C. 1  a  0 . D. 1  a  3 . có giới hạn bằng phân số tối giản a . Tính a.b b 2 B. 68 C. 32  a2  a  1 D. 128 2n3  n 2  4 1  với a là tham số. Khi đó a  a 2 bằng 3 an  2 2 A. 12 . B. 2 . C. 0 . Câu 53. Biết lim Câu 54. Cho dãy số  un  với un  D. 6 . 1  2  3  ...  n . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2  1 A. lim un  0 . 1 . 2 C. Dãy số  un  không có giới hạn khi n   . B. lim un  D. lim un  1 . Câu 55. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim trị bằng? 2 A. . 3 B. 1 . 6 1  3  5  ...  2n  1 3n 2  4 Câu 56. bằng 2 A. . B. 0 . 3 C. 0 . 12  22  32  42  ...  n 2 có giá n3  2n  7 D. 1 . 3 lim C. 1 . 3 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D.  . 7 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 57. ĐT:0946798489 n 1 2 3 Lim  2  2  2  ...  2  n  bằng n n n B. 0 . A. 1. C. Câu 58. Cho dãy số  un  xác định bởi: un  B.  . A. 0`. Câu 59. Câu 60. Câu 61. D. 1 . 2 1 3 2n  1  2  2 với n   * Giá trị của lim un bằng: 2 n n n C.  . D. 1 n   1 2 (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim  2  2  ...  2  . n  n n 1 1 B. . C. . D. 0 . A.  . n 2 (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1  1   1  lim 1  2 1  2  ... 1  2   .  2  3   n   1 A. 1 . B. . 2 1-năm C. 2017-2018) 1 . 4 D. Tính giới A. u  n với 1 1 1   ...  . Tính lim un . 1.3 3.5 2n 1.2n 1 1 . 2 B. 0. 2019 2018 Câu 62. Tính lim(2n  3n  4) ? B.  . A.  . Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu 4 lim  2  3n   n  1 L  lim A. L   . B. L  0 . Câu 66. Giới hạn D. 2019 . C. 81 D. 2 1 C. L  . 3 D. L   . C. 1 . D.  . 2  3n  2n3 3n  2 B.  . lim C. 2 . n3  2n 3n2  n  2 Câu 65. Tính giới hạn của dãy số un  2 . 3 D. là: B.  Câu 64. Tính giới hạn 1 . 4 C. 1. 3 A.  A. hạn: 3 . 2 (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số un  Câu 63. 1 . 3 1  5  ...   4n  3 2n  1 bằng Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A. 1. ĐT:0946798489 B.  . C. 2 . 2 D. 0 . Dạng 1.4 Phân thức chứa căn Câu 67. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim 3 . 2 A. Câu 68. B. 2. C. 1. D.  . (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I  lim 5 B. I  . 3 A. I  1 . Câu 69. 4n 2  1  n  2 bằng 2n  3 (CỤM 5 TRƯỜNG 2 CHUYÊN 4n 2  5  n 4n  n 2  1 3 D. I  . 4 C. I  1 . - ĐBSH - C. 1 . 3 LẦN . Khi đó giá trị của I là: 1 - 2018) Tính giới hạn 2 4x  x 1  x  x  3 3x  2 1 2 A.  . B. . 3 3 lim x  Câu 70. Tìm lim un biết un  A. Câu 71. 1 . 2 n 1  3  5  ...   2n  1 2n 2  1 B.  . C. 1. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính lim A. 1 . 6 2 D.  . 3 B. 1 2 6 . C. 1 . 2 D.  . 12  22  33  ...  n 2 2n  n  7  6n  5  D.  . DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC lim Câu 72.  n 2  3n  1  n A. 3 .  bằng C. 0 . B.  . D.  3 . 2 Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1? 3n 1  2n 3n 2  n A. lim . B. . lim 5  3n 4n 2  5 2n 3  3 C. lim n 2  2n  n 2  1 . D. lim . 1  2n 2  Câu 74. Giới hạn  lim n  n4  n3  bằng Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A. 0 . ĐT:0946798489 B.  . C. 7 . 2 D. 1 . 2   Câu 75. Tính giới hạn lim n  n 2  4n . B. 1 . A. 3 . C. 2 . Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim Câu 78.  n 2  4n  7  a  n  0 ? B. 1. A. 3 . Câu 77.  D. 4 . C. 2. D. 0 . (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính I  lim  n  3 A. I   . B. I  . C. I  1, 499 . 2 (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim n L  lim Câu 79. Tính giới hạn  L  lim Câu 80. Tính giới hạn  Câu 81. Tính giới hạn L  lim  L  lim Câu 82. Tính giới hạn L  lim D. 9 . 4 C.  . D. 9 . 4 C.  . D. 1 . 4 C. 53 . 2 D. 9 . 4 C. 53 . 2 D.  n 2  3n  5  n  25 B. 7 . A.  . A.  .  C.  . . 4 n 2  n  4 n 2  2 . ĐS: B. 7 . A.  . 2n  1  n  3 4n  5  3 1 . 4 . . B. 7 . Câu 84. Tính giới hạn sau L  lim  4n 2  3  3 8n3  n . . B. 7 . A.  . Câu 83. Tính giới hạn 4n2  n  1  9n D. I  0 . 2 . 3 9n 2  2n  1  4n 2  1 B. 1 . A.  .  n2  2  n2  1  .  D. C.  . B. 1 . A.  .   2 1 . 2  n  4  3 n 1 . Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10