Bài giảng trọng tâm mũ - lôgarit
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN
§ÆNG VIÖT HïNG
BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
MŨ – LOGA
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 2
01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH
I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA
1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên.
1
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên.
a
m
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m =
( a)
n
m
với m, n là số tự nhiên.
1
Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a .
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
a 0 = 1, ∀a
Tính chất 1: 1
a = a, ∀a
a > 1: a m > a n ⇔ m > n
Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):
m
n
0 < a < 1: a > a ⇔ m < n
am > bm ⇔ m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì m
m
a < b ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
Nhóm công thức 2:
a m .a n = a m + n
m
am
= a m−n
an
(a )
m n
= a mn = ( a n )
( )
m
n
am = a n =
n
ab = n a . n b ,
n
a na
=
, ∀a ≥, b > 0
b nb
m
n
a
1
→ a = a2 ;
1
3
1
a = a3 ; n a = an
∀a, b ≥ 0
Ví dụ 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại)
a) A = 4 x 2 3 x .
d) D = 3
b) B = 5
23 3 2
.
3 2 3
b3 a
.
a b
C = 5 23 2 2 .
c)
e) D = 4 3 a8 .
f) F =
5
3
b2 b
.
b b
Ví dụ 2: Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau?
2
1
−
−
a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 .
−3
−1
b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) .
1
a
c)
−0,2
1
d) (1 − a )
−
1
3
> (1 − a )
−
1
2
e) ( 2 −
.
3
a)4
> (2 − a) .
2
1 2 1
f) >
a
a
< a2 .
−
1
2
.
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =
3+ 2 −
(
3− 2
) (
1
2
3+ 2
)
1
2
+
3− 2
−1
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 3
b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .
4x
.
4x + 2
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
1
2
2010
b) Tính tổng S = f
+ f
+ ... + f
.
2011
2011
2011
Ví dụ 5: So sánh các cặp số sau
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) =
5
π 2
π
a) và
2
2
6
d)
7
3
7
và
8
10
3
2
π
b)
2
2
π
và
5
π
e)
6
5
π
và
5
3
3
c)
5
10
4
4
và
7
5
2
2
Ví dụ 6: Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?
1) 4 x = 5 1024
4) ( 3 3 )
2x
2)
1
=
9
x−2
5 2
25
x
x +1
=
2 8
5) .
9 27
1
0, 25
.322 x −8 =
0,125
8
x
x
1
10) ( 12 ) . ( 3 ) =
6
−x
8
125
−x
3) 81 − 3 x =
3
6)
2
27
=
64
11) 71− x.41− x =
x 2 −5 x + 6
3 x −7
9
9)
49
8) 0, 2 x = 0,008
7)
1
32
=1
7
=
3
7 x −3
1
28
II. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH
1) Khái niệm về Logarith
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng y = log a x ⇔ x = a y
Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức logarith sau
log 2 4;
log 3 81;
log
2
32; log
2
(8 2 )
Hướng dẫn giải:
• log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2
→ log 2 4 = 2
y
• log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4
→ log3 81 = 4
• log
• log
( 2 ) = 32 = 2 = ( 2 ) ⇔ y = 10 → log 32 = 10
(8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7 → log (8 2 ) = 7
32 = y ⇔
2
y
2
y
2
10
5
3
7
2
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là lenx)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0.
• log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a
b > c ⇔ a > 1
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: log a b > log a c ⇔
b < c ⇔ 0 < a < 1
3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Ví dụ 1: log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log
2
24 = log
( 2)
8
2
Trang 4
= 8...
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) P = log 1
a 5 a 3 a2
b) Q = log
.
a4 a
a
a
a a a a.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
b) Ta có
a 5 a 3 a2
a4 a
=
1
2
a.a 5 .a 3
1
1
a 2 .a 4
=
a a a a = a a
1 2
1+ +
a 5 3
1 1
+
a2 4
1
a.a 2
=
28
a 15
3
a4
= a
=
28 3
−
a 15 4
=
67
a 60
→ P = log 1
67
a 60
a
3
a.a 4
=
7
a.a 8
=
15
a 16
→ Q = log
67
1 − 60
67
= log 1 = − .
a
60
a
a
15
a 16
= log
15
8
a
( a)
=
15
.
8
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) log 1 125 = .....................................................
2)
5
log
2
64 = ....................................................................
3) log16 0,125 = ..................................................
4) log 0,125 2 2 = ..........................................................
5) log 3 3 3 3 3 = ................................................
6)
log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................
Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
(
)
a) P = log a a 3 a 5 a = ..................................................................................................................................
(
)
b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................
Công thức 2: a log a x = x, ∀x > 0 , (2)
Chứng minh:
Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2 ) ⇔ at = at
Ví dụ 1: 2log 2 3 = 3, 5log5 6 = 6,
( )
3
log 3 4
1
= ( 3 ) 2
log 3 4
= ( 3 )
1
1
log 3 4
2 = ( 4 ) 2 = 2...
log 2
64
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) 2log8 15 = .....................................................
1 log81 5
3)
= .....................................................
3
log3 4
( 9)
3
2) 2
2
= ....................................................................
4)
= ....................................................................
Công thức 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3)
Chứng minh:
x = a log a x
Áp dụng công thức (2) ta có
→ x. y = a log a x .a log a y = a log a x + log a y
log a y
y = a
Áp dụng công thức (1) ta được : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3
b) log 3 81 = log 3 ( 27.3 ) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
4
4 10
a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = .
3 3
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
3
b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1
3
3
Công thức 4: log a
Chứng minh:
−
1
1
3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1 + log 1
3
3
3
3
3
3
3
c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log
−3
1
3
3
3
5
2
32 = log
23 + log
2
2 = log
2
6
2
( 2)
+ log
1
3
1
10
= −3 − = − .
3
3
2
2
Trang 5
( 2)
= 6 + 2 = 8.
x
= log a x − log a y , (4)
y
x = a log a x
x a log a x
Áp dụng công thức (2) ta có
→
= log y = a log a x −log a y
log a y
y
a a
y = a
x
Áp dụng công thức (1) ta được : log a = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm
y
4
5
32
5 4 7
= log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = .
3
2 3 6
16
m
Công thức 5: log a b = m.log a b , (5)
Chứng minh:
Ví dụ: log 2
(
Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b
)
m
= a m.loga b
Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm
log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6
Ví dụ 1:
1
log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 =
1
5
log 2 32 =
4
4
Ví dụ 2:
−4
1
62.45
1
2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1
= log 1 81 = log 1 = −4.
2 3
3
3
3
3
3
3 20
3
3 3
1
50 3
Ví dụ 3: log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5
= log 5 25 = 2.
2
2 3
1
Công thức 6: log a n b = log a b , (6)
n
Chứng minh:
( )
Đặt log a n b = y ⇒ a n
y
= b ⇔ a ny = b
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y =
hay log a n b =
1
log a b
n
1
log a b ⇒ dpcm
n
1
log 2 16 = 2.4 = 8.
1
22
2
1
log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30.
1
25
5
log 2 16 = log 1 16 =
Ví dụ 1 :
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m =
Ví dụ 2: log 3 5 4 125 = log
1
3 4
1
53
(5 )
3
9
= 4 log 5 5 = ;
1
4
3
m
log a b
n
( 32 2 ) = log( ) ( 2 )
11
log 2
2
2
3
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
=
11
log
3
2
2=
11
.
3
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức A =
log 3 3 27 = log 3
3
(3 3 )
27
log 1 5 = log − 1
3 2
3 9
log
3
33
52
3
2
Trang 6
27
log 3 3 27 + log 1 5
9
3
.
4
1
1
log 3 + log 1
81
3
3
Hướng dẫn giải:
=2
1
13
13
26
=
log 3 3 5 = −2. = − .
1
5
5
−
2
1
= log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8
→A=
81
32
27
log 3 3 27 + log 1 5
3 9
1
1
log 3 + log 1
81
3
3
log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b =
, (7)
log c a
Chứng minh:
(
4
26
5 = 4.
=
−8 + 4 5
2−
)
Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =
log c b
⇒ dpcm
log c a
Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log a b = log a c.log c b
log b b
1
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b =
.
=
log b a log b a
Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho log 2 14 = a
→ A = log 2 49 = ?
b) Cho log15 3 = a
→ B = log 25 15 = ?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1.
Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .
1
1− a
log 3 5 = − 1 =
1
1
a
a
b) Ta có log15 3 = a ⇔ a =
=
→
log 3 15 1 + log 3 5
log 3 = a
5
1− a
1
1
log 3 15
1
1
B = log 25 15 =
= a = a =
→B =
.
log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a )
2 (1 − a )
a
Ví dụ 2: Cho log a b = 3. Tính
a) A = log
b
a
b
.
a
b) B = log
ab
b
.
a
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a =
1
3
.
a)
A = log
b
a
b
= log
a
b
a
b − log
b
a
a=
1
1
−
=
b
b log
log b
log a
a
a
b
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
1
b − log
a
b
−
log
a
1
b − log
a
a
=
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
=
Trang 7
1
1
1
1
3 −1
3 −1
−
=
−
=
→A=
.
1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2
3 −2
3−2
3 −2
3
b
2
log a
b
b
a = log a b − 1 = 3 − 1
Cách khác: Ta có được A = log b
= log
=
log
=
2
b
b
log a b − 2
a log b
3−2
a
a
a2
a
a 2
a
a
b
1
1
1
1
b) B = log ab
−
=
−
. = log ab b − log ab a =
a
log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log
b
a
b
=
1
1
1
2 3 −1
2 3 −1
=
−
=
→B =
.
1
1 1 + log a b
1
1 1+ 3
3
+
1
3
+
1
log b a +
+
2
2
2 3 2
b2
2
log a
2
b
b
b
a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 .
Cách khác: Ta có B = log ab
= log
= log ab
=
2
( ab ) a
a log a ab 1 + log a b
a
1+ 3
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 6 3.log 3 36 = ......................................................................
=
1
−
b) log 3 8.log 4 81 = ......................................................................
1
.log 25 3 2 = .................................................................
5
Ví dụ 4: Cho log a b = 7. Tính
a
a) A = log a b
.
b) B = log b 3 ab 2 .
3
b
a
Ví dụ 5: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
49
a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b
→ P = log 3 5
=?
8
b
b) Cho log ab a = 2
→ Q = log ab
=?
a
Công thức 8: a logb c = c logb a , (8)
Chứng minh:
c) log 2
(
Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c
Ví dụ 1: 49
log 7 2
=2
log 7 49
= 2 = 4;
2
( 2)
log 2 27
= 27
log 2 2
)
logb a
= c logb a ⇒ dpcm
1
2
= 27 = 3 3...
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 36log6 5 + 3
log3 4
− 3log9 36 = ..........................................................................
32 − log3 2.4 2
= ...........................................................................................
27 log3 4
c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = .......................................................................
log
3
b) B =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP :
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau
1) log 25−1 5 4 5
2) log 3 3 729
3) log
9
3
1
4) log 9
3
3
1 log27 81
7)
3
5)
log 33
(3 3 )
8) 103+2log10 3
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
12
6)
9
27
log 3 4
9) 43log8 3+2log16 5
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
1
10) 9 2
log3 2−2log 27 3
13) 25log5 6 + 49log7 8
1+log 9 4
16) 3
+4
2−log 2 3
+5
log125 27
Trang 8
log 9 2−log 1 5
11) 42+log 2 3
12) 3
14) 10 3 log10 8
15)
17)
25
1
log 8 5
+ 49
3
log 7 16
log 7 15 − log 7 30
1
log 6 7
Bài 2. Quy đổi các biểu thức sau theo các ẩn đã cho
a) Cho log23 = a ; log25 = b. Tính log 2 3; log 2 3 135; log 2 180 theo a, b.
b) Cho log53 = a, tính log2515.
c) Cho log96 = a, tính log1832.
d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tính log308.
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)
a+b 1
= ( lg a + lg b ) , với a2 + b2 = 7ab.
3
2
1
b) lg ( a + 2b ) − 2lg 2 = ( lg a + lg b ) , với a2 + 4b2 = 12ab
2
log c a + log c b
2a + 3b
c) log c
=
, với 4a2 + 9b2 = 4ab
4
2
d) Cho log1218 = a, log2454 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = 1.
log a c
log a b + log a x
e)
f) log ax bx =
= 1 + log a b
log ab c
1 + log a x
log a N − log b N log a N
1
1
1
k (k + 1)
, với b2 = ac.
h)
+
+ ... +
=
g)
=
log a x log a 2 x
log a k x 2log a x
logb N − log c N log c N
a) lg
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 9
02. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
2. Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1)
• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
3. Giới hạn đặc biệt
1
x) x
x
1
= lim 1 + = e
x →0
x →±∞
x
ln(1 + x)
ln(1 + u )
lim
= 1
→ lim
=1
x →0
u
→
0
x
u
ex −1
eu − 1
• lim
= 1
→ lim
=1
x →0 x
u →0 u
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:
• lim (1 +
e2 x − 1
1) lim
x →0
x
ln(1 + 3 x)
4) lim
x →0
x
•
• lim
x →0
−
x
3
−1
x →0
x
ln(1 + 4 x)
5) lim
x →0
2x
2) lim
e
sin x
sin u ( x)
= 1
→ lim
=1
x →0 u ( x )
x
e3 x − e 2 x
x →0
x
e−4 x − 1
6) lim
x →0
3x
3) lim
Hướng dẫn giải:
e2 x − 1
e −1
1) lim
= lim
.2 = 2
x →0
x →0
x
2x
2x
2) lim
x →0
e
−
−x
e 3 − 1 −1
−1
1
= lim
. = −
→
x
0
−
x
x
3
3
3
x
3
( e3 x − 1) − ( e2 x − 1) = lim e3 x − 1 − lim e2 x − 1 = 3 − 2 = 1.
e3 x − e 2 x
= lim
x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
x
x
3) lim
4) lim
ln(1 + 3 x)
ln(1 + 3 x)
= lim
.3 = 3
x →0
x
3x
5) lim
ln(1 + 4 x)
ln(1 + 4 x)
= lim
.2 = 2
x
→
0
2x
4x
x →0
x →0
e −4 x − 1 −4
e−4 x − 1
4
= lim
. = −
x →0
x
→
0
3x
3
−4 x 3
6) lim
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Tính các giới hạn sau:
ln (1 + 4 x )
1) lim
x →0
x
sin
2
2
2) lim
x →0
e x − cos x
x2
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
eax − ebx
x
x →0
3) lim
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
esin 2 x − esin x
4) lim
x
x →0
x +1
7) lim
x →+∞ x − 2
x
5) lim
x →+∞ 1 + x
2 x −1
x
Trang 10
1
6) lim 1 +
x →+∞
x
3x − 4
8) lim
x →+∞ 3 x + 2
x +1
3
x +1
x
2x + 1
9) lim
x →+∞ x − 1
x
4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith
y = a x
→ y′ = a x .ln a
Hàm mũ:
y = au
→ y ′ = u ′.au .ln a
y = e x
→ y′ = e x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có
y = eu
→ y ′ = u ′.eu
1
→ y′ =
y = log a x
x.ln a
Hàm logarith:
u′
y = log u
→ y′ =
a
u.ln a
1
→ y′ =
y = ln x
x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có
u′
y = ln u
→ y′ =
u
Chú ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp:
Hàm sơ cấp
Hàm hợp
y = k
→ y′ = 0
y = ku
→ y ′ = k .u ′
1
1
→ y′ = − 2
x
x
1
y = x
→ y′ =
2 x
y=
y = x n
→ y′ = n.x n −1 ⇒
y = sin x
→ y′ = cos x
→ y ′ = − sin x
y = cos x
1
→ y′ =
y = tan x
cos 2 x
−1
y = cot x
→ y′ =
sin 2 x
1
u′
→ y′ = − 2
u
u
u′
y = u
→ y′ =
2 u
y=
y = u n
→ y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒
y = sin u
→ y′ = u ′.cos u
→ y ′ = −u ′.sin u
y = cos u
u′
→ y′ =
y = tan u
cos 2 u
−u ′
y = cot u
→ y′ =
sin 2 u
u
uv′ − u ′v
→ y′ =
y =
v
v2
y = u.v
→ y′ = uv′ + u ′v
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x2 − x + 1
y = 4 x3 − 3 x + 2
x+3
Hướng dẫn giải:
1) y = 4 x3 − 3 x + 2
2) y = 3
(
1) y = 4 x3 − 3 x + 2 = x3 − 3x + 2
)
1
2) y = 3
1
4
(
)(
1
→ y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2
4
)
3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1)
−3
4
3
−
′
x2 − x + 1 x2 − x + 1 3
1 x2 − x + 1 3 x2 − x + 1
=
→ y′ = .
.
=
x+3
3 x+3 x+3
x+3
3
3
−
−
′
1 x 2 − x + 1 3 (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1 1 x 2 − x + 1 3 x 2 + 5 x − 4
= .
.
= .
.
3 x+3
( x + 3) 2
( x + 3) 2
3 x+3
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn