81 bài tập trắc nghiệm phương trình mặt cầu cơ bản - Nguyễn Bảo Vương

NHÀ XUẤT BẢN VÌ DÂN ÔN THI THPT QUỐC GIA CHỦ BIÊN: NGUYỂN BẢO VƯƠNG 81 BTTN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CƠ BẢN TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH THƯỜNG GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 MẶT CẦU TRONG KHOÂNG GIAN Phöông phaùp: 1) Laäp phương trình maët caàu: Ñeå laäp phöông trình maët caàu ta caàn tìm taâm I(a; b;c) vaø baùn kính R . Khi ñoù phöông trình maët caàu coù daïng: (x a)2 (y b)2 (z c)2 R 2 (1). Ngoaøi ra ñeå laäp phöông trình maët caàu ta coù theå tìm caùc heä soá a, b,c,d trong phöông trình : x 2 y2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 (2). Vôùi taâm I(a; b;c) , baùn kính R 2 a 2 b2 c2 d 0 . Moät maët caàu ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát taâm vaø baùn kính hoaëc bieát ñöôøng kính. 2) Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng: Cho maët caàu taâm I , baùn kính R vaø maët phaúng ( ) , h d I,( ) , H laø hình chieáu cuûa I leân maët phaúng h R thì ( h R thì ( h R thì ( ( ) ) ) ). vaø maët caàu (I) khoâng giao nhau vaø maët caàu (I) tieáp xuùc nhau taïi H vaø maët caàu (I) caét nhau theo giao tuyeán laø ñöôøng troøn taâm H , baùn kính r R2 h2 . 3) Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø ñöôøng thaúng: Cho maët caàu taâm I , baùn kính R vaø ñöôøng thaúng , h d I, , H laø hình chieáu cuûa I leân maët phaúng . vaø maët caàu (I) khoâng giao nhau h R thì vaø maët caàu (I) tieáp xuùc nhau taïi H . Hay laø tieáp tuyeán cuûa maët caàu (I) . h R thì vaø maët caàu (I) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B vaø H laø trung ñieåm h R thì AB2 h2 . 4 Ví dụ 1 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz , cho ñieåm A(0;0; 2) vaø ñöôøng thaúng x 2 y 2 z 3 . Tính khoaûng caùch töø A ñeán . Vieát phöông trình maët caàu taâm : 2 3 2 taïi hai ñieåm B vaø C sao cho BC 8 A , caét cuûa daây cung AB , do ñoù: R 2 Lời giải. Ñöôøng thaúng qua M 2; 2; 3 vaø coù u 2;3; 2 vtcp; d A, AM, u 3 u Goïi H laø hình chieáu cuûa A leân Vaäy baùn kính maët caàu laø AB Neân phương trình maët caàu laø x 2 thì AH AH 2 y2 3 vaø H laø trung ñieåm cuûa BC neân BH BH 2 z 2 4. 5. 2 25 . Ví dụ 2 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz : 1 x 1 y 3 z vaø maët phaúng (P) : 2x y 2z 0 . 2 4 1 Vieát phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng , baùn kính baèng 1 vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P) Ñeà thi ÑH Khoái D – 2011 Cho ñöôøng thaúng coù phöông trình: Lời giải. Goïi (S) laø maët caàu caàn tìm, I laø taâm. x Phöông trình tham soá ñöôøng thaúng Vì I : y 3 z t 4t I 1 2t;3 4t; t . Ta coù (P) tieáp xuùc vôùi (S) neân d(I, (P)) t 1 2t 2 t 2(1 2t) (3 4t) 2t 1 3 phương trình maët caàu (S) : (x 5)2 I(5;11;2) 1 1 (y 11)2 I( 1; 1; 1) , suy ra phương trình (S) : (x 1)2 t (z 2)2 (y 1)2 (z 1)2 2, t 1 1 1. Ví dụ 3 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeà caùc vuoâng goùc Oxyz cho I(1; 2; 2) vaø maët phaúng P : 2x 2y z 5 0 1. Laäp phöông trình maët caàu (S) taâm I sao cho giao cuûa (S) vôùi mp(P) laø ñöôøng troøn (C) coù chu vi baèng 8 ; 2. Chöùng minh raèng maët caàu (S) noùi trong phaàn 1 tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng : 2x 2 y 3 z ; 3. Laäp phöông trình maët phaúng (Q) chöùa ñöôøng thaúng vaø tieáp xuùc vôùi (S) . Lời giải. 1. Goïi R, r laàn löôït laø baùn kính cuûa maët caàu (S) vaø ñöôøng troøn (C). Ta coù: 2 r 8 4 vaø d(I,(P)) r Vaäy phöông trình maët caàu (S) : (x 1)2 2. Ñöôøng thaúng Suy ra AI coù u 3 neân R r2 (y 2)2 (z d 2 (I,(P)) 2)2 5. 25 . (1; 2; 2) laø VTCP vaø ñi qua A(1; 3;0) . [u , AI] (0;5; 2) [u , AI] ( 14; 2;5) d(I, ) 5 u Vaäy ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) . Caùch 2. 2 x : y Phöông trình tham soá cuûa 1 t 3 2t , thay vaøo phöông trình maët caàu (S) , z ta ñöôïc: t 2 (2t 5) 2 2t 2) 2 (2t 25 (3t 2) 2 0 2 3 t 5 5 4 giao nhau taïi moät ñieåm M( ; ; ). 3 3 3 Suy ra maët caàu (S) vaø Vaäy ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) taïi M . 3. Vì mp(Q) chöùa caàu (S) vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) neân M laø tieáp ñieåm cuûa mp(Q) vaø maët Do ñoù (Q) laø maët phaúng ñi qua M vaø nhaän IM 2 11 10 laøm VTPT. ; ; 3 3 3 Vaäy phương trình maët phaúng (Q) : 2x 11y 10z 35 0. Ví dụ 4 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz 1. Laäp phöông trình maët caàu (S) ñi qua ñieåm M(1; 5; 2) vaø qua ñöôøng troøn (C) laø giao cuûa mp ( ) : 2x 2y z 0 vaø maët caàu (S') : x 2 y2 x t 9 2. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa d : y z phaúng (P) vaø maët caàu (S) : x r 1. 2 y 2 z 2 2x 2 6 2y z2 2x 4y 4z 40 0 t sao cho giao tuyeán cuûa maët 2t 2z 1 0 laø ñöôøng troøn coù baùn kính Lời giải. 1. Caùch 1. Maët caàu (S') coù taâm I '( 1;2;2), R ' troøn (C) toàn taïi vaø coù baùn kính r Ta coù I 'H ( ) x I 'H : y z x y 1 2t 2 2t z 2 t 2x 2y z 9 0 2 22 4 2 22 9 ( 1)2 3 R ' neân ñöôøng 2 10 . Goïi H laø taâm cuûa (C) 1 2t 2 2t . Suy ra toïa ñoä cuûa H laø nghieäm cuûa heä 2 t x y z 7 , d(I ', ( )) 3 0 3 H( 3;0;3) 3 Goïi d laø ñöôøng thaúng ñi qua taâm H vaø vuoâng goùc vôùi ( ) , suy ra phương trình cuûa x 3 2t d : y 2t . z 3 t Goïi I laø taâm cuûa maët caàu (S) , vì (S) ñi qua ñöôøng troøn (C) neân I d Suy ra I( 3 2t;2t;3 t) MI (2t 4;2t Maët khaùc, ta coù: IM2 d 2 (I,( )) (2t t 1 r2 I( 5; 2;4), R Vaäy phương trình (S) : (x IM 5)2 (y 9t 5;1 t) , d(I, ( )) 4)2 5) 2 (2t 3 (1 t) 2 3t 40 9t 2 7. 2)2 49 . (z 4)2 Caùch 2. Vì maët caàu (S) ñi qua ñöôøng troøn (C) neân phöông trình (S) coù daïng: x2 y2 x2 z2 y2 2x z2 4y 4z 40 (2 Vì M(1; 5;2) (S) (2x 2y z 2 )x (4 2 )y (4 44 10 40 9 Vaäy phöông trình maët caàu (S) : x 2 y2 9) 0 0. )z 40 9 4. 0 z2 10x 0. 4y 8z 4 2. Ñöôøng thaúng d ñi qua A(0; 2; 6) vaø coù u (1;1; 2) laø VTCP Phương trình cuûa (P) coù daïng: ax b(y 2) c(z 6) 0 Hay ax by cz 2b 6c 0 Trong ñoù a 2 b2 c2 0 vaø a b 2c 0 Maët caàu (S) coù taâm I( 1;1; 1) , baùn kính R Theo giaû thieát, ta suy ra d(I,(P)) a 3b 5c 3 4b Do ñoù: a 2 b2 c2 (4b 7c)2 3(2b 2 4bc 5c2 ) R2 7c 5b 2 r2 b 2c (1) a 2 3 2c)2 b2 c2 22bc 17c 2 0 b 3. (b c, b 17 c 5 c ta choïn c 1 b 1 a 1 (P) : x y z 4 0 17 b c ta choïn c 5 b 17 a 7 (P) : 7x 17y 5z 4 0 . 5 Ví dụ 5 Laäp phöông trình maët phaúng (P) bieát: 1. (P) chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau coù phöông trình: x y 1 z 1 x 2 y 2 z , 2: . 1: 1 1 1 2 3 1 2. (P) chöùa hai ñöôøng thaúng song song coù phöông trình: x 2 y 2 z x 2 y 1 z 3 , . 2 : 3: 2 3 1 2 3 1 b 4 3. (P) chöùa ñöôøng thaúng 2 2 1 vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu coù phöông trình: 2 (S) : x y z 8x 2y 4z 7 0. 4. (P) chöùa ñöôøng thaúng 3 vaø caét maët caàu (S) theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính lôùn nhaát. 5. (P) chöùa ñöôøng thaúng 2 vaø caét maët caàu (S) theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 210 . 6 Lời giải. 1. Ñöôøng thaúng vaø u 2 (2; 3; 1 qua M1 (0; 1; 1) vaø u 1 (1; 1; 1). Ñöôøng thaúng 2 qua M2 ( 2; 2; 0) 1). Caëp veùc tô chæ phöông cuûa (P) laø u 1 (1; 1; 1) vaø u 2 (2; tuyeán cuûa (P) laø n (P) u 1;u 2 (2; 3; 1), neân moät veùc tô phaùp 3; 5). Phöông trình maët phaúng (P) chöùa hai ñöôøng thaúng 1 vaø 2 laø 2(x 0) 3(y 1) 5(z 1) 0 2x 3y 5z 2 2. Ñöôøng thaúng 3 qua M3 ( 2; 1; 3) vaø u 3 ( 2; 3; 1). Caëp veùc tô chæ phöông cuûa (P) laø u 2 (2; tuyeán cuûa (P) laø n (P) u 2 ; M 2 M3 3; 1) vaø M2 M3 (0; 0. 1; 3) neân moät veùc tô phaùp 2(5; 3; 1). Phöông trình maët phaúng (P) chöùa hai ñöôøng thaúng 2 vaø 3 laø 5(x 2) 3(y 1) 1(z 3) 0 5x 3y z 3. Vì (P) chöùa ñöôøng thaúng 1 neân (P) ñi qua hai ñieåm thuoäc 4 0. 1 laø ñieåm M1 (0; 1; 1) vaø N1 (1; 0; 0). Phöông trình maët phaúng (P) qua M1 coù daïng a(x 0) b(y 1) Vì (P) qua N1 neân c b a. c(z 1) 0, a 2 b2 c2 Maët caàu (S) coù taâm I(4; 1; 2) vaø baùn kính R 14. (P) tieáp xuùc vôùi (S) khi vaø chæ khi d(I; (P)) R, hay 4a b.0 ( b a).( 1) 14 5a b 14(2a 2 2 2 2 a b ( b a) 0. 2ab 2b 2 ) a 2 6ab 9b 2 0 a 3b. 1 thì a 3; c Choïn b 2 neân phöông trình maët phaúng caàn tìm laø (P) : 3x y 2z 3 0. 4. Ñöôøng troøn giao tuyeán coù baùn kính lôùn nhaát khi vaø chæ khi ñöôøng troøn ñoù qua taâm maët caàu. Töùc laø maët phaúng (P) chöùa 1; 2). Ta coù 3 vaø ñi qua taâ m I(4; u 3 ( 2; 3; 1) n (P) u 3 ; IM3 vaø IM3 ( 6; 2; 5) neân moät veùc tô phaùp tuyeán cuûa (P) laø (13; 4; 14). Phöông trình maët phaúng caàn tìm laø (P) : 13x 4y 14z 20 0. 5 5. Vì (P) chöùa ñöôøng thaúng vaø N2 (0; 1; 2 neân (P) ñi qua hai ñieåm thuoäc 2 laø ñieåm M2 ( 2; 2; 0) 1). Phöông trình maët phaúng (P) qua M1 coù daïng a(x 2) b(y 2) Vì (P) qua N 2 neân c 2a 3b. c(z 0) 0, a 2 b2 c2 0. Maët phaúng (P) caét maët caàu (S) theo giao tuyeán laø ñöôøng troøn coù baùn kính baèng r 210 neân 6 d 2 (I; (P)) Do ño ù R2 r2 210 49 d(I; (P)) 36 6 (2a 3b).( 2) 6a 3b 7 6 a2 6 2a 221a 2 3b 7 . 6 14 b2 (2a 3b)2 7 5a 2 12ab 10b 2 435b 2 660ab 0 a 218 b. 221 2; c 1 neân phöông trình maët phaúng 2b; a Neáu a 2b thì choïn b 1 ta coù a (P) : 2x y z 2 0. 218 Neáu a b thì choïn b 221 ta coù a 218; c 221 (P) : 218x 221y 227z 6 0. Vaäy coù hai maët phaúng thoûa maõn laø (P) : 2x y z 2 0 vaø (P) : 218x 227 neân phöông trình maët phaúng 221y 227z 6 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ? A. x2  y 2  z 2  2 x  0. B. x2  y 2  z 2  2 x  y  1  0. C. 2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1. D.  x  y   2 xy  z 2  1. 2 2 Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ? A. 2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1. B. x2  y 2  z 2  2 x  0. C. x2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0. D.  x  y   2 xy  z 2  1  4 x. 2 2 Câu 3. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ? A.  x  1   2 y  1   z  1  6. B.  x  1   y  1   z  1  6. C.  2 x  1   2 y  1   2 z  1  6. D.  x  y   2 xy  z 2  3  6 x. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 Câu 4. Cho các phương trình sau:  x  1 2 x 2   2 y  1  z 2  4 2  y2  z2  1  2 x  1   2 y 1 x2  y 2  z 2  1  0 2 2  4 z 2  16 . Số phương trình là phương trình mặt cầu là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 5. Mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z 2  9 có tâm là: 2 A. I 1; 2;0  . 2 B. I  1; 2;0  . C. I 1; 2;0  . D. I  1; 2;0  . Câu 6. Mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  8x  2 y  1  0 có tâm là: A. I  4; 1;0  . B. I  4;1;0  . C. I  8; 2;0  . D. I 8; 2;0  . Câu 7. Mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  4 x  1  0 có tọa độ tâm và bán kính R là: A. I  2;0;0  , R  3. B. I  2;0;0  , R  3. C. I  0; 2;0  , R  3. D. I  2;0;0  , R  3. Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm I  1; 2; 3 , bán kính R  3 là: A.  x  1   y  2    z  3  9. B.  x  1   y  2    z  3  3. C.  x  1   y  2    z  3  9. D.  x  1   y  2    z  3  9. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 9. Mặt cầu  S  :  x  y   2 xy  z 2  1  4 x có tâm là: 2 A. I  2;0;0  . B. I  4;0;0  . C. I  4;0;0  . D. I  2;0;0  . Câu 10. Đường kính của mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  1  4 bằng: 2 A. 4. B. 2. D. 8. D. 16. Câu 11. Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I  1;1;0  ? A. x2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0. B. x2  y 2  z 2  2 x  2 y  0. 7