260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học

260 PH NG TRÌNH TRONG CÁC THIỆ ƯƠ Ề1/ Gi ph ng trình: ươx x22 16+ Gi i: ặt x2 1= 0. (2) 3=2/ Gi ph ng trình: ươx xx12 102 1-- +³-Gi i:ả x0 1< 3/ Gi ph ng trình: ươx x84 821 1log 3) log 1) 3log (4 )2 4+ .Gi i:ả (1) x( 3) 4+ 3; =3 3- 4/ Tìm ph ng trình sau có nghi ươ ệ0; 3é ùÎ +ë :()m x22 (2 0- £(2) Gi iả ặ2t 2x 2= (2) -£ ++2t 2m (1 2),dox [0;1 3]t 1Kh sát ả2t 2g(t)t 1-=+ 2. g'(t) 22t 2t 20(t 1)+ += >+ tăng trên [1,2]ậDo đó, ycbt Ûbpt 2t 2mt 1-£+ có nghi [1,2] []tm g1;22max (2)3Σ 5/ Gi ph ng trình ươx yx y4 22 24 02 22 0ìï- =í+ =ïî (2)Gi i:ả (2) 22 2( 2) 3) 4( 4)( 3) 20 0ì- =ïí- =ïîx yx ặ223ì- =í- =îx uy Khi đó (2) 24. 4( 8ì+ =í+ =îu vu 20=ìí=îuv ho 02=ìí=î uv 23=ìí=îxy ;23=-ìí=îxy ;25ì=ïí=ïîxy ;25ì=-ïí=ïîxy 6/ 1) Gi ph ng trình: ươ2 15.3 7.3 6.3 0x x- +- (1)2) Tìm các giá tr tham ph ng trình sau có nghi phân bi t:ấ ươ ệx xx ax b233 322( 5)log 1) log 1) log )log 5) log )- +ì+ >ïí- =ïî Gi i: 1) ặ3 xt (1) 25 0- =t 33log log 55= =-x x2) 233 322( 5)log 1) log 1) log )log 5) log )- ++ >ìïí- =ïîx xx ax b Gi (a) 3. Xét (b): ặ22log 5)= +t (1; 3) (2; 3).(b) 25- =t Xét hàm 2( 5= -f BBT 25; 64æ öÎ -ç ÷è øm 7/ Gi ph ng trình:ả ươ 32 28 27 184 6ì+ =ïí+ =ïîx yx yGi i:ả (2) xyx xy y333(2 183 32 3ìæ öï+ =ç ÷ïè øíæ öï+ =ç ÷ïè øî 2x; ặy3. (2) bab31ì+ =í=î đã cho có nghi m: ệ3 6; ;4 43 5æ ö- +ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷+ -è 8/ Gi ph ng trình sau trên th c: ươ ự1 12 2£+ -x (1)Gi i: ớ122- x nên (1) luôn đúng ớ1 52 2< Û Ûìêêê< <íëëê+ -îëtxttt xt 1028 16é< £êÛê< <ë xx 11/ Gi ph ng trình: ươ2 2log 1) 5) log( 1) 0+ =x xGi i:ả ặ2log( 1)+ =x PT 2 2( 5) 5+ =-y Nghi m: ệ99999=±x 12/ Gi ph ng trình: ươ318 1++ -x Gi i:ả ặ312 0; 1+= =x xu PT 333 201 22 01 )( 2) 0= >ì ì+ =ìï ïÛ Ûí í- =+ =ï ïîî îu vu vu uv uv 201 5log2=éê- +ê=êëxx 13/ Tìm ph ng trình: ươ()2 22 224ì- =ïí+ =ïîx ym có ba nghi phân bi tệ ệGi i:ả PT 222( 1) 2( 3) (1)21ì- =ïí+=ï+îm mxyx Khi 1: PT 2222 0( )21ì+ =ïí+=ï+îxVNxyx Khi 1. xặ 0³t. Xét 2( 1) 2( 3) (2)= =f mH PT có nghi phân bi (1) có ba nghi phân bi ệ (2) có nghi và nghi ()(0) 0... 22 301=ìïÛ =-í= >ï-îfmmSm 14/ Tìm ph ng trình có nghi m: ươ ệ11 3ì+ =ïí+ -ïîx yx .Gi i: ặ, 0, 0)= ³u PT 3111 3+ =+ =ììÛí í=+ -îîu vu vuv mu ĐS: 104£ £m 15/ Tìm ph ng trình sau có nghi m: ươ ệ( 1) 4( 1)1- =-xx mxGi i: ặ( 1)1xt xx= -- PT có nghi khi ệ24 0t m+ có nghi m, suy ra ệ4m³ 16/ Gi ph ng trình: ươ x.2x 2x Gi i:ả Nh xét; ±1 là các nghi PT. PT ủ2 132 1+Û =-xxx vào tính đi PT ch có các nghi 1. 17/ Gi ph ng trình: ươ2 22 23 )1 )ì+ =ïí+ =ïîx xy ax bGi (b) 22 1).( 1) 14 11+ =x xy xy xy (c)Đ xy p. ặ22311( 11353 26 105 03=é£ìêÛ Û-íê=+ =îêëppc ppp p(a) ()23 3+ +x xy xy 353- (lo i)ạ xy 3+ =±x 1/ ớ332 3=ìïÞ =í+ =ïîxyx yx 2/ ớ332 3=ìïÞ =-í+ =-ïîxyx yx có hai nghi là: ệ()()3; 3; 3- 18/ Gi ph ng trình: ươ22 121log (4 1) 2) log2æ ö- -ç ÷è øx xGi i:ả BPT 01)x21(logx2 12æ ö<ç ÷è øx 21x41 ho 0ặ 19/ Gi ph ng trình: ươ221 4( 1)( 2)ì+ =ïí+ =ïîx yx R)Gi i:ả không ph là nghi m. PT 2212 21( 2) 1ì++ =ïïí+ï+ =ïîxx yyxx yy ặ21, 2+= -xu yy Ta có ệ211+ =ìÛ =í=îu vu vuv 2112 1ì+=ïíï+ =îxyx yNghi hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5).ệ 20/ Tìm sao cho ph ng trình sau có nghi duy nh t: ươ ấln( ln( 1)= +mx xGi i:ả 1) ĐKXĐ: 1, 0>- >x mx Nh tr ph có ướ 0¹m.Khi đó, PT 2( 1) (2 0= =mx (1)Ph ng trình này có: ươ24D= -m ớ(0; 4)Îm (1) vô nghi m. ệ 0=m, (1) có nghi duy nh 1=-x< lo i. 4=m, (1) có nghi duy nh tho ĐKXĐ nên PT đã cho có nghi duy nh t.ệ ấ 0f nên 21 0<- m. Khi đó, đi ki xác nh tr thành và (1) cũng có hai nghi phân bi tệ ệ()1 2,mcũng lo i.ị ạTóm i, ph ng trình đã cho có nghi duy nh khi và ch khi: ươ ỉ{}( 0) 4Î Èm 21/ Gi ph ng trình: ươ2 22 291 (1)91 (2)ì+ +ïí+ +ïîx yy xGi i:ả Đi ki n: và (1) tr (2) theo ta c:ề ượ 291 91 2+ -x 22 2( )( )2 291 91- -Û +- -+ +x xy xy xx 1( 02 291 91æ ö+ç ÷Û =ç ÷- -+ +è yx yx yx yÛ (trong ngo luôn ng và và 2)ặ ươ ơV trên ta có: ệ2 291 2+ +x 291 10 9Û -x x22 3( 3)( 3)2 191 10 -Û +- ++ +x xx xxx 21 1( 3) 3) 02 191 10æ öæ öÛ =ç ÷ç ÷ç ÷- ++ +è øè øx xxx nghi 3ậ 22/ Gi ph ng trình: ươ2 2log 6) log (7 10 )+ -x xGi i:ả Đi ki n: ệ1103- £xBPT 23 6log log (7 10 )2+ +³ -xx Þ3 67 102+ +³ -xx 2(7 10 )+ -x 10 8+ ³x 49x 418x 369 36949 (tho )ả 23/ Gi ph ng trình: ươ2 22 1) 0+ =x xGi i:ảĐ t: ặ2 22 22 22 2222 12 212 32 3, 02ì- +ìì= +ï ïÞ Þí í- -= +=ï= >ï ïîîîv xu xv uv xxv PT )1( 01( )2 22 2- =éé +æ öê- Û+æ öç ÷ê úê+ =è øë ûç ÷êè øë bv uv uv uv cVì 0, 0, nên (c) vô nghi m. ệDo đó: PT 10 22- =-v 24/ Gi ph ng trình: ươ2 23 1- -x xGi i:ả xác nh: ị{}[)1; 2;2æ ù- +¥çúè là nghi mệ· x³ 2: BPT Û2 1- -x vô nghi mệ· x12£ BPT Û2 2- -x có nghi xệ12£Þ BPT có nghi S= ệ{}1; 12æ ù- Èçúè 25/ Gi ph ng trình: ươ2 22( 1) 5- -x .Gi i:ả Đi ki n: ệ13³ -x .PT ()()() 22 2( 1) 2( 1) 0é ù+ =ë ûë ûx x26/ Gi ph ng trình:ả ươx xy yx y3 36 02ìï- =í- =ïîGi i:ả xy yx y3 36 (1)2 (2)ìï- =í- =ïî. Ta có: (1) 2( yx 4é=ê=ë· (2) 2· 4y (2) y32 15; 15= 27/ Gi ph ng trình:ả ươx x2 23 tan 16p- =- +Gi i:ả PT 33 13- =- (1)Chú 21 1)( 1)+ +, 23 2( 1) 1)- +Do đó: (1) x2 232( 1) 1) 1)( 1)3- =- .Chia cho ế()x x22 21 1+ và ặx xt tx x221, 01- += >+ Ta c: (1) ượ t232 03+ tt302 313é-= <êêê=êë xx x221 131- +=+ x1= 28/ Gi ph ng trình:ả ươìï+ =í+ =ïîx yx xy x23 25 93 18Gi i:ả PT xx x+24 29 54 18 18 0ìï= -í+ =ïî yx yx yx y1; 33; 151 7; 71 7; 7é= =ê=- =ê=- +êê=- -ë 29/ Gi ph ng trình:ả ươx x3 12 1- +Gi i:ả BPT x3 4£ 30/ Gi ph ng trình:ả ươx xyx y2 01 2ì- =ïí- =ïî .Gi PT ()() yx 01 2ì+ =ïí- =ïî yx 01 2ì- =ïí- =ïî yy 44 1ì=í- =î xxxx29 5131 7ì= -ïïé=íê=-ïêï=- ±ëîÛ xy 212ì=ïí=ïî 31/ Gi ph ng trình:ả ươx yx y3 32 28 27 (1)4 (2)ì+ =ïíï+ =îGi i:ảT (1) 0. Khi đó PT yx xy y3 32 38 27 74 6ìï+ =í+ =ïî xyt t3 28 27 6ì=í+ +î xyt t3 9; ;2 2ì=ïí=- =ïî ớt32=- (1) (lo i).ạ ớt 12= (1) y331; 42 4æ ö= =ç ÷è ø ớt 92= (1) y333; 42 4æ ö= =ç ÷è 32/ Gi ph ng trình:ả ươx xx x3 .2 1= +Gi iả PT xx x3 (2 1) 1- (1). Ta th ấx 12= không ph là nghi (1).ả ủV ớx 12¹ ta có: (1) xxx2 132 1+=- xxx2 13 02 1+- =-Đ ặx xxf xx x2 3( 22 1+= -- Ta có: xf xx26 1( ln3 0,2(2 1)¢= " ¹-Do đó f(x) ng bi trên các kho ng ả1;2æ ö- ¥ç ÷è và 1;2æ ö+¥ç ÷è Ph ng trình ươ f(x) có nhi nh ấnghi trên ng kho ng ả1 1; ;2 2æ ö- +¥ç ÷è .Ta th ấx x1, 1= =- là các nghi f(x) 0. PT có nghi ệx x1, 1= =- 33/ Gi ph ng trình:ả ươx x42 21 2- =Gi i:ả Đi ki n: ệxx x221 01ì- ³ïí³ -ïî 1. Khi đó: x42 21 1+ (do 1) VT ()()CoâSix x4 482 21 1-- PT vô nghi m.ệ 34/ Gi ph ng trình:ả ươxyx yx yx y2 2221ì+ =ï+íï+ -îGi i:ả xyx yx yx y2 2221 (1)(2)ì+ =ï+íï+ -î Đi ki n: ệx y0+ .(1) xyx y21( 0æ ö+ =ç ÷+è y2 2( 1)( 0+ y1 0+ (vì y0+ nên y2 20+ )Thay 1= vào (2) ta c: ượx x21 (1 )= 22 0+ yx y1 0)2 3)é= =ê=- =ëV có nghi m: (1; 0), (–2; 3).ậ 35/ Gi ph ng trình:ả ươx x32 0- =Gi i:ả Đi ki n: 65£. ặu xv x33 26 5ìï= -í= -ïî xv x323 26 5ìï= -í= -ïî .Ta có PT: vu 22 85 8ì+ =í+ =î Gi này ta ượuv24ì=-í=î xx3 26 16ì- =-í- =î x2=- .Th i, ta th ấx2=- là nghi PT. PT có nghi ệx2=- 36/ Gi ph ng trình:ả ươ2 23 32 12 2y xx xì- =ïí- -ïîGi i:ả Ta có: ()()3 32 0x xy y- =Khi 0y thì VN. Khi 0y ¹, chia cho ế30y¹ ta c: ượ3 22 0x xy yæ ö+ =ç ÷è øĐ xty=, ta có 22 1t t+ =21, 11y xx yy=ìïÛ =-í=ïî 37/ Tìm các giá tr tham sao cho ph ng trình ươ ì- =í+ =î my xy21 có nghi duy nh t.ệ ấGi i:ả ì- =í+ =îy my xy2 (1)1 (2) (1) -x m2 nên (2) -y my y22 1ì£ïÛí= +ïîym yy112 (vì 0)Xét ()()= >f yyy21 12 ' 0D vào BTT ta lu có nghi duy nh ượ ấÛ >m2 38/ Gi ph ng trình:ả ươ()x xyx y3 32 23 49ìï- =í=ïîGi i:ả Ta có 29 3x xy= =± . Khi: 3xy= ta có: 34x y- và ()3 3. 27- =-x ySuy ra: ()3 3;-x là các nghi ph ng trình: ươ24 27 31X X- ±V nghi PT là: ệ3 32 31, 31x y= =- ho ặ3 32 31, 31x y= =- . Khi: 3xy=- ta có: 34x y- =- và ()3 3. 27- =x Suy ra: ()3 3;x y- là nghi ph ng trình: ươ 24 27 )+ =X PTVN 39/ Gi ph ng trình:ả ươyxx yxx yy2 22 232 114 22ì+ =ïï+ -íï+ =ïîGi i:ả Đi ki n: ệx y2 20, 0, 0¹ ặxu vy2 21;= PT tr thành: ởu vu v3 21 (1)1 22 21 (2)ì ìï ï+ =Ûí íï ï+ -î Thay (2) vào (1) ta c: ượvv vvv v233 21 13 21 0721 42é=ê+ Û=ê-ë thì 9, ta có PT: ệx yx xx yxy yx yy2 22 21 93 3101 133ì+ =ìïì ì= =-+ =Û Úí í= =-==î îîïî ếv 72= thì 7, ta có PT: ệy yx yx yxx yyx x2 22 22 24 41 7853 53772 2214 14253 53ì ììì= =-+ =ï ï+ =ï ïÛ Úí í==ï ï= =-îîï ïî îSo sánh đi ki ta nghi PT.ề ượ 40/ Gi ph ng trình:ả ươ()23 22 8x xyx yì- =ïí- =ïî Gi i: ả()23 (1)2 (2)ì- =ïí- =ïîx xyx Đi ki ệ. ;x y³ ³Ta có: (1) 23( (3 )( 0- =x xy y33yx hay xÛ = ớ3x y= th vào (2) ta ượ26 4y y- có nghi ệ6 12;2 4x xy y= =ì ìí í= =î î ớ3 yx =, th vào (2) ta ượ23 24 0y y- Vô nghi m.ệK lu n: ph ng trình có nghi là: ươ ệ6 12;2 4x xy y= =ì ìí í= =î î41/ Gi ph ng trình:ả ươ2 22 21 4( 2x xy yy yì+ =í+ +î Gi i:ả PT 0y ¹. Khi đó ta có: 22 22 222141 4.( 21( 7xx yyx xy yy yxx yyì++ =ïì+ =ïÛí í+ ++îï+ =ïîĐ ặ21,xu yy+= ta có ệ2 24 3, 12 15 5, 9u uv u+ =ì éÛ Ûí íê- =- =î ë ớ3, 1v u= ta có :ệ2 21, 21 02, 53 3x yx xx yx x= =ì ì+ =éÛ Ûí íê=- =+ -ëî . ớ5, 9v u=- ta có ệ2 21 46 05 5x xx xì ì+ =Û Ûí í+ =- =- =- -î này vô nghi m.ệ ệK lu n: đã cho có hai nghi m: (1; 2), 2; 5) -. 42/ Gi ph ng trình:ả ươx x21 3+ +Gi i:ả Đi ki 0³. PT 24 xx xx x2 1(2 1)(2 1) 03 1-+ =+ + xx x1(2 1) 03 1æ ö- =ç ÷+ +è x2 0- 12= 43 Gi ph ng trình: ươ21 21 22 log 2) log 1) 6log 5) log 4) 1x yx yxy xy x- +- +ì- =ïí+ +ïîGi i:ả Đi ki n: ệ22 0, 0, 0, 0(*)0 1, 1ì- >í< ¹îxy xx yH PT 21 22 log [(1 )( 2)] log (1 log 2) log (1 (1)log 5) log 4) log 5)log 4) (2)- +- +- =ì ìï ïÛí í+ +ï ïî îx yx yx xy xĐ ặ2log (1 )yx t+- thì (1) tr thành: ở212 1) 1.t tt+ =V ớ1t= ta có: (3)- =- -x Th vào (2) ta có:ế21 14 4log 4) log 4) log 04 4x xx xx xx x- -- +- =+ +02xx=éÛê=-ë ớx0= y1=- (không tho (*)).ả ớx2=- 1= (tho (*)).ảV có nghi duy nh ấ2, 1x y=- 44/ Gi ph ng trình: ươ()xx xxx 1224 2.2 3.log 4+>