234 bài tập trắc nghiệm phương trình mặt phẳng cơ bản - Nguyễn Bảo Vương

ÔN THI THPT QUỐC GIA NGUYỄN BẢO VƯƠNG TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP 234 BTTN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH THƯỜNG GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 LAÄP PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG Phöông phaùp: 1) Ñeå laäp phöông trình cuûa moät (P) ta caàn tìm moät ñieåm maø (P) ñi qua vaø moät VTPT cuûa (P) . Khi tìm VTPT cuûa (P) chuùng ta caàn löu yù moät soá tính chaát sau : Neáu giaù cuûa hai veùc tô khoâng cuøng phöông a, b coù giaù song song hoaëc naèm treân (P) thì n a, b laø moät VTPT cuûa (P) . Neáu hai maët phaúng song song vôùi nhau thì VTPT cuûa maët phaúng naøy cuõng laø VTPT cuûa maët phaúng kia. Neáu (P) chöùa (hoaëc song song) vôùi AB thì giaù cuûa veùc tô AB seõ naèm treân (hoaëc song song) vôùi (P) . Neáu (P) (Q) thì VTPT cuûa maët phaúng naøy seõ coù giaù naèm treân hoaëc song song vôùi maët phaúng kia. Neáu (P) AB thì AB laø moät VTPT cuûa (P) . Thoâng thöôøng ñeå laäp phöông trình maët phaúng ta thöôøng ñi tìm caëp veùc tô coù giaù song song hoaëc naèm treân (P) , töø ñoù tìm ñöôïc VTPT cuûa (P) . 2) Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät Maët phaúng (  ) ñi qua ba ñieåm khoâng truøng vôùi goác toïa ñoä A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) x y z coù phöông trình 1. a b c Caùc maët phaúng toïa ñoä (Oyz) : x 0, (Ozx) :y 0, (Oxy) : z 0. Maët phaúng ( ) qua goác toïa ñoä Ax By Cz 0. Maët phaúng ( ) song song (D 0) hoaëc chöùa (D 0) truïc Ox coù daïng By Cz D 0. Maët phaúng ( ) song song (D 0) hoaëc chöùa (D 0) truïc Oy coù daïng Ax Cz D 0. Maët phaúng ( ) song song (D 0) hoaëc chöùa (D 0) truïc Oz coù daïng Ax By D 0. Maët phaúng ( ) song song (D 0) vôùi maët phaúng (Oxy) coù phöông trình laø Cz D 0. Maët phaúng ( ) song song (D 0) vôùi maët phaúng (Oyz) coù phöông trình laø Ax D 0. Maët phaúng ( ) song song (D 0) vôùi maët phaúng (Ozx) coù phöông trình laø By D 0. Ví dụ 1.2.6 Cho tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A. Troïng taâm tam giaùc laø G(3; 6; 1) vaø trung ñieåm cuûa BC laø M(4; 8; 1). Ñöôøng thaúng BC naèm trong maët phaúng 2x y 2z 14 0. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B,C. Lời giải. 1 Goïi toïa ñoä A(x A ; yA ; z A ). Ta coù: GA(x A Vì GA 3; yA 6; z A 1), MG( 1; 2; 2). xA 3 2 xA 1 2MG neân y A 6 4 yA 2 zA 1 4 zA 5 Do B thuoäc maët phaúng 2x y 2z 14 0 A(1; 2; 5). B(a; 14 2a Suy ra MB(a 4; 6 2a 2b; b 1), MA( 3; Tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A neân phải có: MA MA a 2 2b (2 2b) 2 a 2 2b b 1 Neáu a 2; b Neáu a 10; b MA 0 6; 6). 3(a (a MB 4) 6(6 2a 4)2 a (2 3 b 1 MA.MB MB MB 3 2b) 2 (b 1) 2 a 2 2b b 2 b 2; a b 4 4; a 2b) 2b) 2 (6 2a 6(b 1) (b 1) 2 0 81 2 2b (b 1) 2 81 b 2b; b). 2 10 9 . 2 thì B( 2; 14;2), C(10; 2; 4). 4 thì B(10; 2; 4), C( 2; 14;2). Ví dụ 2.2.6 Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz , 1. Cho caùc ñieåm A(1;0;0), B(0;b;0) , C(0;0;c) , trong ñoù b, c döông vaø maët phaúng (P) : y z 1 0 . Xaùc ñònh b vaø c , bieát maët phaúng (ABC) vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) 1 vaø khoaûng caùch töø ñieåm O ñeán maët phaúng (ABC) baèng . 3 2. Cho caùc ñieåm A(5; 3; 1), C(2;3; 4) laø caùc ñænh cuûa hình vuoâng ABCD. Tìm toïa ñoä ñieåm D bieát ñieåm B naèm treân maët phaúng coù phöông trình ( ) : x y z 6 0. Lời giải. 1. Phöông trình (ABC) : (P) 1 b Maø d(O, (ABC)) 1 3 Vì (ABC) Vaäy b c 1 c y b 0 b b b 1 laø giaù trò 2 2. Taâm hình vuoâng I x 1 7 ; 3; 2 2 2 z c c 1 3 1 (ABC) : bx b 1 (do b 2 y z b 0. 0 ). an tìm. 5 . 2 Goïi B(x; y; z) thì AB(x 5; y 3; z 1), CB(x 2; y 3; z 4). 2 B ( ) Ta coù AB CB AB.CB x x y z 6 z 1 0 (x 5)(x 0 0 2) (y 3) 2 Giaûi ra ta coù B(2; 3; 1) hoaëc B(3; 1; 2). Suy ra caùc ñieåm caàn tìm töông öùng laø D(5; 3; (z 1)(z 4) 0 4) hoaëc D(4; 5; 3). Ví dụ 3.2.6 Trong khoâng gian Oxyz 1. Cho 2 ñieåm A(2;0;1), B(0; 2;3) vaø maët phaúng (P) : 2x y z 4 0 . Tìm toïa ñoä ñieåm Ñeà thi ÑH Khoái A – 2011 M thuoäc (P) sao cho MA MB 3 2 2 2 2. Cho maët caàu (S) coù phương trình x y z 4x 4y 4z 0 vaø ñieåm A(4; 4;0) . Vieát phöông trình maët phaúng (OAB) , bieát B thuoäc (S) vaø tam giaùc OAB ñeàu. Ñeà thi ÑH Khoái A – 2011 Lời giải. 1. Goïi E laø trung ñieåm AB ta coù: E(1; 1; 2) , AB ( 2; 2; 2) Phöông trình maët phaúng trung tröïc (Q) cuûa AB coù phöông trình: x Vì MA MB neân suy ra M (Q) M (P) (Q) Goïi M(a;b;c) suy ra: Maët khaùc: MA 2 Giaûi ra ta ñöôïc a 9 2a b c 4 0 a b c 2 0 1 a 1 2 2)2 (a 2 c 3 b 1 y z 2 0. 3 a 2 1 a 2 2 3 a 2 2 9. 6 7 0, a 6 4 12 . ; ; 7 7 7 Vaäy coù hai ñieåm thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø: M 0;1;3 , M 2. Xeùt B(a; b;c) . Vì tam giaùc AOB ñeàu neân ta coù heä: OA OA OB AB a2 (a b2 c2 4)2 a 32 (b 4) 2 c2 32 c b 4 2 32 a 0 2 a b 2 c 4 b 2 16 2b 2 8b Maø B (S) neân : a b c 4a 4b 4c 0 2 2 (4 b) b 16 2b2 8b 4(4 b) 4b 4c 0 Hay c 4 b2 4b 0 b 0, b 4 . Do ñoù B(4;0; 4) hoaëc B 0; 4; 4 . 2 2 B 0; 4; 4 ta coù OA,OB 2 16; 16;16 neân phöông trình (OAB) : x B(4;0; 4) ta coù OA,OB y z 0. 16; 16; 16 neân phöông trình (OAB) : x y z 0. Ví dụ 4.2.6 Trong khoâng gian Oxyz 3 1. Cho hai maët phaúng (P) : x y 0 vaø (Q) : x z 3 y z 1 0 . Vieát phöông trình maët phaúng (R) vuoâng goùc vôùi (P) vaø (Q) sao cho khoaûng caùch töø O ñeán (R) baèng 2 2. Cho ba ñieåm A(0;1;2), B(2; 2;1), C( 2;0;1) a) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø tìm toïa ñoä tröïc taâm tam giaùc ABC b) Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M thuoäc maët phaúng (P) : 2x 2y z 3 0 sao cho MA MB MC Lời giải. 1. Maët phaúng (P) coù n P Do (R) (R) (P) (Q) Suy ra (R) : x 1 nP , nQ 2 mp(R) coù n R z m Ta coù d(O;(R)) Vaäy (R) : x (1;1;1) laø VTPT, mp(Q) coù n Q z 2. a) Ta coù: AB m 2 1 0 1 m (2; 3; 1), AC (a;b 1;c 2), BH 2y 4z (a AB AB.CH 0 2a 3b c BH AC BH.AC 0 2a 0;b b a 2b 4c 0 (1) 6 2;c 1) CH Töø (1) vaø (2) suy ra a 0. 6 H (ABC) 2;b (2; 4; 8) laø moät VTPT cuûa AB, AC ( 2; 1; 1) Goïi H(a;b;c) laø tröïc taâm tam giaùc ABC Vì 2 0. mp(ABC) . Phöông trình mp(ABC) : x Ta coù: CH (1;0; 1) laø VTPT 0 2 2 (1; 1;1) laø VTPT. 5 0 c 3 0 (2) 2. 1;c Vaäy H(0;1; 2) . b) Giaû söû M(a;b;c) (P) Do 2a MA 2 MB2 2b 4c MB2 MC2 4a Töø (3) vaø (4) ta tìm ñöôïc: a 2b c 3 0 (3) 5 4a 4b 2c 4b 2c 2;b 9 4a 3;c 7 2c 9 5 2a 2a 3b c b 1 2 (4). Vaäy M(2;3; 7) laø ñieåm caàn tìm. Ví dụ 5.2.6 Trong khoâng gian Oxyz cho ñieåm A 2;0;0 , M 0; 3;6 . 1. Chöùng minh raèng maët phaúng P : x 2y 9 0 tieáp xuùc vôùi maët caàu taâm M baùn kính MO . Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm ? 4 2. Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa A, M vaø caét caùc truïc Oy, Oz taïi caùc ñieåm töông öùng B, C sao cho VOABC 3 Lời giải. 1. Ta coù OM Do d M, (P) 3 5 2.( 3) 9 12 22 OM , suy ra (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu taâm baùn kính 3 5 OM . Goïi H(a; b;c) laø toïa ñoä tieáp ñieåm Maët khaùc OH (P) H (P) a 2b 3 0 (1) a b a t; b 2t t 1 2 c 0 c 0 OH / /n P 3 3 6 . Vaäy H ; ;0 . 5 5 5 2. Giaû söû B(0;b;0),C(0;0;c) . Vì mp(Q) ñi qua A, B, C neân phöông trình cuûa : x y z (Q) : 1. 2 b c 3 6 6b Vì M (Q) (2) 1 c b c b 3 1 1 Khi ñoù: VOABC OA.OB.OC .2. bc 3 bc 9 (3) 3 6 b 3 2b 2 3b 9 0 2 Thay (2) vaøo (3) ta coù: 2b 3b 3 3. b 2b 2 3b 9 0 2 x y z b 3 c 3 (Q) : 1 3x 2y 2z 6 0 . 2 3 3 3 b c 6 (Q) : 3x 4y z 6 0 . 2 Ví dụ 6.2.6 Vieát phương trình maët phaúng ( ) bieát: 1. ( ) ñi qua A(1; 1;1), B(2;0;3) vaø ( ) song song vôùi Ox ; Thay vaøo (1) ta ñöôïc: t 4t 3 0 t 2. ( ) ñi qua M(3;0;1), N(6; 2;1) vaø ( ) taïo vôùi (Oyz) moät goùc Lời giải. 1. Vì ( ) song song vôùi Ox neân phương trình cuûa ay bz c a b c 0 c Do A, B ( ) neân ta coù: 3b c 0 a ( ) coù daïng: 0 3b , choïn b 2b Vaäy phương trình cuûa ( ) : 2y z 3 0 . 2. Vì M ( ) neân phương trình cuûa ( ) coù daïng: a(x 3) by c(x 1) 0 ax by 3 a Do N ( ) 3a 2b 0 b 2 2 . 7 thoûa cos 1 cx 3a c a 2,c 3 0 (1) 5 2 vaø i (1;0;0) laø VTPT cuûa (Oyz) neân ta coù: 7 2 9 2 49a 2 4 a 2 a c2 13a 2 4c2 c 3a 7 4 Maët khaùc cos a a 2 b2 c2 Ta choïn a 2 b 3,c 6. Töø ñoù ta coù phương trình cuûa ( ) laø: 2x 3y 6z 12 0 hoaëc 2x 3y 6z 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Chọn khẳng định sai A. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì kn (k ) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) . B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó. C. Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng: Ax By D.Trong Ax By Cz D không Cz D 0 (A2 B2 gian 0 (A2 C2 0) . Oxyz , B2 C2 mỗi phương trình dạng: 0) đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó. Câu 2. Chọn khẳng định đúng A. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương. B. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song song. C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau. D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Câu 3. Chọn khẳng định sai A. Nếu hai đường thẳng AB, CD song song thì vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) . 6 B. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vectơ AB, AC là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) . C. Cho hai đường thẳng AB,CD chéo nhau, vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD . D. Nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau thì vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) . Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng : Ax By Cz D 0. Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau: song song với mặt phẳng Oyz A. A 0, B B. D 0 khi và chỉ khi C. A 0, B 0,C 0, D 0 khi và chỉ khi song song với trục Ox. D. A 0, B 0,C 0, D 0 khi và chỉ khi song song với mặt phẳng Oxy . 0,C 0, D 0 khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ. Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0;c , a, b,c 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng ABC là: A. x a y b z c 1. B. x b y a z c 1. C. x a y c z b 1. D. x c y b z a 1. Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng : 3x z 0 . Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau: A. Oy . B. / / xOz . C. / /Oy . Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) là D. x 3z 2 / /Ox . 0 có phương trình song song với: A. Trục Oy. B. Trục Oz. C. Mặt phẳng Oxy. D. Trục Ox. 7 Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x 0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: 2y z 1 A. n(3; 2; 1) . B. n( 2;3;1) . C. n(3; 2;1) . D. n(3; 2; 1) . Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x 2y z 3 0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. n(4; 4; 2) . B. n( 2; 2; 3) . C. n( 4; 4; 2) . D. n(0;0; 3) . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;1 , B 1;3;3 , C 2; 4;2 . Một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng ABC là: A. n 9; 4; 1 . B. n 9; 4;1 . C. n 4;9; 1 . D. n 1;9; 4 . Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P) 2x y 5 0 A. ( 2;1; 5) . B. ( 2;1;0) . C. (1;7;5) . D. ( 2; 2; 5) . Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A( 1;2;0) và nhận n( 1;0; 2) là VTPT có phương trình là: A. x 2z 1 0 B. x 2z 5 0 C. x 2y 5 0 D. x 2y 5 0 Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 3; 2; 2 , B 3; 2;0 , C 0;2;1 . Phương trình mặt phẳng ABC A. 2x 3y C. 3x 6y 2y 1 0. 0. B. 4y 2z 3 D. 2y z 3 0. 0. Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 1;0;1), B( 2;1;1) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. x y 2 0. B. x y 1 0. C. x y 2 0. D. x y 2 0. Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A( 1;0;0) , B(0; 2;0) , C(0;0; 2) có phương trình là: A. 2x y z 2 0. B. 2x y z 2 0. 8 C. 2x y z 2 0. D. 2x y z Câu 16. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A : 2x 4y 6z 5 0 và :x 2y 3z 0. 2 1; 2;1 và hai mặt phẳng 0 . Tìm khẳng định đúng? A. Mặt phẳng đi qua điểm A và song song với mặt phẳng B. Mặt phẳng đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng C. Mặt phẳng không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng D. Mặt phẳng không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ; ; ; ; Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M 2; 1;3 và các mặt phẳng: :x 2 0, A. :y 1 0, / /Ox . :z 3 B. 0 . Tìm khẳng định sai. đi qua M . C. / / xOy . D. . Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng qua A 2;5;1 và song song với mặt phẳng Oxy là: A. z 1 0. B. x 2 0. C. y 5 0. D. 2x 5y z 0. Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng qua M 1; 4;3 và vuông góc với trục Oy có phương trình là: A. y 4 0. B. x 1 0. C. z 3 0. Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng D. x 4y 3z : 6x 3y 2z 6 0. 0 . Khẳng định nào sau đây không đúng ? A. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng B. Có một vectơ pháp tuyến u 6 bằng . 7 6,3, 2 . C. Chứa điểm A 1, 2, 3 . D. Cắt ba trục Ox,Oy,Oz . 9