10 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 có đáp án

THI SINH GI 9Ề ỚMôn thi: TOÁNTh gian: 150 phút (không phát đ)ờ ềĐ BÀIỀBài (3 đi m):ể Tìm sao cho: 217n n là +5.ộ ủBài (2 đi m):ể Cho 0, tho mãn: 2aả 2+ 2b 5ab. Tính giá tr bi th c: ba  .Bài (4 đi m):ểa) th hàm ố22 1x x b) Gi phả ươ ng trình: 11xx x Bài (3 đi m):ể Cho a, b, là dài ba nh tam giác. ộCh ng minh: ứabc 1a c c .Bài (2 đi m):ể Tìm nghi nguyên dệ ươ ng phủ ươ ng trình:1005 1003x zzx y   Bài (6 đi m):ể Cho ng tròn (O; R), đờ ng kính AB. đi trên đờ ng tròn (C khác A,ờB). Ti tuy Cx đế ng tròn (O; R) AB I. Đờ ng phân góc OC đi O’.ờ ểa) D, theo th là giao đi th hai CA,CB đọ ng tròn (O’; O’C). ờCh ng minh: D, O’, th ng hàng.ứ ẳb) Ch ng minh ICứ IA. IB.c) Tìm trí đi sao cho AC là ti tuy đị ng tròn ngo ti tam giác OCI.ờ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hế ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ (I)(d1 )(d2 D/ABài (3 đi m):ể Ta có: 17 là => (ộ ủ2n 17) 5)n n M …………………………....0,25đ Xét phép tính: 217 5)( 4) 3( 4)5 5n nnn n   ………………………………. 1đĐ (nể 2+ 17) (n 5) thì 35n Z………………………………………………0,25đ=> (n 5) Ư(3) => (n 5) {1; 3 }……………………………………………..0,25đ+ ­1 => 6ớ .……………………………………………………......0,25đ+ => ………………………………………………………0,25đớ+ ­3 => ………………………………………………………...0,25đớ+ => ­2 .………………………………………………….………0,25đớV y, ta tìm đậ c.n 6; 4; =­ 8; 2. ………………………………….0,25đợBài (2 đi m):ểTa có: ba  Bình ph ươ ng hai ta đế :A 2( )a ba b 22 222a ab ba ab b  ………………………………………………………….0,5đ =đ2 22 22 42 4a aba ab  …………………………………………………………………0,5đ 15 9ab abab ab …………………………………………………………… ….0,5đ 13 …………………………………………………………………….0,5đBài (4 đi ):a) 21 1)x x 1x …………………………………….0,25đ 4 2xx đẽ ng th ng (dờ ẳ1 ): Và ng (dờ2 ): ta đớ th Hình (P) yợ th đúng đi m, nhánh 0,5 đi mồ ­2 ­1 Nế 1……………………………………………………0,5đb) Điề kiệ :x 1x 01 1x ……………………………………………..………0,25đx 0 Xét hai tr ng p:ờ ợ* ­1 trái phế ươ ng trình âm còn ph không âm. ảPh ươ ng trình vô nghi m……………………………………………………………..ệ 0,25đ* phư ng trình 11xx x 11xx 1xx ……………………………………………………..0,25đ 211xx     1x …………………………………………………………0,25đ x2 2x 11x 212 (1 )x xx …………………………………………………….0, 5đ x(x 1) 22 xxx …………………………………………………...0, 5đ x(x 1) 2( 1)x x 2( 1) 1)x x = 0……………………………….. 0, 5đ( 1)x x …………………………………………………………………...0, 5đ 52 (vì 1) ………………………………………….0,25đBài (3 đi m): Vì a, b, là dài ba nh tam giác nên 0, 0, .…..0,25đ ủTa có: 12a ab ………………………………………………………………... 0,5đ 12a ac ……………………………………………………………….. 0,5đ 1 ­1(I) 12b bc …………………………………………………………………0,5đ1 12( 2(a ab ac bc (cộ ng theo )………………………………..0,5đế ế1 1( )abc abca ab ac bc c (nhân iế ớabc ...……0,5đĐng th ra khi a= hay ABC đu………………………………………0,25đềBài (2 đi m): 10015 300x zx z   (2) tr (1) theo ta đấ c: 14 +8 200ợ7x 4y 100 …………………………………………………………………….0,25đ 4y 100 7x 100 725 24 4x xx ………………………………………………………..0,25đvì x, nguyên 25 74xt t ……………………………………….0,25đVì x, ng ươ4 025 0250 1; 2; 37ttt t  ..…………………………..0,25đKhi 4, 18, 78. Khi 8, 11, 81.Khi 12, 4, 84. ………………………………………………….0,5đ nghi nguyên dậ ươ ng phủ ươ ng trình là: (x; y; z) {( 4; 8; 78); 8; 11; 81); 12; 4; 84)}…………………………………….0,25đ CBài (6 đi m): ểV hình đúng đc 0,5đ ượ O’ Xa) AB là ng kính (O, ủ2AB)·090ACB hay ·090DCE …………………………………………………..0,5đ DE là ng kính (O’; O’C) ………………………………………………….0,5đờ ủ D, O’, th ng hàng. …………………………………………………..0,5đẳb) Xét ACI và CBI có: µ·A ICB (cùng ng 12 đo cung CB)…………………………………………….0,5đố chung ACIđng ng ạCBI ………………………………………………….0,5đIA ICIC IB ….…………………………………………………0,5đ IA. IB IC (đpcm). …………………………………………………...0,5đc) là tâm đọ ng tròn ngo ti OIC, ·090OIC nên là trung đi OI..0,25để ủ(1)(2) …...………………………… 0,25đĐ AC là ti tuy để ng tròn ngo ti OIC thì AC CK. ……………….0,25đ··ACO ICK (c góc có nh tặ ươ ng ng vuông). …………………………………..0,5đ ứMà ·µ···ACO ICB ICK ICB B …………………………………...0,5đ KC 12 OI OB R. y, đi trên đậ ng tròn sao cho BC thì AC là ti tuy đờ ng tròn ngo ti pờ ế OIC……………………………………………………………………….0,5đL ưu Thí sinh có th qua vài trung gian (đn gi n) thì đt đi daể ướ ốThí sinh có gi khác nh ng đúng thì đt đi đaờ THI SINH GI MÔN TOÁN TH GIAN 150 PHÚTỜCâu 1(4đ): Gi các ph ng trình sau:ả ươa) 52 1x yx y  b) 1) 1) 21 1x xyx xy  Câu 2(3đ): Gi x, y, là nh ng ng thay đi th mãn đi ki 1.ả ươ ệHãy tìm giá tr nh bi th cị ứ1 1x zPx z  Câu 3(3đ): Cho a, b, và th mãn đi ki nỏ ệ1 121 1a c  Ch ng minh ng: ằ18abc .Câu 4(4 đ): Cho đng tròn tâm O, hai ti tuy MA và MB (A, là ti đi m), là đi ườ ểtrên đng tròn tâm bán kính MA và trong đng tròn (O). Các tia AC và BC đng ườ ườ ườtròn (O) và Q. Ch ng minh ng PQ là đng kính đng tròn (O).ầ ượ ườ ườCâu 5(4đ): Cho tam giác ABC ti đng tròn (O) và là ti tuy (O) C. AH, ườ ọBI là các đng cao tam giác.ườ ủa) Ch ng minh HI // d.ứb) MN và EF là hình chi các đo th ng AH và BI lên đng th ng d. ch ng ượ ườ ứminh ng MN EFằCâu 6(2đ): Ch ng minh ng tích chính ph ng và đng tr nó chia ươ ướ ếcho 12ĐÁP ÁN VÀ BI ĐI MỂ ỂCâu Đáp án Thang đi mểa) 5(1)2 1(2) yx y  Đt ặ7x y 2x y (0, 0u v )Ta có 5(*)1u vv y  Do (7x y) (2x+y) 5xMà nên xDo đó 52x , 52 xT ph ng trình th hai (*) ta đc ươ ượy 312 2x xx  Thay 32x vào ph ng trình (2) ta đcươ ượ123 32 12 215 5192 2x xx xxx xx    V ta đc 2; 19 ta đc 11ớ ượ ượTh ph ng trình ta đc có nghi là (1;2)ử ươ ượ 0.250.250.250.250.250.250.250,251b) 1) 1) (1)1 (2)x xyx xy  Đi ki ệ1, 1x y Xét ph ng trình (2) áp ng đng th Cô Si ta có:ươ ứ( 1)1 1).12 2x xyx y  (3)( 1)1 1).12 2y xyy x  (4)V ậ1 1x xy D “=” ra ả1 11 1yx  2x y Ta th =2 ng th mãn ph ng trình (1)ấ ươV ph ng trình có nghi duy nh là (2;2) ươ 0.250.50.50.250.250.252 Ta có 1(1 (1 (1 )1 1Px z  13 )1 1Px z  M khác, x, y, 0, theo đng th Cô Si ta cóặ ứ3x xyz , 3x xyz 1 3( )( 9x xyzx xyz D ra khi z.ấ ảTa có 91 1) 1) 1)x z  1 91 4x z  V ậ9 334 4P 1 13 114 3x zP zx z   V đt giá tr nh là ấ34P ạ13x z 0.250.50.250.250.50.250.250.50.253 Ta có: 1(1 (1 )1 1a c  121 (1 )(1 )b bca c  V ậ121 (1 )(1 )bca c T ng ươ ự121 (1 )(1 )acb c 121 (1 )(1 )abc b 0.50.50.50.250.25Nhân ba đng th trên ta đc:ấ ượ1 8(1 )(1 )(1 (1 )(1 )(1 )abca c 8 1abc 0.50.54 CP QOMBA0.5Đ ch ng minh PQ là đng kính đng tròn (O), ta ườ ườ ầch ng minh ba đi P, Q, th ng hàng.ứ ẳTrong đng tròn tâm ta có:ườ··2AMC ABC (góc tâm ch cung AC)ở ắTrong đng tròn tâm ta có:ườ··2AOQ ABQ (góc tâm ch cung AQ)ở ắSuy ra ··AMC AOQ (1)Ch ng minh ng ta có ươ ··BMC BOP (2)T giác MAOB có ứµµ090A B ··0180AMB AOB (3)T (1), (2), và (3) suy ra:ừ····POQ POB BOA AOQ ···( )BMC AMC BOA ··0180AMB AOB Suy ra P, Q, th ng hàng.ẳV PQ là đng kính đng tròn (O) ườ ườ 0.250.50.50.250.50.250.250.250.250.250.255 xd MFNE AIHCB0.5a) Ch ng minh HI // dứG Cx là ti tuy ch cung ACọ ắT giác ABHI ti nên ế··ABC HIC (Cùng bù góc ớ·HIA )Mà ··ABC ACx (cùng ch cung AC)ắ··//HIC ICx HI d 0.250.50.250.5b) Ch ng minh MN EFứd // HI IF=HNAMCH ti ế··HMN HAC BICE ti ế··IEF IBC Mà ··HAC BIC nên ··HMN IEF HMN IEF EFMN 0.50.250.250.50.56 chính ph ng là nố ươ 2(n ÎZ) đng tr nó là nố ướ 2­1Ta có (n 2­1)n =(n+1)(n­1)n 2= (n­1)n.n(n+1) Tích này có nguyên liên ti nên chia cho ếM khác (n­1)n là hai nguyên liên ti nên chia cho ếVà (n+1) chia cho ếNên (n­1)n.n(n+1) chia cho ếMà (3;4) nên (n­1)n.n(n+1) chia cho 12 ếV (nậ 2­1)n chia cho 12 0.250.250.250.250.250.250.250.25 thi Môn ToánềTh gian: 150 phútờBài 1( 4đ)1) Rút bi th sau: ứ2 22( )x yxPxy y     2) Gi ph ng trình: ươ2 222 2x xx x   Bài 2( 4đ)1) Phân tích thành nhân aử +b +c ­3abc2) Cho 10a c và abc Ch ng minh ng bi th c:ứ 2bc ac abMa c không ph thu vào a,b,cụ ộBài (4đ) 1) Cho: 1...1 120 1211 11 ....2 35AB   Hãy so sánh và 2) Cho a,b,c là đo ba nh tam giác. Ch ng minh ng:ố 12( )p c  là chu vi tam giác đóớ ủBài 4(8đ)1) Cho tam giác ABC có ba góc nh n. đng cao BE và AD. là tr tâm và là tr ng tâm tam giác ườ ọABC.a) Ch ng minh ng: tgB.tgC =ứ ADHDb) Ch ng ng HG//BC tgB.tgC 32) Cho hình bình hành ABCD, qua đnh đng th ng các đng th ng AC, AB, BC M, N, K.ỉ ườ ườ ạch ng minh ng:ứ ằa) DM MN MKb)1DM DMDN DK GI VÀ THANG ĐI MỜ Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.